永磁體磁共能的計算方法

王 騫 鄒繼斌 付興賀 唐 宇

（哈爾濱工業大學電氣工程與自動化學院 哈爾濱 150001）

1 引言

虛功法作為一種計算電磁系統的電磁力或電磁轉矩的常用方法，具有精度高、計算量小等諸多優點。當采用虛功法時，需要對系統中的磁能或磁共能進行計算。對于含有永磁體的系統，磁（共）能存在于以下區域：①非磁性區域，如氣隙和銅線；②軟磁材料，如鐵心；③永磁體。如果認為鐵心是理想的，即其磁導率為無窮大，則可以忽略鐵心內的磁（共）能，系統的磁（共）能主要儲存于氣隙和永磁體中。對于永磁體內的磁能，已有較多文獻進行研究[1-8]。但對于永磁體內磁共能的研究，卻鮮有提及。

利用系統的磁能或磁共能計算電磁力為

式中 Fe——電磁力；

W，W′——系統的磁能、磁共能；

i——電流；

x——位移；

λ——系統的磁鏈。

對于某些系統，電流i恒定，而系統磁鏈λ 隨位移x的變化而變化，此時式（1）不再適用；同時由于對永磁體內的磁共能沒有明確的計算方法，不能保證用式（2）進行計算的正確性，因而使虛功法的應用受到了極大的限制。為了解決上述問題，必須明確地提出永磁體磁共能的計算方法。文獻[9]簡要地提出了永磁體內磁共能的計算方法，但沒有對其物理意義進行闡述，并且其合理性也沒有得到驗證。

本文第二部分給出了永磁體內磁共能的計算方法，并對其物理意義進行了闡述；第三部分通過對一個含有恒定電流電勵磁的理想永磁磁路所產生的電磁力進行計算，驗證了該方法的正確性；第四部分對永磁體的實際退磁特性進行了考慮，并對“存在垂直于永磁體磁化方向上的磁場”的情況進行了分析；在此基礎上，第五部分分別采用解析法和圖解法對無傳導電流時永磁體系統的磁共能進行了計算和分析。

2 永磁體磁共能的計算方法

根據文獻[9]，磁共能W′被定義為電流i和位移x的函數，其表達式為

將磁能的表達式

代入式（3）得

式（5）對于軟磁材料（H=0時B=0）是適用的。對于永磁體，由于當H=Hc（Hc為永磁體的矯頑力，為一負值）時，B才等于0，因而需對式（5）進行適當地修正以用于計算永磁體內的磁共能。

在本文中，推薦將永磁體的磁共能定義為

與式（5）相比，只是將積分的下限由 0變為Hc。

在該定義下，永磁體磁共能密度的表達式為

其大小如圖1中陰影部分面積所示。

圖1 推薦的永磁體磁共能密度的計算方法Fig.1 Recommended algorithm of stored co-energy density in a permanent magnet

該計算方法具有明確的物理意義：

（1）能量總是一個非負值，這是一個很自然的概念；式（6）的定義保證了永磁體內的磁共能始終是一個非負值（因為積分號中的B和dH均為非負值）。

（2）該定義與其他無源材料（即 Hc=0，如空氣）的磁共能的計算方法是一致的，只需令式（6）中的Hc=0就變為了磁共能的原始計算公式，即式（5）。

對于具有理想特性的永磁材料，其退磁曲線為直線，即磁導率不隨工作點位置的變化而變化（如圖1所示），其退磁特性可表示為

式中 Br——永磁體的剩磁；

μr——永磁體的相對磁導率。

則永磁體的磁共能密度為

可以看出，該表達式與無源材料（如空氣）磁共能密度的表達式是一致的。

3 實例驗證

圖2為一具有理想特性的磁路：鐵心的磁導率為無窮大，永磁體的退磁曲線為直線，且忽略漏磁和氣隙邊緣效應的影響。將繞組中通一恒定電流，其磁動勢用Fa來表示。

圖2 含有恒定電流和理想永磁體的磁路示意圖Fig.2 Schematic of a system with constant current and ideal permanent magnet

在以下各式中，用下標m表示永磁體，g表示氣隙。

同式（8），永磁體的退磁曲線滿足

根據安培環路定律和磁通連續性定律，有

聯立式（10）～式（12），解之得

理想鐵心的磁共能為 0，所以系統的磁共能包括氣隙內的磁共能和永磁體內的磁共能，其表達式分別為

式中，d為磁路軸向長度。

由于i=constant，因而可以采用式（2）來計算系統的電磁力，其表達式為

則單位面積的力密度為

這個結果與用傳統方法所得出的結論是一致的[2,10-11]，從而驗證了文中提出的永磁體磁共能計算方法的正確性。

4 對永磁體實際退磁特性的考慮

永磁體的退磁曲線并非全是直線。事實上，對于有的永磁體，如部分鐵氧體永磁體，或工作在高溫環境下的稀土永磁體，其退磁曲線上的上半部分為直線，當超過膝點后，退磁曲線就急劇下降，如圖3所示。

圖3 部分永磁體的實際退磁曲線Fig.3 Practical demagnetization characteristics for some permanent magnets

下面分兩種情況來計算具有上述退磁特性的永磁體的磁共能。

（1）退磁磁場強度不超過拐點。當退磁磁場強度不超過膝點時，回復線與退磁曲線的直線段相重合，此時永磁體磁共能的分析方法與前面的相一致，只是用cH′來代替 Hc，其中cH′為回復線的延長線與橫軸的交點。磁共能密度的表達式依然為式（9）。

（2）退磁磁場強度超過拐點。當退磁磁場強度超過拐點后，新的回復線不再與退磁曲線相重合，此時永磁體被部分永久去磁。設cH′為新的回復線的延長線與橫軸的交點，則新的回復線的表達式為

則此時永磁體的磁共能密度為

綜合以上兩種情況可以看出，在考慮了永磁體的實際退磁特性后，永磁體的磁共能密度依然可以用式（9）來表示，因而用式（9）來計算永磁體的磁共能密度具有很強的適用性。

需要注意的是，本文以上部分的分析都是僅僅針對永磁體的磁化方向進行考慮的。當存在垂直于永磁體磁化方向的磁場作用于永磁體時，永磁體的磁共能密度應表示為

式中 Bpar——永磁體磁化方向上的磁通密度；

μpar——永磁體磁化方向上的相對磁導率；

Bper——垂直于永磁體磁化方向上的磁通密度；

μper——垂直于永磁體磁化方向上的相對磁導率。

5 無傳導電流時永磁體系統的磁共能

如前所述，對于含有永磁體的系統，其磁共能主要分布在永磁體、氣隙和鐵心區域內，即

下面分別用解析法和圖解法，來推導無傳導電流時永磁體系統的磁共能的表達式。

5.1 解析法

假設鐵心的磁化曲線是線性變化的，則鐵心內的磁共能密度可表示為

此時式（22）可寫為

式中 Vpm，Vair，Vsteel——永磁體、氣隙和鐵心所在區域的體積；

VS——氣隙和鐵心區域的體積之和。

對于無傳導電流的永磁體系統，即電流密度J=0，在忽略位移電流的條件下，有

式中 A——矢量磁位；

Vtot——系統的總體積，Vtot=Vpm+VS;

a——Vtot的表面。

因 A與場源和觀察點之間的距離成反比，H與距離二次方成反比，而面積與距離二次方成正比，所以當包圍整個空間的表面a在無窮遠處時，式（25）右邊的積分項為 0[12]，則式（25）可寫為

將其代入式（24）得

可以看出，無傳導電流時永磁體系統的總磁共能可以表示為永磁體區域的體積分的形式，其中被積分項為永磁體的磁共能密度和外部等效磁共能密度之和，記為ω′。ω′的表達式為

其大小如圖4中陰影部分面積所示。

圖4 永磁體磁共能密度和系統外部等效磁共能密度Fig.4 Illustration of magnet co-energy density and equivalent external co-energy density of a permanent magnet system with no conductive current

因而永磁體系統的磁共能可表示為

對于上述結論，可以從以下方面來理解：

（1）由于系統中不存在電流，系統中的磁場全部是由永磁體產生的，故磁共能可表示為只與永磁體區域有關的形式。

（2）氣隙和鐵心對系統的磁共能的影響體現在永磁體工作點的變化上。當氣隙或鐵心的工作點發生變化，即系統的磁阻發生變化時，永磁體的工作點會發生變化，相應的系統的磁共能也將發生變化，從而產生電磁力或電磁轉矩。

眾所周知，電磁系統的運行遵循“磁阻最小”原理，即電磁力的方向是使磁路磁阻減小的方向，如圖4中所示，外部特性從Oa變化為Ob；從圖4中可以看出，系統的磁共能是增大的，這與式（2）所表示的物理意義是一致的，即電磁力的方向是使系統磁共能增大的方向，這也在一定程度上驗證了本文提出的計算方法的合理性。

5.2 圖解法

對圖1中的永磁體退磁曲線，將縱坐標乘以永磁體提供每極磁通的截面積，橫坐標乘以每對極磁路中永磁體磁化方向長度，即可得到圖 5所示的φ= f( F)曲線。

圖5 永磁體及外磁路的()f Fφ=曲線Fig.5 φ=f(F)curves for permanent magnet and external magnetic circuit

圖中，曲線OM′為外磁路的()f Fφ=曲線，其非線性是由鐵心的非線性所引起的，此時永磁體的工作點為點M。

系統的磁共能為永磁體的磁共能與外磁路的磁共能之和，可表示為

即永磁體系統的磁共能為閉合區域 FCMOFC的面積。

若忽略鐵心的非線性，則外磁路的()f Fφ=曲線為線性，如直線 ON′所示，此時永磁體的工作點為點N，相應地，系統的磁共能為

即永磁體系統的磁共能為閉合區域 FCNOFC的面積，這與解析法得出的結論是一致的。

綜上所述，對于無傳導電流的永磁體系統，其磁共能可以表示為永磁體的體積分；且積分項僅與永磁體工作點有關，形式簡潔，物理意義明確，這有利于簡化對系統的性能分析。上述分析為“磁通—磁動勢法[5]”的應用提供了理論基礎，可以方便地用來對永磁電機的定位力/定位力矩進行計算和分析。

6 結論

推薦采用式（6）來計算永磁體內的磁共能。通過該方法，永磁體的磁共能密度可用式（9）來表示，該式與其他無源材料的表達式相一致，且對于永磁體的理想退磁特性和實際退磁特性，該式均適用，因而用式（9）來計算永磁體的磁共能密度具有很強的適用性；并且對于無傳導電流的永磁體系統，系統的總磁共能可以表示為僅與永磁體體積分有關的形式，這極大地方便了對系統的性能分析。

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