R/S分析在水庫流域降水變化趨勢預測中的應用

陳崇德，唐東明

（湖北省漳河工程管理局，湖北 荊門448156）

1 概述

漳河水庫是以灌溉為主，兼有防洪、城市供水、發電、水產養殖、旅游、航運、生態環境保護等多目標運用的大型水利工程，總庫容21.19億m3，其中興利庫容9.24億m3，調洪庫容4.24億m3。從運用實踐看，水庫多年平均缺水量為3.01億m3，若遇干旱或特大干旱年，則需水缺口更大。因此，水資源數量明顯不足是該水庫的一大問題。由于R/S分析對時間序列具有預測功能，故根據水庫來水變化的歷史實測資料，利用R/S分析的原理和方法，對未來水庫水資源的豐枯變化趨勢進行分析，對指導水庫的調度運用有較大的作用。

2 計算方法

R/S分析法（Rescaled Range Analysis，重新標度極差分析法）是由英國學者赫斯特（H.E.Hurst）在總結尼羅河的多年水文觀測資料時，于1965年提出的一種處理時間序列的方法，它在分形理論中有著重要作用［1］。R/S分析法計算簡單，其基本原理與方法如下：

2.1 計算均值

設時間序列{X（t）}，t=1，2，…，n，對于任意正整數τ≥1，定義均值序列則：

2.2 計算累積離差

2.3 計算極差序列

2.4 計算標準差序列

2.5 計算比值

式中 α為常數；H為Hurst指數。

由式（5）得：

根據時間序列{X（t）}，利用最小二乘法，可得式（6）的直線回歸方程，則直線的斜率即為H指數。

水庫年來水量的豐枯變化在時間軸上表現為不連續點分布，是一種不規則的Cantor集合，即來水量具有時間分形結構。為了對水庫來水變化趨勢進行預測分析，采用分布式布朗（Fractional Brownian motion）模型。設有一“粒子”在X軸上隨機游動，它每一時間間隔τ向左或向右移動的步長為X，那么X的分布函數密度為:

式中 G為擴散系數。

又設{X1，X2，…，Xn}為步長序列，是一個獨立同分布的時間序列，經過n步行走后，“粒子”在X軸上的“位置”為:

式（8）為布朗函數，經過簡化計算得到相關函數γ（t）：

由式（9）可知，當H=1/2時，γ（t）=0，即為一般的布朗運動；當H≠1/2時，γ（t）≠0，即為分式布朗運動。Mandelbrot將H指數推廣為0＜H＜1。

為了預測未來的水庫來水趨勢Xn+1，則式（1）可得：

令R（n+1）/S（n+1）=［α（n+1）］H=K，并將式（3）、（4）代入式（10），可解得：

式中 A=（n+1）［（n+1）2-nK2］

最后將X（τ）代回式（7），即可得未來水庫來水量變化趨勢Xn+1。

3 應用實例

湖北省漳河水庫已有1957～2008年52a的實測水庫降水資料，多年平均降水量989.6mm，若將年降水量大于1100mm稱為豐水年，則自1957年以來，共出現過15個豐水年（見表1），若把1956年作為計算零點，那么得到的時間序列為（將1989年以后的資料留作驗證之用）：

表1 漳河水庫降水量大于1100mm的年份及R（τ）/S（τ）計算

經過計算，可得到H、α及R（τ）/S（τ）的關系式，從預報效果來看，雖然整個過程都是嚴格的數學推導過程，但有部分年份計算結果不太理想。究其原因，一是豐水年出現的時間序列并非是真正意義上的布朗運動［3］；二是誤差是客觀存在的，如預測下一個豐水年的K值，是以平均值代替的，且模型容納誤差的能力不夠；三是H指數的計算是通過雙對數回歸分析得到的，這個結論的可靠性有多大，其顯著性如何，以及如何修正，目前缺少有效的分析評價方法。但通過對歷史資料的模擬，發現誤差還是有一定規律，即隨著資料系列的延長，誤差呈減少的趨勢，且誤差范圍比較穩定（見表2）。

表2 誤差統計

將誤差項代入公式（10）：

式中 e為誤差率。

經計算，H=0.3155，α=2.3294，相關函數γ（11）=-0.2257≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為γ11=33.43≈33，計算零點還原后，即1956+33=1989年。1989年實際降水量為1332.5mm＞1100mm，故預測正確。將1989年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經計算，H=0.2968，α=2.3294，相關函數γ（12）=-0.2455≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X12=39.69≈40，計算零點還原后，即1956+40=1996年。1996年實際降水量為1427.9mm＞1100mm，故預測正確。將1996年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經計算，H=0.2779，α=3.6647，相關函數γ（13）=-0.265≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X13=41.9≈42，計算零點還原后，即1956+42=1998年。1998年實際降水量為1114mm＞1100mm，故預測正確。將1998年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經計算，H=0.2521，α=5.5063，相關函數γ（14）=-0.2908≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X14=43.99≈44，計算零點還原后，即1956+44=2000年。2000年實際降水量為1186.9mm＞1100mm，故預測正確。將2000年信息加入{X（t）}，得到新的時間序列：

經計算，H=0.2281，α=8.8221，相關函數X（15）=-0.3140≠0（屬于分式布朗運動），則：

根據公式（11）、（12）計算，漳河水庫下一個豐水年為X15=50.99≈51，計算零點還原后，即1956+51=2007年。2007年實際降水量為1321.4mm＞1100mm，故預測正確。

4 結語

目前，R/S分析方法在水庫年來水趨勢預測中成功應用的例子還不多，有些問題還沒有得到有效解決，但并不影響該方法的有效使用［3］。 大量研究結果表明［4-11］，水文系統是一個復雜的巨系統，水文要素的時空變化具有高度的非線性特點。R/S分析是自仿射分形衍生出來的時間序列分析方法，對于非線性具有統計特性的數據系統，采用R/S分析法可以很好地揭示其變化過程的內在規律性，并可對其分形特征進行定量描述。應該指出的是：盡管應用了分形和R/S分析理論中的概念、方法進行預測，但仍無法減小或消除系統的內在隨機因素而造成的不可預報部分，如觀測資料的誤差（噪聲影響）等，因此進一步探索洪水發生的規律，改進模型，提高模型的穩定性，對于提高洪水的預見期和預測精度是很有意義的。

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