基于離散小波變換的時變結構物理參數識別

王超，任偉新，黃天立

(中南大學 土木建筑學院，湖南 長沙，410075)

時不變模型可以用來描述許多結構系統的動力學特性，目前，許多研究主要針對于線性時不變結構系統的正問題和反問題。然而，許多實際的土木工程結構在其運營過程中表現出時變特性，例如列車過橋時橋梁的振動、結構發生損傷導致剛度退化等，結構參數(剛度、阻尼和質量等)會隨時間發生變化。因此，識別這類結構的時變特征參數對監測結構運營狀況和診斷結構損傷情況具有實際意義。對于時變結構模態參數識別，近年來許多研究人員提出了多種方法，如：續秀忠等[1-2]提出了用時頻分析和非平穩時間序列的時變自回歸建模的方法進行時變結構模態參數的識別；Liu等[3-4]提出了子空間識別方法，并建立了一個軸向移動懸臂梁試驗來驗證所提出的方法；龐世偉等[5]提出了基于整體數據子空間方法的改進算法，增強子空間算法的抗噪性；吳日強等[6]提出了一種適于在線跟蹤的改進子空間算法；Hou等[7-8]提出基于連續小波變換的方法識別結構瞬時模態參數；Tsatsanis等[9]用ARMAX模型來描述時變系統，將時變系數用小波基函數展開，通過最小二乘法識別時變系統。因此，模態參數識別相對成熟。然而，對于時變結構物理參數識別的研究還較少。Shi等[10]提出了Hilbert變換和經驗模式分解(EMD)的方法用于時變系統識別。Ghanem 等[11]運用小波伽遼金方法分析時變結構；Cooper等[12-13]提出了不同的自適應遺忘因子在線最小二乘法識別結構物理參數；李會娜等[14]提出了一種基于自由響應信號的時變結構物理參數子空間識別方法；任宜春等[15]提出了基于離散小波變換的識別方法。由于時變問題的復雜性，已提出的方法還未在實際工程中廣泛運用，還有待更深入研究。本文作者將時變結構的時變參數離散化，利用離散小波變換將其在多尺度上展開為概貌信號和細節信號，選擇合適的小波基函數使展開的信號能量盡量集中在低頻區段，忽略高頻細節信號，僅由低頻概貌信號估計時變參數，將時變結構識別問題轉化為時不變問題。通過最小二乘法識別出低頻尺度展開系數，從而重構得到原始時變參數。用提出的方法對1個2層框架結構的時變剛度和阻尼進行有效識別。

1 信號多尺度小波分析

多尺度分析[16](也稱為多分辨率分析)建立在函數空間概念上，將空間L2(R)進行逐級二分解產生一組逐級包含的子空間：

式中：Vj為尺度空間；Wj為小波空間，j∈Z。

對于任意平方可積函數x(t)∈L2(R)，將其向不同尺度的尺度空間和小波空間投影，可以在不同分辨率下對信號進行分析。若將x(t)按以下空間組合：

展開，可以得到函數x(t)的多尺度正交分解：

式中：cJ,k為第J尺度的尺度展開系數(也稱為x(t)在分辨率J下的離散逼近)；φJ,k(t)為離散小波變換的尺度函數；dj,k為第j尺度的小波展開系數；ψj,k(t)為離散小波變換的小波函數。

多尺度分析可以通過濾波器組來計算。假定h0和h1分別為小波分解對應的低通和高通濾波器沖擊響應，g0和g1分別為小波重構對應的低通和高通濾波器沖擊響應，尺度系數和小波系數可以用Mallat塔式算法進行快速計算：

相應的系數重構算法為：

圖1所示為2層多尺度小波分析原理。當信號采樣頻率大于Nyquist頻率時，通常直接用x(t)的采樣序列x(n)近視作為信號在0尺度分解上的尺度系數c0,k，則離散信號x(n)的J尺度分解和重構可由圖1所示的濾波器組實現(僅表示了J=2層分解的情況)。圖1中H0(Z)為分解低通濾波器h0(-n)的Z變換；H1(Z)為分解高通濾波器h1(-n)的Z變換；G0(Z)為重構低通濾波器g0(n)的Z變換；G1(Z)為重構高通濾波器g1(n)的Z變換；x′(n)為重構的信號。

圖1 2層多尺度小波分析原理Fig.1 Multiresolution analysis to depth of J=2

圖2所示為等效分解和重構濾波器結構。由多采樣率分析中的等效易位關系，圖1所示的分解重構結構可以用圖2所示結構等效。圖2中：H(Z2)表示對傳遞函數H(Z)進行二插值。

對于信號J層分解，共有J+1個濾波器，其中低頻部分的濾波器傳遞函數為：

圖2 等效分解和重構濾波器結構Fig.2 Equivalent decomposition and reconstruction filter structure

相應地，高頻部分的濾波器傳遞函數為：

對于信號重構，相應的濾波器只需把式(6)和式(7)中的H改為G即可。令g0J(n)和g1j(n)分別為G0J(Z)和G1j(Z)的反Z變換，對信號進行J層分解，設分解的尺度系數和小波系數分別為cJ,k和dj,k，則離散信號x(n)可展開為：

式中：k為分解小波系數的長度，與信號長度和分解層數相關。

2 時變結構物理參數識別方法

考慮單自由度時變結構系統，其質量為m，剛度和阻尼在振動過程中隨時間緩慢變化，表示為c(t)和k(t)，對應的振動運動方程為：

其相應的離散形式為：

將時變阻尼和剛度看作一離散時間序列信號，設其J層小波分解的小波系數和尺度系數已知，根據式(8)將其展開。對于慢變信號，信號能量大部分集中在低頻部分，展開時可忽略第2項細節信號，僅由第1項概貌信號來近似表示：

將式(11)和(12)代入方程(10)可得：

將所有離散時刻n=1～N的響應代入式(13)：

由最小二乘法可求出：

將式(19)求出的結果代入式(11)和(12)可求出結構的時變阻尼和時變剛度。

圖3所示為2層剪切框架模型。對于多自由度時變結構系統，不失一般性，這里考慮如圖3所示的2層剪切框架，各層剛度和阻尼時變，其振動方程為：

將剛度和阻尼作為未知量，把相同阻尼和剛度的系數移到一起，方程變為：

對每一個待求阻尼和剛度用前述方法展開，可以得到：

其中：展開系數G1(c2)的G1表示對于第一個方程；表示對應未知阻尼。與式(15)求法類似，只需根據的系數進行修改：

其他展開系數按相同方法可以求出。

式中：上標1和2表示對應未知阻尼c1和c2以及未知剛度k1和k2。

同樣，對式(22)用最小二乘法可求出Q，從而識別出結構的時變阻尼和時變剛度。

當信號中存在噪音時，方程發生病態，直接用最小二乘法求解誤差較大。這里采用Tikhonov正則化方法進行求解。

3 數值算例

采用如圖3所示2層剪切框架結構模型做仿真算例，以驗證本文方法的真確性和有效性。

圖3 2層剪切框架模型Fig.3 Two stories shearing frame model

模型質量保持不變，m1=m2=2.5 t。結構受到地震作用(取40 s El-Centro波作用)，用四階龍格庫塔法求結構的響應，采樣頻率為50 Hz。為模擬噪音影響，向求得的響應中添加高斯白噪聲，考慮2種時變情況：剛度阻尼同時變化和只有剛度變化。

3.1 剛度和阻尼同時變化

考慮剛度K1突變，剛度K2線性變化，阻尼C1突變，阻尼C2線性變化，具體變化如下：

采用db3小波將時變參數展開，用提出的方法對剛度和阻尼進行識別，識別的剛度結果如圖4和圖5所示，識別的阻尼結果如圖6和圖7所示。

圖4 剛度K1識別結果Fig.4 Identified results of stiffness K1

圖5 剛度K2識別結果Fig.5 Identified results of stiffness K2

圖6 阻尼C1識別結果Fig.6 Identified results of damping C1

圖7 阻尼C2識別結果Fig.7 Identified results of damping C2

由圖4和圖5可以看出：剛度的識別結果在無噪音時比較理想；存在噪音時，結果會受到一定影響，但仍能有效跟蹤時變參數的變化。在剛度突變處，識別結果有一個過渡段，主要是由于方法對時變參數展開時只采用了低頻概貌信號而忽略了高頻細節信號，具有一定的近似，剛度突變處的高頻成分被忽略，因而識別結果存在一定誤差。另外，阻尼突變處的近似也會對整個識別結果產生一定影響。在信號的端部，由于小波變換端點效應的影響，識別結果也產生稍大偏離。時變阻尼的識別結果對噪音較敏感，但仍能看出其變化趨勢。

3.2 剛度變化，阻尼不變

阻尼為C1=C2=1 kN·s/m，剛度K1二次曲線變化，剛度K2呈周期性變化，變化如下：

剛度的識別結果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出：無噪音時，識別結果與理論值非常接近，只在端部由于端點效應的影響稍有偏差。主要是由于阻尼不變，剛度的變化也比較平滑，忽略高頻細節信號產生的誤差較小；當噪音加大到 5%時，剛度識別結果仍然較好，因而該方法識別剛度抗噪性較好。

圖8 剛度K1識別結果Fig.8 Identified results of stiffness K1

圖9 剛度K2識別結果Fig.9 Identified results of stiffness K2

4 結論

(1)利用離散小波變換將時變結構的時變物理參數在多尺度上展開為概貌信號和細節信號，將時變結構識別問題轉化為時不變結構識別問題，由最小二乘法識別出結構的時變物理參數。該方法可以有效識別結構的時變剛度，具有較好的抗噪性。

(2)由于將時變參數在多尺度上展開時，忽略小波分解的高頻信號，由低頻概貌信號估計時變參數，方法具有一定近似，因此，當剛度呈線性及周期變化時，識別結果比剛度突變時的好。

(3)同時識別剛度和阻尼時，由于阻尼比剛度小得多(本文中小 2個數量級)，識別時計算的相對誤差要比剛度的相對誤差大得多，因此，阻尼識別結果對噪音較敏感，誤差較差，還需進一步研究、改進。

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