具有階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯的幼年染病單種群模型研究

石瑞青, 陳蘭蓀

(1.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116024;2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西臨汾 041004)

0 引 言

文獻(xiàn)[1、2]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的單種群模型,作者假設(shè)種群從幼年到成年的平均成熟期為一個(gè)常數(shù),在模型中用一個(gè)時(shí)滯來表示.文獻(xiàn)[1]的模型為

式中:x1(t)、x2(t)分別表示幼年和成年種群的密度;α>0,代表出生率;γ>0,是幼年的死亡率;β>0,代表成年種群的死亡率和密度制約;τ>0,表示成熟期.αe-γτx2(t-τ)表示在t-τ時(shí)刻出生的幼年(也就是αx2(t-τ))并且存活到時(shí)刻t的密度(由于幼年具有死亡率),因此,αe-γτx2(t-τ)表示從幼年到成年的轉(zhuǎn)化率.

種群疾病的傳播主要依賴于疾病本身的特性.例如麻疹、腮腺炎、水痘、猩紅熱、白喉等疾病主要在幼年種群中傳播,而淋病、梅毒等傳染病只在成年種群中傳播.文獻(xiàn)[3、4]考慮了具有階段結(jié)構(gòu)的單種群SIS流行病模型.文獻(xiàn)[3]考慮的模型為

式中:x1(t)、y(t)表示易感幼年和染病幼年種群的密度;x2(t)表示成年種群的密度,流行病只在幼年種群中傳染,而成年種群不會(huì)染病;a1表示幼年的出生率;a2是接觸率;a2x1(t)y(t)表示雙線性傳染率;r表示幼年的自然死亡率;α表示因病死亡率;c1表示從幼年到成年的轉(zhuǎn)化率;c2x2

2(t)表示成年具有Logistic型死亡率;b1表示染病幼年的康復(fù)率.其他參數(shù)的具體生物意義可以參看文獻(xiàn)[1～4].

此外,文獻(xiàn)[5、6]考慮了具有階段結(jié)構(gòu)單種群的收獲策略.受文獻(xiàn)[1、3]的啟發(fā),本文具體研究幼年染病具有階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯的單種群模型.

1 模型的建立及分析

1.1 模型建立

模型建立如下:

式中:x1(t)、I(t)分別表示易感幼年和染病幼年種群的密度;x2(t)表示成年種群的密度,流行病只在幼年種群中傳染,而成年種群不會(huì)染病;α>0,是接觸率;αx1(t)I(t)表示雙線性傳染率;β>0,表示成年種群的密度制約;δ>0,表示染病幼年種群的因病死亡率.其他參數(shù)的具體生物意義可以參看文獻(xiàn)[1～4]模型解釋.下面研究系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性.

1.2 性質(zhì)分析

通過計(jì)算,得到系統(tǒng)(1)以下平衡點(diǎn):

(1)種群絕滅平衡點(diǎn)(平凡平衡點(diǎn))P0(0,0,0)總是存在的.

(3)當(dāng)R1=re-d1τ/d2>1, 且+r)<1時(shí),存在唯一的地方病平衡點(diǎn)(正平衡點(diǎn),這里是方程的唯一正根.

平衡點(diǎn)P0和P1的存在性是顯然的,下證地方病平衡點(diǎn)的存在性和唯一性.正平衡點(diǎn)P2(x＊1,x＊2,I＊)滿足代數(shù)方程組由方程組(2)的第3個(gè)方程,易得x1=(d1+δ)/α,由第2個(gè)方程得x2=(re-(d1+αI)τ-d2)/β,代入第1個(gè)方程得

證明 (1)在P0處,特征方程為

此特征方程的其中兩個(gè)根為λ1=-d1<0,λ2=-(d1+δ)<0;特征根λ3由等式λ=re-(λ+d1)τd2決定.為了判斷 λ3的符號(hào),令f2(λ)=λ,g2(λ)=re-(λ+d21)τ-d,容易看出 ,f2(λ)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g2(λ)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(A 1)當(dāng)R1=re-d1τ/d2<1 時(shí) ,f2(0)=0,g2(0)=re-d1τ-d2<0,所以 ,λ3為負(fù)數(shù)(見圖1),對(duì)應(yīng)地得出此時(shí)平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的.

(A 2)當(dāng)R1=re-d1τ/d2>1 時(shí) ,f2(0)=0,g2(0)=re-d1τ-d2>0,所以,λ3為正數(shù)(類似于圖2),平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.

圖1 交點(diǎn)為負(fù)的兩條曲線Fig.1 The tw o curves with negative crossing-point

圖2 交點(diǎn)為正的兩條曲線Fig.2 The tw o curves with positive crossing-point

(2)在P1處,特征方程為

此特征方程的一個(gè)根為λ1=-d1<0,特征根 λ2由等式λ=re-(λ+d1)τ-d2-2βx02決定 ,第3個(gè)特征根 λ3=αx01-(d1+δ).為了判斷 λ2的符號(hào) ,令f3(λ)=λ,g3(λ)=re-(λ+d1)τ-d2-2β,則f3(λ)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g3(λ)在(0,+∞)上單調(diào)遞減 ,且f3(0)=0,g3(0)=re-d1τ-d2-2βx02=-βx02<0,所以,特征根λ2的符號(hào)為負(fù)(類似于圖1).

(B1)當(dāng)R1=re-d1τ/d2>1, 且時(shí)對(duì)應(yīng)地得到此時(shí)平衡點(diǎn)P1是局部漸近穩(wěn)定的.

(B2)當(dāng)R1=re-d1τ/d2>1, 且時(shí) ,(d1+δ)>0,對(duì)應(yīng)地得到此時(shí)平衡點(diǎn)P1是不穩(wěn)定的.

(3)在P2處,特征方程為

容易看出特征根 λ2、λ3滿足λ2+λ3=-(d1+αI＊)<0,λ2λ3=αx1＊I＊>0,所以特征根λ2和λ3都具有負(fù)的實(shí)部.特征根 λ1由等式 λ=re-(λ+αI＊+d1)τ-d2-2βx2＊決定.為判斷 λ1的符號(hào),令f4(λ)=λ,g4(λ)=re-(λ+αI＊+d1)τ-d2-2βx2＊.容易看出f4(λ)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g4(λ)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,并且f4(0)=0,g4(0)=re-(d1+αI＊)τ-d2-2βx2＊=-βx2＊<0.所以 ,特征根λ1的符號(hào)為負(fù)(類似于圖 1).因此,平衡點(diǎn)P2存在、唯一并且是局部漸近穩(wěn)定的.

1.3 模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性結(jié)論

關(guān)于3個(gè)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性的結(jié)論總結(jié)見表1.

表1 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性條件Tab.1 The existence and stability conditions for the equilibriums

推論 1 (1)令 τ0=-ln(d2/r)/d1,則當(dāng)τ>τ0時(shí),P0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)τ<τ0時(shí),P0不穩(wěn)定.

(2.1)當(dāng)τ<τ0,且 Δ<0時(shí),P1局部漸近穩(wěn)定.

(3)當(dāng)τ∈(τ3,τ1)時(shí),P2是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 首先指出,τ0和 τ3總是存在的(在生物意義下,總是假設(shè)r>m ax{d1,d2});τ1和τ2存在的條件是 Δ>0.當(dāng) τ0 、τ1 、τ2 、τ3 都存在時(shí) ,滿足τ0>τ1>τ3>τ2>0.

(1)R1<1和τ>τ0是等價(jià)的;而且R1>1和τ<τ0是等價(jià)的.

因此(2.2)成立.

(3)當(dāng)τ<τ0,Δ>0,且τ∈ (τ2,τ1)時(shí)另外 ,τ>τ3等價(jià)于而且 τ3 ∈ (τ2,τ1),所以,當(dāng)τ∈(τ3,τ1)時(shí) ,定理1的條件(3)滿足,故P2是局部漸近穩(wěn)定的.

推論2 由定理1和推論1,得到

(1)當(dāng) Δ<0時(shí) ,τ0是一個(gè)閾值.若 τ>τ0,則P1不存在,P0局部漸近穩(wěn)定;若τ<τ0,P0不穩(wěn)定,P1存在而且局部漸近穩(wěn)定.

(2)當(dāng)Δ>0時(shí),平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由τ的不同取值區(qū)間決定 .若 τ∈ (0,τ2)∪ (τ1,τ0),P1是局部漸近穩(wěn)定的 ;若 τ∈ (τ2,τ1),則P1不穩(wěn)定;若τ∈(τ3,τ1),P2存在且是局部漸近穩(wěn)定的.

1.4 例 題

例1 取 α=β=r=1,d1=0.3,d2=0.2,τ=2,若取 δ=0.2,則有R1=2.744>1,R2=1.350>1,R3=0.9147<1,根據(jù)定理1,地方病平衡點(diǎn)存在且是局部漸近穩(wěn)定的;若取δ=0.4,則有R1=2.744>1,R2=0.9643<1,根據(jù)定理1,地方病平衡點(diǎn)是不存在的.這說明如果因病死亡率δ取值不是太大時(shí)(δ=0.2),可以形成地方病.但是,如果因病死亡率δ取值太大時(shí)(δ=0.4),則不容易形成地方病,這是由于單位染病者在死亡之前所感染的新得病者不足一個(gè),從而該傳染病絕滅.

2 結(jié)果與討論

在定理1的第一種情況下,可以證明平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的;在第二種情況下,可以證明平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的;但是對(duì)于正平衡點(diǎn)P2的全局穩(wěn)定性沒有證明,這主要是由于時(shí)滯的存在,很難找到相應(yīng)的Lyapunov函數(shù).對(duì)于二維系統(tǒng),可以用Dulac函數(shù)判斷系統(tǒng)無環(huán),再利用系統(tǒng)的有界性和正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性就可以證明系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.而對(duì)于三維系統(tǒng),目前沒有更好的辦法來證明正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

推論2可以給出生物意義下的解釋.若時(shí)滯較大(τ>τ0),即如果種群的成熟期較長(zhǎng),種群走向絕滅(平衡點(diǎn)P0是全局穩(wěn)定的).若時(shí)滯較小(τ<τ0),成年種群的密度制約系數(shù)很大(β充分大),或者成年種群的出生率和死亡率相差不多(|r-d2| 1),則種群持續(xù)生存,疾病消除(平衡點(diǎn)P1是全局穩(wěn)定的),因?yàn)榇藭r(shí)Δ<0.只有當(dāng)時(shí)滯取特定值(τ∈(τ3,τ1))時(shí),可以形成地方病.

注意到在推論2的(2)中,還有一種情況沒有討論,即 τ∈ (τ2,τ3).由定理 1 和推論 1 可知,當(dāng)τ∈(τ2,τ3)時(shí) ,P0和P1是不穩(wěn)定的,此時(shí)P2是否存在,以及P2的穩(wěn)定性如何,對(duì)于這些問題的研究留作以后研究.

3 結(jié) 語

本文得出了幼年染病具有階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯的單種群模型中3個(gè)平衡點(diǎn)的性質(zhì),以及生物意義下的解釋,對(duì)進(jìn)一步研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性具有一定參考價(jià)值.

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