彈體侵徹與貫穿有限厚度混凝土靶體的力學特性*

葛 濤,劉保榮,王明洋

（1.94600部隊,河南 鄭州 450000;

2.空軍后勤部機場營房部,北京 100720;

3.解放軍理工大學工程兵工程學院,江蘇 南京 210007）

1 引 言

已有的關于混凝土中侵徹的研究成果集中于對侵徹半無限靶的研究,且多為經驗公式[1-3],而彈體貫穿靶體的研究卻很少,大多局限于彈體穿孔金屬板的報道[3]。混凝土材料在貫穿時表現出來的力學特性比金屬復雜得多,研究也更困難。即使是何時被視為貫穿過程的開始,即如何確定貫穿時刻,迄今也沒有確切的定論[4]。

本文中在侵徹水動力模型[5]的基礎上,參照空腔膨脹理論,試圖從混凝土裂縫的不穩定增長的角度來研究如何確定貫穿的發生時刻:在裂縫超越出薄板背面以前,彈頭的阻抗力按照文獻[5]來確定,從裂縫超越出背面的那一瞬間,裂縫開始不穩定增長,彈頭阻抗力的計算要考慮由于靶板背面發生崩落（雖然還與靶體相連）而造成的彈頭相對速度的降低,并求解貫穿過程中彈體的減加速度。

2 貫穿發生時刻的確定

對于彈頭侵徹前方,文獻[5]中將靶體分為理想流體區域（粉碎區r≤R）、徑向裂縫彈性區（R＜r≤Rc）和原始彈性區。在彈頭運動前方,裂縫朝著靶體背面的方向擴展,裂縫區域將要擴大,在某一個時刻就會變成不穩定的區域,裂縫向球的外表面上擴展的動力過程就開始了。這個時刻被看作靶體背面對貫穿過程影響的開始時刻。基于以上分析,設混凝土靶體的厚度為H,現在來研究彈頭侵徹到距靶板背面為Rh時的情形,如圖1所示。

在理想流體區與裂縫區的交界r=R處有邊界條件

式中:r、θ、φ為球形坐標,σrr為徑向應力,σrθ和σrφ為環向應力,p為邊界壓應力。

裂縫彈性區（R＜r≤Rc）是楔形桿狀的,也就是由側表面上沒有應力、彼此間互相不發生作用的楔形桿組成,根據彈性動力學方程

圖1 侵徹示意圖Fig.1 Schematic diagram of penetration

再利用邊界條件式（1）可得

在R＜r≤Rc的徑向裂縫區域中,徑向位移和應力由彈性力學公式

確定

式中:u（r）為徑向位移,E為彈性模量,λ與μ為拉梅常數,u（Rc）為r=Rc處的徑向位移。原始彈性區域為Rc＜r≤Rh,在它的邊界r=Rc上作用的法向應力

在r=Rh處顯然有邊界條件

在Rc＜r≤Rh的區域中,根據彈性力學方程式和條件（5）、（6）,同樣可以得出

從式（7）中求出u（Rc）,代入式（4）中可以求出Rc＜r≤Rh徑向裂縫區中位移的表達式,進而可以求出r=R處的位移

裂縫區的邊界r=Rc處要根據裂縫增長的能量準則來確定[6]。Rc增加時所釋放的能量與裂縫增長所需要的能量相等,后者就是Rc變化時表面增大所需要的有效表面能γ,釋放出來的能量等于外力所做的功的一半,所以若Rc增加,則有

式中:l為裂縫與界面r=Rc交線的總長度,γ=π（1-ν）（1+ν）/（2E）,Kc為混凝土的斷裂韌度,ν為泊松比。將式（8）代入式（9）中得到

當p=σ時（σ為抗壓強度,已知）,根據穩定性定義,式（10）的左邊部分對Rc求導為0時,裂縫就出現不穩定性增長,也即裂縫已達到靶體背面,由此求出

根據式（8）第2式可知比值

根據式（10）與式（12）可得臨界狀態時彈頭到靶體背面的距離

從上述公式中可以看出比例尺效應:當彈體向前運動時,臨界距離與比值的臨界值與成正比例增長。可以利用公式（13）來計算臨界距離,彈體侵徹到這個距離時,裂縫超越出背面,并且開始對彈頭運動前方的阻抗力產生削弱影響,也即進入了貫穿階段,稱該時刻為貫穿的發生時刻。

3 貫穿過程分析

根據文獻[5]中的論述,轉換為平面問題考慮時,直到Rh＞以前,彈體的運動都根據文獻[5]計

算。根據文獻[5]中的式（14）求出與圓柱形管R等效的槽寬L（彈體在其中運動）為

式（14）各量參見文獻[5]。在計算彈體端部進入混凝土靶體的階段時,所有公式中的半徑r0顯然都應由與靶體表面重合的彈體端部截面的半徑來代替,該半徑由侵徹深度決定。

假定t=t*為貫穿發生時刻,這時彈頭距離靶體背面距離為時,裂縫超越出背面,貫穿的崩落過程就開始了,臨界比值/R按式（12）計算。嚴格地講,應當考慮裂縫超越背部的延遲作用,也就是考慮裂縫擴展速度的有限性,這里由于沖擊時裂縫擴展速度很大,就忽略了這一點。

當貫穿發生時,要考慮貫穿塊的滑動對侵徹阻抗力的消減作用,可采用下式表述此時的阻抗力[7]

式中:Q1為作用在彈頭上的阻抗力,也即作用在貫穿塊上的推動力;Q為貫穿發生前的阻抗力,可根據文獻[7]確定;v1為彈體前方貫穿塊的滑動速度。

貫穿塊的運動微分方程為

式中:t為侵徹時間,ρ為混凝土密度,2ρ為貫穿塊質量。

彈體的運動微分方程為

式中:h為侵徹深度,m為彈體質量,v為侵徹速度。

貫穿的初始條件為

式中:v為貫穿塊形成時刻彈體的速度。

聯合式（15）、（16）與式（17）結合初始條件（18）及可以求出貫穿過程的阻抗力Q1。將貫穿塊速度與彈體速度相同視為貫穿過程的結束時刻。根據未貫穿時的阻抗力Q與貫穿過程中阻抗力Q1,可以求出彈體侵徹與貫穿混凝土靶體全過程中的減加速度-Q/m與-Q1/m。

4 彈體減加速度實例計算

由于彈體侵徹混凝土靶體的力學環境惡劣,減加速度能達到數萬個重力加速度,測量起來很困難。

利用文獻[8]中實驗所用的彈體與混凝土材料,斷裂韌度Kc利用文獻[6]中提供的數據。利用本文的侵徹與貫穿全過程的減加速度計算方法進行了計算,并與文獻[8]中的實驗數據及該文中的模型做了對比。

實例1 彈體質量m=13 kg,彈徑為0.076 m,長徑比為1.5,侵徹初速度v0=139 m/s。混凝土靶體抗壓強度σ=23 MPa,斷裂韌度Kc=0.73 MN/m3/2,密度ρ=2 450 kg/m3,靶體厚H=0.3 m。計算結果如圖2（a）所示。橫坐標t為侵徹作用時間,縱坐標a為減加速度值,g為重力加速度,下同。

實例2 選用與實例1相同的彈體,侵徹初速度v0=314 m/s。混凝土靶體抗壓強度σ=39 MPa,斷裂韌度Kc=0.81 MN/m3/2,密度 ρ=2 450 kg/m3,靶體厚H=0.5 m。計算結果如圖2（b）所示。

圖2 貫穿不同靶體的減加速度曲線Fig.2 Deceleration-time curves for projectiles perforating concrete targets with different thickness

從圖2（a）可以看出計算結果與實驗結果相比偏小,且沒有Forrestal給出的模型更貼近實驗數據,這是由于當彈體的侵徹速度與靶體材料的彈性波速比大于0.1時,近區破碎驗材料做為理想流體考慮最為合適[9],圖2（a）彈體速度偏小,使得減加速度值也偏小。從圖2（b）中可以看出,在彈體端部侵入靶體時減加速度上升迅速,因為在彈體端部進入靶體時由受力面積增長而使阻力增長的影響因素大于速度減小產生的消減因素。彈體端部完全侵入靶體后及至發生貫穿這一段過程,因彈體在類似于流體的“管道”中運動,所承受的減加速度變化很小,即遇到的阻力或者說侵徹所消耗的能量流變化很小,形成一個平臺效應,而發生貫穿后減加速度下降很快。這是這種規律與在實驗中所測得的曲線及擬合公式的計算結果也是相符的[10]。

5 結 論

（1）在水動力侵徹模型的基礎上,從理論上確定了貫穿發生的時刻,并據此求出了貫穿發生的臨界厚度。求解發生貫穿后的減加速度時,考慮了靶體背面崩落對貫穿阻力的影響。

（2）彈體端部侵入靶體時減加速度上升迅速,彈體端部完全侵入靶體后及至發生貫穿這一段過程彈體的減加速度變化很小,貫穿發生后減加速度又急劇下降。侵徹與貫穿全過程的減加速度計算結果與前人研究較吻合。

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