一種實用的大電網(wǎng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析方法

楊慧敏 易海瓊 文勁宇 程時杰

（華中科技大學(xué)電力安全與高效湖北省重點實驗室 武漢 430074）

1 引言

隨著大區(qū)聯(lián)網(wǎng)，我國電力系統(tǒng)中低頻振蕩現(xiàn)象逐年增多，其嚴(yán)重性甚至超過了暫態(tài)穩(wěn)定性，成為系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的主要障礙[1]。低頻振蕩與系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性密切相關(guān)，目前的電網(wǎng)調(diào)度部門通常會針對電力系統(tǒng)的典型運行方式進行小干擾穩(wěn)定分析校驗，即根據(jù)設(shè)定的負(fù)荷大小和給定的開機方式，通過數(shù)字仿真的方法進行特征值分析和阻尼比等相關(guān)指標(biāo)計算，只有具有一定穩(wěn)定裕度的運行方式才可能被采用。這種方法屬于確定性的分析方法，但是，由于負(fù)荷波動和開機調(diào)度等原因，系統(tǒng)的實際運行工況與規(guī)劃的典型運行方式總存在差別，而且用于仿真分析的模型參數(shù)與系統(tǒng)的實際參數(shù)總存在誤差。因此，電網(wǎng)在典型運行方式下，由于上述不確定性因素導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩的風(fēng)險有多大，是一個關(guān)系到電網(wǎng)安全的重要問題。然而，如果將各種可能的不確定性因素都用確定性方法加以校驗，其計算量將十分巨大，難以應(yīng)用于實際電網(wǎng)。

概率穩(wěn)定性分析彌補了確定性方法只能針對某些特定方式進行穩(wěn)定分析的局限性，因而在電力系統(tǒng)規(guī)劃與運行中有廣泛的應(yīng)用前景。現(xiàn)有的小干擾穩(wěn)定概率穩(wěn)定分析方法中，解析法通常假定特征根服從正態(tài)分布，并建立特征根與隨機參數(shù)間復(fù)雜的非線性函數(shù)關(guān)系，為減少計算量，需要對所研究的問題進行不同程度的簡化，可能出現(xiàn)較大偏差[2-3]。蒙特卡羅仿真法（Monte Carlo Simulation, MCS）能計及多種隨機因素，簡單方便，但需進行大量的抽樣和重復(fù)運算[4-5]。研究表明[6]：兩點估計法（Two Point Estimate, TPE）可以較好地解決概率穩(wěn)定性分析中計算精度和計算量之間的矛盾，對四機兩區(qū)系統(tǒng)的仿真結(jié)果顯示，TPE法在保證與 MCS法具有相同計算精度的同時，能通過較少的運算得到系統(tǒng)的統(tǒng)計特征，從而避免了 MCS進行大量抽樣、重復(fù)計算的缺陷。但要將該方法應(yīng)用于實際電網(wǎng)的低頻振蕩風(fēng)險評估分析，則還需要對風(fēng)險指標(biāo)和計算方法等進行更深入的研究。系統(tǒng)的風(fēng)險評估模型可以表示為[7]

即風(fēng)險由事故發(fā)生的概率 P ( I n stable| X0)及其后果E[ I( I n stable)]兩部分組成。本文的研究工作集中在前者，即在預(yù)定的電網(wǎng)典型運行工況下，由于負(fù)荷波動、參數(shù)誤差、開機變化等不確定性因素導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩的概率有多大，定義了概率穩(wěn)定性指標(biāo)，給出了基于TPE的穩(wěn)定指標(biāo)計算方法，并以湖北電網(wǎng)為例，驗證了所提方法的有效性。

2 低頻振蕩的概率穩(wěn)定性指標(biāo)

常規(guī)的電網(wǎng)低頻振蕩穩(wěn)定性分析過程是：對系統(tǒng)在設(shè)定運行點進行線性化并進行特征值分析，如果其中一個或多個特征根的實部位于復(fù)平面的右半平面，且該特征根對應(yīng)的振蕩模式屬于低頻振蕩模式，則系統(tǒng)在該點可能發(fā)生低頻振蕩，電網(wǎng)不能在該點運行；如果所有特征根的實部都位于左半平面，則需要考查相應(yīng)的阻尼比，只有當(dāng)阻尼比大于某個值（我國電網(wǎng)目前一般設(shè)定為 3%）時，才能保證系統(tǒng)具有足夠的低頻振蕩穩(wěn)定性，而對于阻尼比小于 3%的振蕩模式稱為弱阻尼振蕩模式，它們雖然屬于穩(wěn)定的振蕩模式，但仍然存在發(fā)生低頻振蕩的風(fēng)險。因此，系統(tǒng)特征根的實部符號及對應(yīng)振蕩模式的阻尼比大小是衡量電網(wǎng)低頻振蕩穩(wěn)定性的兩個重要指標(biāo)。

一般情況下，負(fù)荷波動近似滿足正態(tài)分布[8]：L～ N (μL, σL)，L為系統(tǒng)負(fù)荷，μL和σL分別為負(fù)荷的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；系統(tǒng)運行參數(shù)一般近似滿足多元正態(tài)分布[9]。當(dāng)電網(wǎng)工作在設(shè)定的典型運行方式，而電網(wǎng)的不確定性因素按照上述特性變化時，特征根的統(tǒng)計特性可用相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差描述，并可由概率特征根計算確定[10]。

對特征根 λi=αi+ iβi，相應(yīng)的阻尼比為ξi。當(dāng)電網(wǎng)由于不確定性因素造成擾動而導(dǎo)致特征根發(fā)生變化時，由前述分析可知，為保證電網(wǎng)的穩(wěn)定性，λi的實部αi必須始終處于左半復(fù)平面，即αi位于左半復(fù)平面的概率（記為Pα0）必須為1：

式中，f(αi)為αi的概率密度函數(shù)。相應(yīng)地，電網(wǎng)在典型運行方式 X0下發(fā)生不穩(wěn)定低頻振蕩的概率可以定義為

式（2）和式（3）只是給出了電網(wǎng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性的必要條件，為了更好地反映電網(wǎng)的穩(wěn)定性，還應(yīng)該給出穩(wěn)定裕度的概率指標(biāo)。

記λi的實部αi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和σαi，根據(jù)正態(tài)分布的特性可知，αi位于區(qū)間[- 4σαi,+ 4σαi]內(nèi)的概率為0.999 94，αi可近似認(rèn)為完全位于該區(qū)間內(nèi)[11]，為確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，上述區(qū)間應(yīng)完全位于復(fù)平面的左半平面內(nèi)，即

同理，如果阻尼比ξi也滿足正態(tài)分布，具有均值和標(biāo)準(zhǔn)差σξi，當(dāng)式（2）成立時，必然有

式（2）和式（3）給出了電網(wǎng)低頻振蕩的概率穩(wěn)定性必要條件，式（4）和式（5）及對應(yīng)的和反映了概率穩(wěn)定性裕度。如何根據(jù)不確定性因素的分布特性計算出這些指標(biāo)值成為電網(wǎng)低頻振蕩風(fēng)險評估的關(guān)鍵，本文采用了基于TPE的方法。

3 基于TPE的低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析方法

3.1 兩點估計法TPE

不確定因素可由隨機參數(shù)x表示，待求統(tǒng)計特性的變量（如特征根）可由隨機變量z表示，理論上可由x的分布得到z的分布。但當(dāng)二者間函數(shù)關(guān)系較為復(fù)雜時，z的分布計算將變得極為困難，需要借助于適當(dāng)?shù)臄?shù)值計算辦法求得。TPE法是一種有效的獲取隨機變量統(tǒng)計特征的方法，目前在電力系統(tǒng)中已被用于隨機條件下的潮流分析[12-13]和可用傳輸容量的計算[14]等。

記z為N維隨機矢量x的函數(shù)

Lk,1=0，Lk,2=1，Lk,3為 xk的斜度系數(shù)。將 h(x)在 x的均值附近進行泰勒展開，并忽略交叉項后可得

式中h(i)(·)表示h(·)的第i階偏導(dǎo)數(shù)。對式（8）求 zj的均值，計算如下：

若對xk取兩個值，記xk,m=+ ζk,mσk，記 pk,m為取xk,m的集中概率（ζk,m和pk,m為待定系數(shù)，m=1, 2，k=1,2,…,N）。分別將式（9）乘以 pk,m后累積有

設(shè)式（9）和式（10）展開后前 3階相等，即使 xk達到三階精度，于是

進一步設(shè)

則未知數(shù)和等式的個數(shù)均為4N，可解得

其中，Lk,3的定義見式（7）。

由式（15）可得，zj的均值和標(biāo)準(zhǔn)差σzj為

當(dāng)h(x)是三階及三階以下多項式，且各個變量相互獨立時，由式（16）可以精確地得到均值。可見，上述TPE法沒有對參數(shù)x的分布類型進行限制，避免了需要事先建立zj與x之間的函數(shù)關(guān)系，且不需要求解式（8）中的高階導(dǎo)數(shù)。可以看出，TPE法實質(zhì)上類似于灰箱分析，能在已知隨機參數(shù)三階矩的條件下，通過較少的計算得到待求隨機變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計信息。對于具有n個隨機參數(shù)的問題，兩點法僅需要進行2n次計算即可。

3.2 基于TPE的TLPA法

已知以下隨機量的統(tǒng)計特征：實際負(fù)荷、發(fā)電功率、節(jié)點電壓、線路參數(shù)，記為 x =(PLQLXCPG… )，待求隨機變量為 z = ( λi…)，其中省略號表示視需要選擇。

則基于TPE法的低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析方法TLPA的步驟如下：

（1）選擇合適的隨機參數(shù)，由式（7）計算隨機參數(shù)的斜度系數(shù)Lk,3。

（2）對每個隨機參數(shù) xk由式（14）計算出相應(yīng)的待定常數(shù)ζk,m和pk,m，m=1,2。

（3）依次對每個隨機參數(shù)xk,m=+ ζk,mσk，進行兩次仿真，可分別得到式（15）所示的該隨機參數(shù)對特征根第l階矩的估計值的影響。

（4）全部參數(shù)循環(huán)完畢后，按式（16）和式（17）得到特征值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。

（5）計算穩(wěn)定概率和穩(wěn)定指標(biāo)等。

參與因子、特征矢量和阻尼比等隨機變量的統(tǒng)計特征根可在上述特征根的計算中一并完成。圖 1給出了基于 TPE法的電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定分析法TLPA的流程圖。

可以看出，TLPA法沒有限制參數(shù)的分布類型，能通過較少的計算得到系統(tǒng)的穩(wěn)定指標(biāo)及穩(wěn)定概率，能大幅減少計算量和所需的時間，且隨機變量維數(shù)的增加并不會帶來計算時間的顯著差異。

4 TLPA的應(yīng)用研究

4.1 IEEE-16節(jié)點系統(tǒng)

由于 MCS法計算精度高，常作為基準(zhǔn)，用于與其他方法計算結(jié)果準(zhǔn)確與否的對比。為了驗證TLPA法的有效性，本節(jié)將TLPA法與2000次MCS法（記為MCS2000）所得結(jié)果進行了比較。算例采用 IEEE-16機系統(tǒng)，系統(tǒng)詳細(xì)結(jié)構(gòu)及參數(shù)見文獻[15]，借助于Matlab環(huán)境下Power System Toolbox（PST）[15]的小擾動穩(wěn)定仿真程序。

考慮節(jié)點41和52上負(fù)荷波動幅度為10%，即P41～N(10,1)和 P52～N(24.7,2.47)，分別由 TLPA 法和 MCS2000法計算得到系統(tǒng)的特征根，由于數(shù)目眾多，不一一列出，僅給出特征根均值的相圖，如圖2所示，TLPA法求得的特征根均值相對于MCS 2000法的偏差如圖3所示。

由圖 2給出的特征根相圖可以看出，TLPA法與 MCS2000法的計算結(jié)果幾乎一致。由圖 3給出的偏差圖可以看出，由TLPA法得到的特征根均值實部相對于MCS2000法最大偏差不超過0.4%。而在計算量上，TLPA法僅需要 4次計算，遠遠小于MCS2000法，這在計算精度以及計算量上得到了很好的協(xié)調(diào)。

圖1 TLPA法流程圖Fig.1 Flow chart of TLPA method

圖2 兩種方法所得到的特征根均值Fig.2 Mean value of eigenvalue obtained by two methods

圖3 TLPA法得到的特征根實部的偏差Fig.3 Deviation of mean value of α obtained by TLPA

4.2 華中－華北互聯(lián)電網(wǎng)

圖4 華中－華北互聯(lián)電網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 CC－NC interconnected bulk power grid structure

由于TLPA法的計算量較小，因此可以應(yīng)用于實際系統(tǒng)的低頻振蕩風(fēng)險評估的研究。本文選取華中－華北互聯(lián)電網(wǎng)作為實際電力系統(tǒng)的算例，結(jié)構(gòu)如圖4所示。考慮互聯(lián)電網(wǎng)中220kV及以上網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)華中電網(wǎng)“十一五”規(guī)劃確定的2008年豐大、豐小、枯大、枯小等典型運行方式，重點研究湖北電網(wǎng)的低頻振蕩概率穩(wěn)定性。在電力系統(tǒng)分析綜合程序（PSASP）下建立了電網(wǎng)計算原始模型[16]，以豐大方式為例，此時系統(tǒng)共有8972條母線，978臺發(fā)電機，發(fā)電機組考慮了勵磁調(diào)節(jié)器和調(diào)速器。

本文同時考慮了以下兩種不確定性因素對湖北電網(wǎng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性的影響：

（1）負(fù)荷波動。由于負(fù)荷預(yù)測結(jié)果與實際總存在一定的偏差，因此可將實際負(fù)荷視為一個滿足正態(tài)分布的隨機變量。其中，正態(tài)分布的均值即為負(fù)荷水平，而負(fù)荷預(yù)測的精度決定了正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差的大小。本文選取大負(fù)荷中心武漢地區(qū)（約占全省總負(fù)荷的32.6%）作為研究對象，設(shè)負(fù)荷水平服從均值為其預(yù)測值，標(biāo)準(zhǔn)差為5%，傾斜度為0.006的斜正態(tài)分布。

（2）重要聯(lián)絡(luò)線的線路參數(shù)變化。以安裝了串聯(lián)補償裝置的萬縣-龍泉500kV雙回線為例，假定其補償度服從XC= N( XC,20%)的正態(tài)分布。

應(yīng)用TLPA法計算穩(wěn)定概率時，首先根據(jù)負(fù)荷波動及線路參數(shù)變化的統(tǒng)計特性計算隨機參數(shù)xk,m(m =1,2； k=1,2)，然后計算xk,m時系統(tǒng)的特征根，最后給出穩(wěn)定概率。具體步驟如下：由式（7）計算每個不確定因素的斜度系數(shù)，再代入式（14）計算權(quán)重因子ζk,m和參數(shù) pk,m，便可由xk,m=+ ζk,mσk得到 4個隨機參數(shù) xk,m。分別計算4個隨機參數(shù)下系統(tǒng)特征根，最后由式（15）～式（17）得到綜合考慮兩種不確定因素下系統(tǒng)特征值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。并由式（2）～式（5）計算出相應(yīng)的穩(wěn)定概率和穩(wěn)定指標(biāo)，見下表。由于數(shù)目較多，只給出了與湖北機組強相關(guān)的弱阻尼（阻尼比小于3%）低頻振蕩模式。

由表中的結(jié)果可以看出，武漢地區(qū)整體負(fù)荷水平波動5%并且萬龍線串補服從XC= N(,20%)的正態(tài)分布時，對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響很小，各振蕩模式的穩(wěn)定概率均為1。以模式1為例，實部為-0.02，阻尼比僅為0.28%，但特征根指標(biāo)以及阻尼比指標(biāo)分別達到118.25和2772.11，這表明特征根實部α 和阻尼比ξ 的標(biāo)準(zhǔn)差很小。根據(jù)正態(tài)分布的函數(shù)的性質(zhì)可知，特征根實部α 落在[- 4 σα,+4σα]內(nèi)的概率為0.999 94，標(biāo)準(zhǔn)差越小，概率分布越集中在均值的附近。所以，雖然模式1為弱阻尼振蕩模式，但是上述兩個不確定因素對其影響非常小，特征根實部α 在左半平面的概率為 1，并且其概率分布較為集中，仍然是穩(wěn)定的。對阻尼比指標(biāo)進行分析可以得到同樣的結(jié)論。

本文實際系統(tǒng)算例的狀態(tài)矩陣已經(jīng)達到了23 348階，對這樣大規(guī)模的系統(tǒng)進行1次特征值計算已屬不易，若采用 MCS2000法對其低頻振蕩特性進行概率穩(wěn)定性分析，則需進行2000次特征值計算，計算量過于龐大，難以完成。而考慮兩個不確定因素，TLPA法只需進行 4次特征值計算，相比較 MCS2000法所需的計算量大為減少，可以完成大系統(tǒng)概率穩(wěn)定性分析。并且，系統(tǒng)規(guī)模越大，TLPA法的優(yōu)勢越明顯。

表 弱阻尼振蕩模式的概率分析Tab. The probability analysis results of oscillation modes

5 結(jié)論

本文提出了基于TPE的電力系統(tǒng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析TLPA法，定義了概率穩(wěn)定性指標(biāo)，給出穩(wěn)定指標(biāo)的計算方法。該方法沒有限制不確定參數(shù)的分布類型，能夠計算多重不確定因素導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生低頻振蕩的概率，而且在保證與 MCS法具有相等的計算精度的同時，具有計算量小、計算時間短的優(yōu)勢，已成功應(yīng)用于實際電網(wǎng)低頻振蕩特性分析。

[1]劉取. 電力系統(tǒng)穩(wěn)定性及發(fā)電機勵磁控制[M]. 北京: 中國電力出版社, 2007.

[2]宗秀紅, 張堯, 武志剛. 電壓穩(wěn)定的概率特征根分析[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2006, 26(8): 61-65.Zong Xiuhong, Zhang Yao, Wu Zhigang. Probabilistic eigenvalue analysis for voltage stability[J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(8): 61-65.

[3]Wang K W, Chung C Y, Tse C T, et al. Improved probabilistic method for power system dynamic stability studies[C]. IEE Proceedings: Generation,Transmission and Distribution, 2000, 147 (1): 37-43.

[4]李文沅, 盧繼平. 暫態(tài)穩(wěn)定概率評估的蒙特卡羅方法[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2005, 25(10): 18-23.Li Wenyuan, Lu Jiping. Monte-Carlo method for probabilistic transient stability[J]. Proceedings of the CSEE, 2005, 25(10): 18-23.

[5]Xu Z, Dong Z Y, Zhang P. Probabilistic small signal analysis using Monte Carlo simulation[C]. Power Engineering Society General Meeting, 2005. IEEE,2005: 1658-1664.

[6]易海瓊, 程時杰, 侯云鶴. 基于點估計的電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定概率分析[J]. 電力系統(tǒng)自動化, 2007,31(23): 1-5.Yi Haiqiong, Cheng Shijie, Hou Yunhe. An efficient point estimate method for probabilistic small signal stability analysis[J].Automation of Electric Power Systems, 2007, 31(23): 1-5.

[7]Ni M, Mccalley J D, Vittal V, et al. Online risk-based security assessment[J]. IEEE Trans. on Power Systems, 2003, 18(1): 258-265.

[8]Schilling M T, Leite da Silva A M, Billinton R.Bibliography on power system probabilistic analysis[J].IEEE Transactions on Power System, 1990, 5(1):1-11.

[9]陳為化, 江全元, 曹一家. 基于風(fēng)險理論的復(fù)雜電力系統(tǒng)脆弱性評估[J]. 電網(wǎng)技術(shù), 2005, 29(4):12-17.Chen Weihua, Jiang Quanjuan, Cao Yijia. Risk-based vulnerability assessment in complex power systems[J].Power System Technology, 2005, 25(4): 12-17.

[10]王克文, 鐘志勇, 謝志棠, 等. 混合使用中心矩與累加量的電力系統(tǒng)概率特征根分析方法[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2000, 20(5): 37-41.Wang Kewen, Zhong Zhiyong, Tse C T, et al. A hybrid algorithm using moment and cumulant for power system probabilistic eigenvalue analysis[J].Proceedings of the CSEE, 2000, 20(5): 37-41.

[11]Hong H P. Efficient point estimate method for probabilistic analysis[J]. Reliability Engineering &System Safety, 1998, 59(3): 261-267.

[12]Su C L. Probabilistic load-flow computation using point estimate method[J]. IEEE Trans. on Power Systems, 2005, 20 (4): 1843-1851.

[13]Hong H P. Efficient point estimate method for probabilistic analysis[J]. Reliability Engineering &System Safety, 1998, 59(3): 261-267.

[14]Su C L, Lu C N. Two-point estimate method for quantifying transfer capability uncertainty [J]. IEEE Trans. on Power Systems, 2005, 20(2): 573-579.

[15]Chow J H. Power system toolbox: a set of coordinated m-files for use Matlab[R]. New York:Cherry Tree Scientific, 1996.

[16]PSASP6.24使用手冊[R]. 北京: 中國電力科學(xué)研究院, 2003.