模糊綜合評判決策模型的缺陷與消除

張世強，呂杰能，蔣 崢，張 雷

(重慶醫科大學 數學教研室，重慶 400016)

基于模糊綜合評判的決策模型幾乎在所有的模糊數學教科書及關于模糊數學應用的專著中都會提到，其基本模型是許多涉及到模糊綜合決策的應用性論文常用的模型[1],[2]?！督y計與決策》2005年11期刊載的“基于模糊綜合評判下的決策模型”再次介紹了該基本模型，并給出了“成功決策”的實例[3]。針對該實例，《統計與決策》2006年12期刊載的“一種不合理的模糊綜合評判下的決策模型”則指出該實例對應的決策會出現自相矛盾的結果[4]。即基于模糊綜合評判的基本決策模型是有缺陷的，其根源來源于基本模型在進行模糊綜合決策時使用的算子。本文將給出消除該缺陷的方法。

1 基本決策模型

設評價對象具有m個屬性，構成的因素集合記為U={u1，u2，…，um}；對于各個因素，可能取得 n 個評價，構成的評價集合記為 V={v1，v2，…，vn}。

對于評價對象的每一個屬性或因素ui都有一個模糊決策集合 Ri={ri1，ri2，…，rin}∈F(U×V)，m 個屬性或因素共有 m 個模糊決策集合，可以用模糊矩陣表示為：

稱R為因素決策矩陣。

如果評價對象的m個因素的權重分配集合為A={a1，a2，…，am}，則模糊決策矩陣B可由下式求出：

其中，算符“?”表示模糊合成運算。

在廣義模糊運算下，模糊決策矩陣B的第j個元素的計算式為：

其中“▽”表示廣義模糊“與”運算；“△”表示廣義模糊“或 ”運算。按此運算獲得的模糊決策矩陣B簡記為模糊決策模型 M(▽，△)。

模糊數學教科書及關于模糊數學應用的專著中給出的基于模糊綜合評判的基本決策模型一般有如下四類。

基本決策模型一：M(∧，∨)。

用取小運算符“∧”代替廣義模糊算子“▽”；用取大運算符“∨”代替廣義模糊算子“△”。此時，模糊決策矩陣B的第j個元素的計算式為：

基本決策模型二：M(·，∨)。

用普通乘法運算符“·”代替廣義模糊算子“▽”；用取大運算符“∨”代替廣義模糊算子“△”。此時，模糊決策矩陣B的第j個元素的計算式為：

基本決策模型三：M(·，⊕)。

用普通乘法運算符“·”代替廣義模糊算子“▽”；用運算符“⊕”代替廣義模糊算子“△”，其中運算符“⊕”定義為：

此時，模糊決策矩陣B的第j個元素的計算式為：

基本決策模型四：M(·，+)。

用普通乘法運算符“·”代替廣義模糊算子“▽”；用普通加法運算符“+”代替廣義模糊算子“△”。此時，模糊決策矩陣B的第j個元素的計算式為：

另外還有一些類似的基本決策模型，不再贅述。之所以會出現如此多的所謂的“基本決策模型”，其原因是當初采用“基本決策模型一”時，出現了“決策失效”的情況。為了解決該問題，于是就派生出了這些“基本決策模型”。不幸的是，這些“基本決策模型”總會出現這樣或那樣的問題。更不幸的是，創造這些“基本決策模型”的人沒有從根本上去找發生問題的原因，而始終在做一些查漏補缺的工作。

文獻[2]發現這些“基本決策模型”出現問題時，給出的分析是：

模型一為“主因素決定型”。但對于有的問題，可能會丟失很多的信息，因而得到的結果有些粗糙。解決的方法是不將評價對象的m個因素的權重分配集合A={a1，a2，…，am}歸一化，或者采用模型三或模型四。

模型二為“主因素突出型”。評價對象的m個因素的權重分配集合 A={a1，a2，…，am}不必歸一化。

表1

表2

模型三和模型四為“加權平均型”。評價對象的m個因素的權重分配集合 A={a1，a2，…，am}應該歸一化。

為了說明這些“基本決策模型”及其給出的分析有效，文獻[2]給出了如下的關于教學過程的綜合評價實例分析。

設U={清楚易懂，熟悉教材，生動有趣，板書工整}。評判分為四級：V={優，良，中，差}。用打分的方法對某教師的一堂課給出各因素的評價。評價結果見表1。

對于權重分配集合A，設專家對U中各因素的重要程度給出的評價為：

A={0.9，0.4，0.4，0.2}

則模糊決策矩陣B的計算式：

按照模型一計算出的模糊決策矩陣B=[0.4，0.45，0.4，0.1];

按照模型二計算出的模糊決策矩陣B=[0.36，0.41，0.22，0.04];

按照模型三，先把權重分配集合A歸一化，計算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計算出的模糊決策矩陣 B=[0.34，0.38，0.25，0.03];

按照模型四，先把權重分配集合A歸一化，計算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計算 出的模糊決 策矩陣 B=[0.34，0.38，0.25，0.03]。

使用上述四個評判決策模型，均得出某教師這堂課為“良”的結論。至于為什么模糊決策模型三和四的模糊決策矩陣完全相同，文獻[2]及幾乎所有的模糊數學教科書和關于模糊數學應用的專著沒有引起注意和作出解釋。本文后面討論部分會給出詳細的解釋。

2 基本決策模型引發的爭論

針對文獻[2]給出的四個基本決策模型和實例，文獻[4]指出：基本決策模型M(∧，∨)是不合理的。因為該模型的最終決策結果取決于某個(或某幾個)數字。例如上例中，由于因素“清楚易懂”的權重為0.9，理論上可能出現某教師的一堂課的評價結果如表2。

按照模型一計算出的模糊決策矩陣B=[0.45，0.4，0.2，0.4];

按照模型二計算出的模糊決策矩陣 B=[0.405，0.18，0.09，0.225]。

這兩個評判決策模型，均得出某教師這堂課為“優”的結論。

按照模型三，先把權重分配集合A歸一化，計算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計算出的模糊決策矩陣B=[0.3，0.225，0.12，0.325];

表3

表4

按照模型四，先把權重分配集合A歸一化，計算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計算出的模糊決策矩陣B=[0.3，0.225，0.12，0.325]。

這兩個評判決策模型，卻得出某教師這堂課為“差”的結論。

文獻[4]指出：這完全相反的評判結果令人無法接受。其原因是基本決策模型M(∧，∨)和M(·，∨)中的算子∧和∨的不合理性。

《統計與決策》2005年11期刊載的“基于模糊綜合評判下的決策模型”再次介紹了該基本模型，并給出了“成功決策”的實例[3]。

設因素集合U={教學態度，教學內容，教學方法，教學手段，教學效果}={u1，u2，u3，u4}。 評語集合分為四級：V={優秀，A類，B 類，C 類}={v1，v2，v3，v4}。

學校規定，分數在95以上者為優秀；分數在90～94之間者為A類；分數在65～89之間者為B類；分數在64分以下者為C類。假定某班共有學生60人，用打分的方法表示各自對評判教師的評價。甲教師的評價結果見表3。

對于權重分配集合A，設專家對U中各因素的重要程度給出的評價為：

A={0.30，0.20，0.20，0.10，0.20}

則模糊決策矩陣B的計算式B=A?R。

文獻[3]按照模型一計算出的模糊決策矩陣B=[0.30，0.25，0.20，0.10]。B(x1)最大，文獻[3]據此得出學生對甲教師的教學質量評價為“優秀”的結論。

針對該實例，《統計與決策》2006年12期刊載的 “一種不合理的模糊綜合評判下的決策模型”則指出該實例對應的決策會出現不合理，甚至荒唐的結果[4]。

文獻[4]給出的反例1如下：理論上可能存在某教師(乙教師)只要在教學態度上得到學生的好評，其他教學環節均很差，仍然可能被“綜合”評判為“優秀”。假設因素“教學效果”的評價打分是以期末學生的考試成績來確定，學生考試成績為多少分就認為該生給教師打了多少分。于是完全有可能出現乙教師的考評，在前四個因素的得分情況與上述例中的甲教師的打分情況完全一樣，唯獨教學效果的得分有差別。即：甲教師在因素“教學效果”上的得分為{0.30，0.50，0.10，0.10}；乙教師在因素“教學效果”上的得分為{0.10，0.10，0.10，0.70}，顯然二者有極大的差異。

但按照模型一計算出來的模糊決策矩陣，均得出D(x1)最大，得出了乙教師與甲教師一樣，教學質量評價均為“優秀”。這就是說，甲教師所教的學生的期末考試成績中有80%的學生的成績在90分以上，而乙教師所教的學生的期末考試成績中有70%的學生的成績在64分以下，而兩位教師的教學質量的綜合評價等級卻均為“優秀”。評價結果的不合理性是顯然的。

文獻[4]給出的反例2如下：理論上可能存在更為極端的情況，某教師(丙教師)的教學質量得分情況如表4。

顯然該教師除了在教學態度上得到一半學生的認可外，其他教學環節均很差。

但按照模型一計算出來的模糊決策矩陣，均得出D(x1)最大，得出了丙教師與甲教師一樣，教學質量評價均為“優秀”。評價結果顯然荒唐。

爭論的根源自然來自基本決策模型中廣泛使用的取小取大算法。該算法得到的結果只取決于某一個或幾個因素，其它因素根本不起作用。顯然基本決策模型中的取小取大算法遺漏了很多信息，這就是基本決策模型隱藏的缺陷。而幾乎所有的模糊數學教科書及關于模糊數學應用的專著又都將取小取大算法運用于模糊綜合評判，其結果就導致了絕大多數涉及到模糊綜合評判的應用性論文會通過所謂的“改進方法”，得出有利于作者意圖的“評判結果”。這樣的模糊綜合評判結果理論上很難令人信服，是否具有實際應用價值亦令人生疑。

3 消除基本決策模型隱藏的缺陷的方法

基本決策模型隱藏有缺陷的原因是使用了只取決于某一個或幾個因素，其它因素根本不起作用的取小取大算子。文獻[5]介紹的 Einstain 算子可以克服取小取大算子遺漏信息的缺陷。所以在基本決策模型中，用Einstain算子取代取小取大算子可以消除基本決策模型隱藏的缺陷。Ein?stain 算子的定義為：

對于上面文獻[2]的示例和文獻[4]針對文獻[2]的結論給出的反例，對于權重分配集合 A={0.9，0.4，0.4，0.2}，采用 E?instain 算子算出關于表1相關的模糊綜合向量為：B={0.5126，0.5533，0.3665，0.0376}，B(x2)最大，據此可得出學生對該教師的教學質量評價為“良”的結論；采用Einstain算子算出關于表2相關的模糊綜合向量為：B=[0.4641，0.3686，0.1712，0.4644]，B(x4)最大，據此可得出學生對該教師的教學質量評價為“差”的結論。這與文獻[4]的分析結果是相吻合的。

而對于權重分配集合A={0.9，0.4，0.4，0.2}的歸一化矩陣A={0.5，0.2，0.2，0.1}，采用 Einstain 算子算出關于表1相關的模糊綜合向量為：B={0.2480，0.2716，0.1722，0.0172}，B(x2)最大，據此可得出學生對該教師的教學質量評價為“良”的結論；采用 Einstain 算子算出關于表2相關的模糊綜合向量為： B=[0.2192，0.1702，0.0755，0.2216]，B(x4)最大，據此可得出學生對該教師的教學質量評價為“差”的結論。同樣與文獻[4]的分析結果相吻合。

該例還說明，在基本決策模型中，用Einstain算子取代取小取大算子后，對于權重分配集合A歸一化與否，并不影響綜合決策的結論。

對于上面文獻[3]的示例和文獻[4]針對文獻[3]的結論給出的反例， 對于權重分配集合 A={0.30，0.20，0.20，0.10，0.20}，采用Einstain算子算出關于表3相關的模糊綜合向量為：B={0.2802，0.2496，0.0787，0.0472}，B(x1)最大，據此可得出學生對甲教師的教學質量評價為“優秀”的結論；采用Einstain算子算出關于表4相關的模糊綜合向量為：B=[0.1007，0.0569，0.0787，0.4702]，B(x4)最大，據此可得出學生對丙教師的教學質量評價為“C類”的結論。文獻[4]中提到的丙教師與甲教師同樣“優秀”的荒唐結果不再呈現。

4 討論

模糊集合理論的基本運算符是取小取大運算符，幾乎所有的模糊數學教科書和模糊數學專著都將取小取大算法應用于基本決策模型。 由于該算法得到的結果確實只取決于某一個或幾個因素，其它因素根本不起作用，遺漏了很多信息。其結果就導致了絕大多數涉及到模糊綜合評判的應用性論文會通過選擇基本決策模型得出有利于作者意圖的“決策結果”。這樣的模糊綜合決策結果理論上很難令人信服，是否具有實際應用價值(見文獻[4]中的反例)亦令人生疑。另外，雖然通過選擇基本決策模型，可以得到模糊綜合決策結果，但卻導致模糊綜合決策的標準不統一，使文獻之間的結論不具備可比性。

還有不少文獻用線性代數中的乘和加算子(·，+)進行模糊綜合決策。但這些文獻都沒有注意到其中的“+”算子并不滿足模糊數學中的三角算子的兩極律，即加算子“+”不是余三角范算子，運算于模糊冪集是否會引發其它問題是值得商榷的[5]。為什么這些文獻用線性代數中的乘和加算子(·，+)也作出了“正確”的評判結果呢？這是因為在被評判的實例中，恰好不會出現a+b＞1的情況，此時線性代數中的乘和加算子(·，+)恰好等價于三角算子組合，即是用來評判的(其中a⊕b=min{a+b，1})，對于使用者來說并未意識到這一點。

最后需指出的是，取小取大算子是線性算子，從上面實例分析可知，它是一個具有可變漏洞的算子，這是產生爭論的根源。Einstain算子是非線性算子[5]，故能夠充分利用原始數據提供的全部信息。

[1]李洪興,王培莊.模糊數學[M].北京:國防工業出版社,1994.

[2]曹炳元.應用模糊數學與系統[M].北京:科學出版社,2005.

[3]謝小良.基于模糊綜合評判下的決策模型[J].統計與決策,2005,(11).

[4]周學松,蘇為華.一種不合理的模糊綜合評判下的決策模型[J].統計與決策,2006,(12).

[5]Zhang Shi-Qiang.Method of Checking up Concealed Faults on the Fuzzy Controller[C].The Proceedings of the China Associa?tion for Science and Technology,2008，1（4）.