灰色GM（1，1）模型在干旱預測中的應用

魏光輝

（新疆農業大學 水利與土木工程學院，烏魯木齊 830052）

灰色系統理論［1］是80年代初由我國著名學者鄧聚龍教授提出的。它把一般系統論、信息論、控制論的觀點和方法延伸到社會、經濟、生態等抽象系統，并結合數學方法，發展成為一套解決信息不完備系統即灰色系統的理論和方法。應用該方法對各種自然災害進行預測，是減輕災害和作出科學決策的重要措施之一。本文以蚌埠市氣象站氣象站27a的實測年降雨量資料，用灰色系統理論GM（1，1）對未來干旱災害進行預測。干旱預測嚴格說是異常值預測，主要是干旱災害出現時間的預測，即干旱出現的年份。預測過程是建立在實測數據和嚴格的數學基礎上的，預測結果可作為在實際工作中的參考。

1 灰色系統預測模型理論

灰色系統理論認為一切隨機量都是在一定范圍內、一定時段上變化的灰色量及灰色過程，對灰量數據通過一定方式處理后使其成為較有規律的時間序列數據，再建立模型［1］。灰色系統GM（1，1）預測模型是一階、一個變量的微分方程模型，適合于對系統行為特征值大小的發展變化進行預測?；疑獹M（1，1）模型［2-4］是將隨機數經生成后變為有序的生成數據，然后建立微分方程，尋找生成數據的規律，再將運算結果還原的一種方法，其基礎是數據的生成。常用的生成方式有累加生成和累減生成。

1.1 GM（1，1）模型的數列預測原理

設某原始序列：X（0）={X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}

對其進行一次累加生成，得到生成序列：

則GM（1，1）模型相應的微分方程為：

式中 α為發展灰數，α的可容區為（-2，2）；μ為內生控制灰數。

1.2 α贊為待估參數向量，可利用最小二乘法求解

求解微分方程，得預測模型：

累減還原得：

式（3）、（4）即為GM（1，1）模型進行灰色預測的基本計算公式。

1.3 模型殘差檢驗和后驗差檢驗［5-7］

1.3.1 殘差檢驗

殘差檢驗就是計算相對誤差，以殘差的大小來判斷模型的好壞。

則ε（k）越小越好，p越大越好，一般要求ε（k）<20%，p>80%；最好是ε（k）<10%，p>90%。 X（0）為原始數據列，X贊（0）是預測數據列。

1.3.2 后驗差檢驗

后驗差比：C=S2/S1

式中 S1為原始數列的X（0）均方差；S2為殘差序列{Δ（k）}的均方差；C越小，模型越好。

表1 檢驗指標等級標準

2 應用分析

蚌埠市降水量年際變化較大，在偏枯和枯水年份，蚌埠市水資源較為緊缺，嚴重影響本地區經濟發展。因此對蚌埠市年降水量進行預測分析有著非常重要的意義。

本文采用蚌埠市氣象站1980～2006年多年降水量資料，見表2。

表2 蚌埠市1980～2006年降水量統計

2.1 干旱年閾值的確定

根據鞠笑生、孫榮強等人的理論［8］，判斷一個地區某一年份是否為干旱年，可由參數Ipa決定：

式中 pi為某年年降水量（mm）為序列平均年降水量（mm）。

一般地，把某一地區Ipa≤-20%作為判別干旱的標準。把符合這一標準的年份挑選出來，定為干旱年。由式（5）可以求得干旱年降水量閾值為766.3mm，即年降水量小于766.3mm的年份為干旱年，由此可以得到該地區的干旱年序列X（0）（k）。

2.2 GM（1，1）模型的建立

（1）建立干旱年累加生成序列。 對X（0）（k）做一次累加求得一次累加序列，結果見表3。

表3 一次累加生成數列

（2）采用最小二乘法求解參數α與μ

依據灰色模型原理建立GM（1，1）模型，并求得模型參數：α=-0.250604，μ=8.605972，最終得模型計算式為：

X贊（0）（k+1）=38.3409e0.250604（k+1）-38.3409e0.250604kk≥1

利用建立殘差模型方法進行修正，求得殘差模型參數：α=0.241724，μ=0.538704，最終得殘差模型計算式為：

ε贊（0）（k+1）=-1.9271e-0.241724（k+1）+1.9271e-0.241724kk≥1

將上述兩式相加即得到殘差修正GM（1，1）模型：

X贊（0）（k+1）=38.3409e0.250604（k+1）-38.3409e0.250604k-1.9271e-0.241724（k+1）+1.9271e-0.241724kk≥1

2.3 模型檢驗

2.3.1 殘差檢驗

經檢驗，相對誤差值為-1.30%～0.78%，見表4。

表4 模型擬合及誤差計算

其殘差平均值0.63%<10%，平均精度p=99.37%>95%，模型擬合精度較高，模型判為優。

2.3.2 后驗差檢驗

經計算，后驗差比值C=0.0198<0.35，小誤差概率P=1，模型級別為好。

2.4 災變點預測

模型經檢驗達到精度要求后，可以進行外推預測，未來蚌埠市干旱年預測結果，見表5。

由表5預計未來3個干旱年在2012年、2021年與2032年。

表5 蚌埠市未來干旱年預測

3 結語

灰色模型作為一種預測理論在各行各業得到充分應用。由于GM（1，1）模型要求數據較少，原理簡單，計算量適中，預測精度較高等諸多優點。但需要指出的是GM（1，1）適合于短期的預測，不能用于較長時間的預測，否則會產生較大的偏差。要對較長時段的趨勢值進行預測，需要引入新參數，才可以確保預測的可靠性。另外原始序列本身規律的好壞，也將影響預測模型的預測能力。

根據灰色理論建立災變模型預測干旱年的預測過程是建立在嚴格的數學基礎上的，預測結果可做為農業抗旱工作的參考。

［1］鄧聚龍.灰色系統基本方法［M］.武漢：華中理工大學出版社，1987.

［2］劉俊民.灌區地下水年最高水位的灰色預測［J］.地下水，1993，15（3）：93-96.

［3］張大海，江世芳.灰色預測公式的理論缺陷及改進［J］.系統工程理論與實踐，2002，22（8）：140-142.

［4］邱淑芳，王澤文.灰色GM（1，1）模型背景值計算的改進［J］.統計與決策，2007（3）：129-131.

［5］王勁松，郭江勇，周躍武，等.干旱指標研究的進展與展望［J］.干旱區地理，2007，30（1）：60-65.

［6］任煥蓮.基于灰色GM（1，1）模型的城市需水量預測研究［J］.水利建筑與工程學報，2007（2）：52-54.

［7］張艷芳.基于GM（1，1）的殘差修正模型及應用［J］.水科學與工程技術，2005（6）：51-53.

［8］孫鳳華，袁健.遼寧省近50年降水序列變化規律及干旱預測［J］.氣象，2004（6）：32-34.