基于正交設計的制導炸彈運動參數建模

牛蘊軒,陳云翔,何 蘋

(1.空軍工程大學工程學院,陜西西安710038;2.空軍工程大學導彈學院,陜西三原713800)

0 引言

制導炸彈是由飛機平臺以一定的速度、高度和角度投放,實施對地精確攻擊的低成本制導武器。制導炸彈的射程、末速度及飛行時間是作戰使用所關注的性能指標,與載機投放炸彈的初始條件密切相關。一般可以通過求解制導炸彈彈道微分方程,比較不同投放初始條件對應的性能指標的數值解,來尋求最優投放條件。然而,制導炸彈投放條件變化范圍很大,這種方法復雜耗時,所以有必要探求制導炸彈運動參數的解析模型,為簡捷地尋求最優投放條件奠定基礎。

本文將采用正交設計試驗方法,構造制導炸彈運動參數的解析模型。首先建立制導炸彈運動微分方程,為正交設計提供試驗條件;然后介紹正交設計試驗響應面模型(RSM)的構造步驟;最后,通過仿真算例,驗證所建立的響應面的近似精度。

1 彈道微分方程的建立

1.1 基本假設

制導炸彈由載機投放后,在近地大氣層內運動,飛行速度要遠小于逃逸速度,飛行時間短,射程相對較小[1]?？勺鋈缦录僭O:①把炸彈看作可控質點,且其氣動外形是軸對稱的;②把地球看作是不旋轉的平坦大地,忽略地球轉動和曲率的影響;③忽略風的影響;④制導炸彈的側向運動很小,可以忽略,此處僅研究其在鉛垂平面內的縱向運動。

1.2 微分方程的建立

建立地面直角坐標系下微分方程如下:

式中,g為重力加速度;θ為制導炸彈的彈道傾角;h為飛行高度;R為射程;α為攻角;D、L為阻力和升力;CD、CL為阻力系數與升力系數;m為制導炸彈的質量;ρL為制導炸彈平均密度;ρ為大氣密度;Vm為制導炸彈飛行速度;M為飛行馬赫數;a為音速;S為制導炸彈氣動參考面積。

制導炸彈受力分析如圖1所示。

圖1 制導炸彈受力分析

在制導炸彈速度較高、小攻角飛行時,可以近似認為[2]:

在制導炸彈氣動布局和外形尺寸給定的條件下,阻力系數主要取決于制導炸彈的攻角、飛行馬赫數、雷諾數。零升阻力系數CD0可以表示為M和h的函數[3],CD0可表示為:

式中,l為彈形系數;k1、k2、k3、a、b、c、q為擬合系數。

通過解算式(1)～式(3)可以得到制導炸彈運動參數數值解。

2 基于正交設計試驗的響應面構造

正交試驗設計就是利用事先制好的特殊表格——正交表來科學地安排試驗,并進行試驗數據分拆的一種方法。20世紀40年代,正交試驗設計法首先應用于農業中,50年代推廣到工業領域,取得了顯著效果。我國從60年代開始應用這一方法,70年代得到推廣。正交設計在處理設計變量水平數比較多的情況時,能夠以較少的試驗次數較全面地反映問題的內在規律,其數學原理參見文獻[4]。以下介紹正交試驗設計構造制導炸彈運動參數RSM的具體步驟:

①確定制導炸彈射程R、末速度Vmt及飛行時間t為試驗指標,選擇制導炸彈投放條件(Vmf、hf、θf)為設計變量;

②確定Vmf、hf、θf變化的水平數以及要進行的試驗次數。選用相應的正交表,進行表頭設計;

③根據正交表進行試驗,調用制導炸彈運動微分方程仿真程序,得到試驗結果;

④為了保證計算精度,將試驗指標、設計變量轉換為0～1之間的標準值。標準化采用最常用的直線型標準化方法,即

式中,zi為試驗指標、設計變量的試驗值;z′i為相應的標準化值 ,z′i∈[0,1];

⑤試驗的結果用于構造試驗指標與設計變量之間的近似模型,即RSM。RSM有多種形式,其中二階多項式應用最多,以R的響應面構造為例:

式中 ,x1、x2和x3分別為Vmf、hf、θf的標準化值;y為R的標準化值。

可見,RSM回歸系數的求解,為多元非線性回歸問題,可先將其變換作多元線性回歸,然后用最小二乘法求得回歸系數。Vmt及t與設計變量間的RSM構造方法同上;

⑥求出RS方程的待估參數后,需要對RS函數進行統計檢驗,評估其對真實響應的逼近程度。常用全相關系數F2來度量RS函數對原函數的逼近程度,F2定義為:

式中,SST為總偏差平方和;SSR為回歸平方和;F的值在0和1之間,越接近1,說明RS函數的逼近程度越高。設ˉy為響應的平均值,ns為試驗次數,則

3 仿真計算與結果分析

因制導炸彈的通用性好,能夠掛載于多種作戰平臺上使用,參考F-16典型的作戰高度和速度,確定投放條件的變化范圍如下:投放速度Vmf為270～410 m/s,投放高度hf為7～13 km,投放彈道傾角 θf為 -13°～ 13°。

為了能夠比較精確地反映指標和設計變量間的關系,設計變量水平數不能太少,故選取正交設計表L9(34)確定試驗方案。調用制導炸彈彈道仿真程序,對其R、Vmt和t進行計算,計算結果如表1所示。

表1 正交設計試驗方案和結果

表1中 ,Vmf、Vmt單位為 m/s;hf、R單位為 km;t單位為 s;θf單位為(°)。

由上述計算結果,調用已編制好的RSM構造程序,構造R、Vmt和t與設計變量間 RSM。響應面均采用二階多項式模型,設R、Vmt和t的標準化值分別為y1、y2和y3,結果如下:

式中,x1、x2和x3分別為Vmf、hf、θf的標準化值。

R、Vmt和t的RSM的相關系數F2都為0.9999,均很接近1,說明構造的響應面近似精度很高。

4 結束語

采用正交設計試驗方法,以制導炸彈投放速度、高度和角度為設計變量,從設計空間中選擇一些特定的設計點,構造了制導炸彈射程、末速度以及飛行時間的響應面模型,通過仿真計算表明RSM具有較高的近似精度。正交設計保證所計算的有限個方案分布合理,最能反映設計問題的內在規律,而RSM的引入則大大減少了計算量。高精度的響應面為簡捷地尋求最優投放條件奠定了基礎。

[1]阮春榮.大氣中飛行的最優軌跡[M].北京:宇航出版社,1987.

[2]孫 鵬,張合新,孟 飛.再入飛行器最優減速研究[J].導彈與航天運載技術,2006(2):1-5.

[3]張 毅,肖龍旭,王順宏.彈道導彈彈道學[M].長沙:國防科技大學出版社,2005.

[4]何少華,文竹青,婁 濤.試驗設計與數據處理[M].長沙:國防科技大學出版社,2002.