談職高數學概念教學難點的突破

魯軍兵

（余姚市職成教中心學校浙江余姚315400）

談職高數學概念教學難點的突破

魯軍兵

（余姚市職成教中心學校浙江余姚315400）

概念教學是數學教學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學最重要的一環。本文從創設情景、提供范例、設計實驗、結合專業、加強應用等方面，對職高數學概念教學的難點提出了突破的方法。

職高數學；概念教學；難點；突破

職高數學作為重要的基礎理論和重要的應用工具學科，不僅要求學生努力學好，而且要讓學生真正感受到學好數學的意義，更重要的是，在我們的數學教學中要注重與專業課之間的聯系，為學生學習專業知識、培養其實踐技能打下良好基礎。數學是由概念與命題等內容組成的知識體系。它是一門以抽象思維為主的學科，而概念又是這種思維的語言。因此，概念教學是數學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念是學好數學最重要的一環。

一些學生數學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是職業中學的學生，數學素養差的關鍵是在對數學概念的理解、應用及轉化等方面。因此，抓好概念教學是提高數學教學質量的帶有根本性意義的一環。那么，作為職高數學教師應如何開展數學概念的教學并針對難點進行突破呢？以下是筆者在教學工作中總結的幾個途徑。

創設情景，在探索中理解概念

職高生已具備相當多的生活經驗，對生活中的許多數學現象或問題懷有濃厚的興趣，教師要巧妙地運用學生在生活中的感知，激發學生強烈的求知欲。因此，教師在數學教學中，應根據教學內容，結合實際，設計使學生獨立探究的情景，激發學生積極探究的熱情，培養學生興趣，使學生在實驗探索中逐步理解概念。

案例：函數單調性概念

問題情境引入教師元旦打算出游，因為只有一天假期，所以選擇了當地的一個旅游景點——四明山（展示四明山風景圖）。但是擔心天氣情況（播放中央電視臺天氣預報的音樂），為了預測元旦四明山當天的天氣情況，我們研究2008年這一天的天氣情況，圖1為2008年元旦24小時內氣溫變化曲線圖。問題1：觀察圖1，能得到什么信息？歸納：用函數的觀點看，其實這個例子反映的就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是在變小。從而引入課題：函數單調性。

圖1 2008年元旦24小時內氣溫變化曲線圖

歸納探索，形成概念問題2：分別做出函數y=-x+2,y=x2, y=的圖像，并且觀察自變量變化時，函數值的變化規律（見圖2）。借助圖像，直觀感知，引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質。從圖像直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識。

圖2 函數圖像圖

抽象思維，形成概念問題3：如何從解析式的角度說明f (x)=x2在[0,+∞]上為增函數？如果學生回答錯誤，應引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量x1，x2。任取x1，x2∈[0,+∞）,且x1＜x2，因為（x1+x2）（x1-x2）＜0，即所以f（x）=x2在[0,+∞）上為增函數。把對單調性的認識由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認識。通過學生自己分析、討論，從被動學習變成主動參與，充分調動了學生的積極性，使學生加深對教學過程的感受。結合“問題”，促使學生自主探索、合作交流，既培養了學生的實踐能力和創造能力，又培養了學生的探索精神，從而加深對新概念的理解和記憶。

提供范例，在歸納中突破

概念學習的基本方法是：呈現給學習者反映概念關鍵特征的典型例子，或者從兩個或更多的實際例子中提煉出事物的共同特征。所以，利用范例能幫助學生在歸納、抽象、概括中突破難點。

案例：函數

函數，是中學數學的重點內容。為了幫助學生對函數概念的理解，教學中可采用以下步驟：

提供范例教師應向學生提供足夠多的且學生感知過的概念例證，讓學生觀察與思考。（1）炮彈發射問題：一枚炮彈發射后，經過26s落地面擊中目標，炮彈的射高為845m且炮彈距地面的高度h隨時間變化規律是：h=130t-5t2。高度h和時間t之間的關系；（2）氣溫變化問題：某一天的氣溫與時間之間的關系（提供醒目的溫度曲線）；（3）本班學生與最近一次數學考試成績之間的關系。

找出共同屬性通過比較各個刺激模式的屬性，找出它們的共同屬性。如：（1）有兩個變量x和y；（2）變量x可在某一范圍內任意取值；（3）對于該范圍內變量x的每個值，變量y都有唯一確定的值和它對應。

形成概念把共同本質屬性類推到其他同類事物中去就形成了概念，最后用準確精煉的數學符號語言予以表達。

設計實驗，在觀察中突破

職高學生具有動手能力強、思維能力差的特點，針對學生這一特點，對幾何、向量等領域的抽象概念，可以通過設計實驗的方法，使幾何模型不斷得以改變和修正，建構出與概念相異、相近、相同的反例和正例，從而幫助學生在觀察、思考及總結中突破難點。

案例：線面垂直判斷定理

在引入“線面垂直的判定定理”的概念時，教師為幫助學生掌握概念的本質屬性，可設計這樣一個實驗：折紙試驗（如圖3）。請學生拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）。觀察并思考：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（3）多媒體演示翻折過程。然后開始歸納直線與平面垂直的判定定理：（1）思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥CD，AD⊥BD發生變化嗎？由此你能得到什么結論？（2）歸納出直線與平面垂直的判定定理。

圖3 折紙試驗圖

安排折紙試驗，討論交流，給學生充分活動的時間與空間，幫助學生從自己的實踐中獲取知識。使學生更好地參與教學活動，展開思維，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。這樣通過實驗總結出的定義，學生印象比較深刻。

通過類比，在順應中突破

高中數學概念之間有著密切的聯系，對于那些與學生原有認知結構中的概念有關聯的概念，可通過新舊知識的聯系，尋找新知識的“生產點”。概念學習時，如果有一個與之平等的概念作基礎，就要注意進行類比，使學生在順應中突破難點。

案例：二面角（見圖4）

引導1：空間圖形的基本組成要素有哪些？

教師展示一鉛絲與一張紙，問學生它們代表什么？

引導2：教師沿一點把鉛絲折疊成一角，請學生說出此圖形名稱和它的組成要素，并給出它的定義。

類比引導3：教師在紙中畫線，沿線把紙折成一二面角，問學生此圖形名稱，它的組成要素，能否給它下一個類似定義。

圖4 二面角圖例圖

引導4：如何度量二面角的大小？

回顧：如何度量異面直線所成角？直線與平面所成角？

小結：轉化為二條相交直線所成的平面角。

類比：如何在二面角內找一個平面角度量二面角的大小？

引導5：這個平面角的點、邊與二面角的棱、面有何聯系？這樣的平面角唯一嗎？

抽象：如何作二面角的平面角？

通過實體模型展示，使學生從直線折疊形成角遷移至平面折疊形成二面角的概念。類比異面直線所成角、線面角，明確方向——找平面角，學生猜想模型中二面角的平面角，抽象出定義法。通過借助二維平面上角的概念來幫助學生理解和掌握三維空間的度量的有關概念。在類比的過程中學生完全可以通過自己的思維活動，主動建構對相應并列概念的理解。學生通過自己主動的思維活動得到的結果，應該更容易理解和掌握。

結合專業，在實踐中突破

數學問題不光來源于生活，還來源于所學專業知識中，教師應利用專業知識來設置教學情境，開展探究、討論、理解或問題解決等活動，在專業知識實踐中突破難點。

教師展示曲柄連桿機構的模型，大屏幕展示橫截面圖示（見圖5）。結合專業提出曲柄連桿機構的工作原理及組件AB和BC的名稱。

圖5 曲柄連桿機構的模型圖

問題1：⑴請學生說一說曲柄連桿在運動過程中的動點與定點，并作了哪幾類運動。⑵曲柄連桿機構在運動過程中，線段AB、BC、CA中，哪些線段的長度在變化。上課時提出這樣的問題。

圖6 曲柄連桿圖例圖

問題2：如圖6所示，若在三角形ABC中，已知連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄CB與連桿AB互相垂直時，求AC的長．

問題3：如圖6所示，若在三角形ABC中，已知連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄CB與連桿AB的夾角為80°時，求AC的長。

問題4：如圖6所示，在ΔABC中，BC、CA、AB所對邊分別為a、b、c，已知b、c及A，求邊a.。該問題是本堂課的核心問題，從實際問題抽象到數學化的一般問題，也是學習數學過程中學生最困難的地方。因為在前面已做了相應的鋪墊，提出抽象問題也就水到渠成了。通過這個過程，能讓學生體會到如何把實際問題演變發展成數學問題的思想方法，領會數學知識應用的廣泛性。

通過這樣一個情境設計，將學生的發展要求與專業實際結合起來，將數學課與專業課同步，引起了學生高度的關注和興趣，隨后的教學活動就沿著有關問題的解決生動地展開，學生始終懷著極大的興趣主動地合作、討論、探究，將枯燥無味的數學課變成一種樂在其中的有趣活動，不僅有利于促進理解，形成解決實際問題的能力，而且還可以激發聯想，生成創意，提高職高生的專業技術能力。

加強應用，在強化中突破

概念學習中要加強應用，幫助學生在知識深化中突破難點。因為雖然在呈現概念的實例和非實例之后，我們根據關鍵屬性給概念下了定義，但是呈現定義并不能保證學生就能學會這一概念。所以，在呈現定義之后，還應該注意概念的應用，以防止學生把概念的外延擴大（把非實例也歸為實例）或把概念的外延縮小（把實例也歸為非實例）。

案例：相等向量

揭示相等向量的概念以后，可以設計一些應用，以幫助學生深刻掌握。

（1）判斷題

（2）解答題

概念教學中加強應用的原因還在于：實踐中運用概念的過程，實質上是概念具體化的過程，而概念的具體化有助于學生對概念的深刻理解和牢固掌握。

總之，能否把數學概念講好，直接影響數學的教學效果。只有把概念形成的教學與定理、定律、法則的教學有機地聯系起來，才能使學生比較全面深刻地理解概念，提高掌握概念的水平和分析問題、解決問題的能力，才能把數學教學質量提高到一個新的水平。我們要高度重視概念的教學，只要我們針對職高生的特點認真備課，深入鉆研教材、教法，一定可以將每一節課上得生動精彩，取得良好的教學效果。

[1]陳慧文.談談怎樣上好概念課[J].中學數學研究，2001，（9）.

[2]李善良.數學概念學習研究綜述[J].數學教育學報，2001，（3）.

[3]曾國光.數學概念建構的教學策略研究[J].數學通報，2005，（3）.

G712

A

1672-5727（2010）09-0098-03

魯軍兵（1979—），男，浙江余姚人，余姚市職成教中心學校教師，中學二級教師，研究方向為職高數學教育。