水蒸氣在霜層中擴散的分形模型

蔡亮，侯普秀，虞維平，張小松

(1. 東南大學 能源與環境學院，江蘇 南京，210096;2. 華南理工大學 機械及汽車工程學院，廣東 廣州，510641)

目前，結霜現象得到廣泛重視[1-3]。結霜問題的研究重點之一是對霜層物理性質進行研究，包括水蒸氣在霜層中的有效擴散。水蒸氣通過擴散進入霜層并凝結為冰晶體，其中一部分用于增加霜層的密度，另一部分用于增加霜層的厚度。關于水蒸氣在霜層中的擴散模型，Brian等[4]將傳統擴散理論應用于結霜現象中，但沒有考慮霜層是一種固體邊界不斷生長變化的多孔介質；Tao等[5]在其模型中引入了1個參數來研究除了孔隙率之外的其他因素對擴散過程的影響，但這個模型的計算結果不能體現出通道彎曲的影響；Auracher[6]研究了結霜過程中水蒸氣在毛細管中的擴散過程，據所建立的模型得出曲折的通道反而加強了水蒸氣的擴散，這與事實不符。近年來，分形理論得到廣泛應用[7-11]，不少研究者將分形理論引入到多孔介質傳熱傳質的研究中來[9-11]，并取得了一定的進展。本文將以侯普秀等[12]的研究為基礎，分析不同孔隙率下水蒸氣擴散通道的彎曲特性，進而獲得水蒸氣在霜層中的有效擴散系數。本文暫不考慮熱擴散效應，并假定水蒸氣的擴散遵循Fick定律。

1 水蒸氣在霜層中的擴散模型

1.1 霜層對水蒸氣擴散過程的影響

霜層對于水蒸氣的擴散起到了阻礙作用，主要表現在2個方面：(1) 水蒸氣通道面積減小；(2) 使水蒸氣擴散的通道存在一定的彎曲，因此，水分子運動的路徑變長，擴散變得緩慢。水蒸氣擴散通道示意圖如圖 1所示，其中：L0為水分子自由飛行的距離；cv1和cv2為水蒸氣濃度；Nv為擴散通量。

假定各擴散通道的橫截面積不變，水蒸氣在霜層中的有效擴散系數可以表示為：

圖1 水蒸氣擴散通道示意圖Fig.1 Schematic diagrams of water vaper diffusion alleyway

其中：Deff為有效擴散系數；Dva為水蒸氣對空氣的擴散系數；dx為水蒸氣濃度梯度方向的距離；ds為水蒸氣擴散所經過的實際路徑；ε為霜層的孔隙率；Av為孔隙面積；At為截面的總面積。

不僅孔隙率會對擴散過程有影響，孔隙的分布以及通道軸線的彎曲也對擴散過程有影響。為此，需要采用一些結構參數來表征孔隙的分布情況以及通道軸線的彎曲程度。侯普秀等[12]的研究結果表明：冰晶體的分布在一定直徑范圍內(λmin＜λ＜λmax，λmin和λmax分別為孔隙的最小直徑和最大直徑)具有分形特征，其分形維數隨著霜層的生長過程而變化。本文作者采用孔隙分形維數df以及軸線分形維數ds來表征上述因素對擴散過程的影響。

1.2 水蒸氣在霜層中擴散的通道

水蒸氣在霜層中擴散通道的軸線具有分形特征，其長度可以用如下形式表示[4]：

其中：ds為通道軸線的分形維數，ds＞1；L(λ)為水分子在直徑為λ的通道軸線擴散經過的距離；L0為水分子在此兩端自由飛行的距離。

由式(2)可以看出：直徑較大的通道本身擴散面積較大，且擴散通道彎曲程度較小，水蒸氣在其中的擴散路徑較短。而直徑較小的通道本身擴散面積小，且彎曲程度較大，水蒸氣在其中的擴散路徑較長。因此，直徑較大的通道其水蒸氣的質量流量較大，在擴散中起主要作用；而小直徑的通道則起一定的輔助擴散作用。

1.3 有效擴散系數的計算

考慮如圖 1(a)所示的擴散截面，其孔隙數服從如下關系[13]：

其中：N為孔隙數；λ為通道直徑；df為孔隙分形維數；λmax為孔隙最大直徑。采用式(3)在計算小孔隙時，對前面的大孔隙采用小直徑分割后進行了計數。以標準的分形結構 Sierpinski地毯為例，其二級孔隙會將一級孔隙作為9個二級孔隙來計算。

Mandelbrot[14]認為，對式(3)微分即可求得λ～dλ間孔隙數。但實際上這個數目包含了對大孔隙的重復計數，以圖 1(a)為例，計算二級孔隙時會將一級孔隙當作9個二級孔隙計數，計算三級孔隙時會將1級孔隙作為27個三級孔隙，將二級孔隙作為9個三級孔隙，依此類推。為此，在計算孔隙數時需要加入修正項(λ/λmax)2，修正后的結果為：

所有孔隙中單位時間內擴散通量為：

其中：Dva為水蒸氣在空氣中的擴散系數；ΔC為濃度差；λmin為最小孔隙直徑。

當df=2，ds=1時，意味著此時沒有霜晶體存在，孔隙率為100%，擴散沒有受到擴散面積變小以及通道彎曲的影響。此時，最大孔隙，式(6)還原為常見的形式。Yu等[15]證明了有如下公式成立：

其中：d為歐氏空間維數。對于實際多孔介質，式(7)近似成立。將式(7)代入式(6)，考慮求解擴散系數的公式，可得有效擴散系數的表達式：

2 計算結果及討論

式(8)中有 3個未定參數，即λmax，λmin以及ds，其中：λmax和λmin分別為At中最大以及最小孔隙直徑；ds為通道軸線的分形維數。由式(2)可知，當λmin小到一定程度時，通道截面非常小，且這種孔隙彎曲程度非常嚴重，故水蒸氣在其中的擴散通量很少，對計算結果影響很小。當ε=0時，意味著空間全部被冰晶體所占據，λmax=0，此時，可以認為通道軸線遍歷了二維平面上所有的點，因此，ds=2；當ε=1時，空間中不存在冰晶體，。假定λmax以及ds與ε存在線性關系，即可求得不同孔隙率下水蒸氣在霜層中的有效擴散系數。圖2所示為本模型與其他模型計算結果的對比。

圖2 本文模型與其他模型的對比結果Fig.2 Compared with model in this paper and other models

由于霜層生長過程復雜，目前很難采用實驗方法來測定水蒸氣在霜層中的有效擴散系數。目前，大多數研究者認為水蒸氣的擴散與霜層的孔隙率緊密相關。然而，從圖2可以看出：當孔隙率相同時，由于所建立的模型不同，計算得到的擴散系數也各不相同。這充分說明除了孔隙率之外，還有其他因素影響水蒸氣在霜層中的擴散，這個因素就是霜層的結構。

圖2中曲線1是Brian等[4]在考慮霜層在冷壁面上沉積時采用的模型。這個模型將傳統擴散理論應用于結霜現象中，認為水蒸氣在霜層中的有效擴散系數與孔隙率相關，水蒸氣擴散路徑的彎曲采用界于1.1～1.3的曲折因子來表示。對于固體骨架固定的多孔介質，選取適當的曲折因子，理論分析結果與實際情況比較吻合。但霜層是一種固體邊界不斷生長變化的多孔介質，水蒸氣擴散的路徑也不斷變化，而這一點在這個模型中沒有得到體現。此外，當ε=1時，意味著水蒸氣在空氣中擴散，應有Deff=Dav，而本模型的計算結果顯示Deff＜Dav。

Tao等[5]在其模型中，引入了另一個參數來考慮除了孔隙率之外的其他因素(包括所謂的hand-to-hand過程)對擴散過程的影響。這個表達式的最大缺點就在于這個參數值難以確定，往往需要根據實際情況來使用不同的值。圖2中曲線3是該參數為0時的計算結果。從計算曲線可以看出：在ε=1以及ε=0時，采用這個模型所得結果與實際結果相符，但這個模型最大的缺點就是計算結果中沒有體現出通道彎曲的影響。圖2中曲線2是 Auracher[6]在研究了霜層結構以及結霜過程中水蒸氣在毛細管中的擴散過程而得到的結論，這個模型的計算結果大于曲線3所示結果，也就是說，曲折的通道反而加強了水蒸氣的擴散，這明顯與事實不符。

曲線4為由本模型所得到的結果。可以看出：當孔隙率較小時，曲線上升比較緩慢，表明此時孔隙尺度相對較小，通道彎曲程度較大，孔隙尺度的輕微變化對有效擴散系數影響小；當孔隙率較高時，孔隙尺度的增加有可能將多個較小的孔隙合并為大孔隙，從而使彎曲程度急劇減小，有效擴散系數迅速上升。本模型在ε=1以及ε=0時所得結果與曲線3所示結果相同，其余計算點的結果始終小于曲線3所示結果，表明通道的彎曲始終阻礙了水蒸氣的擴散。因此，從理論上來看，本模型更反映實際情況。

3 結論

(1) 建立了基于分形理論的水蒸氣在霜層中的擴散模型。該模型反映了霜層孔隙率變化時通道彎曲程度的變化，以及這種變化對于水蒸氣擴散的影響。

(2) 求得水蒸氣在霜層中的有效擴散系數表達式為：

(3) 當霜層的孔隙率ε較小時，霜層中孔隙直徑較小且通道較為彎曲，因此，有效擴散系數增長較緩慢；當ε較大時，小孔隙有可能合并為較大孔隙，導致通道彎曲程度變小，故有效擴散系數增加較快；當ε=1時，意味著水蒸氣對空氣擴散；當ε=0時，意味著空間完全被冰晶體占據，本模型在ε=1和ε=0這2種情況下同樣有效。

[1] 張哲, 厲彥忠, 王強. 影響風冷式熱泵蒸發器結霜性能因素的研究[J]. 流體機械, 2002, 30(11): 46-49.ZHANG Zhe, LI Yan-zhong, WANG Qiang. Study of factors governing the rate of frost accumulation on finned-tube heat exchangers of air-cooled heat pump[J].Fluid Machinery,2002,30(11): 46-49.

[2] 王永壽. 利用凝縮性物質減輕空氣預冷器結霜的研究[J]. 飛航導彈, 2005(4): 52-60.WANG Yong-shou. Study on restrain frost effect of condensed gas on air pre-cooler[J]. Winged Missiles Journal, 2005(4):52-60.

[3] 張志勁, 蔣興良, 馬俊, 等. 工作電壓下 110 kV 交流絕緣子串覆冰特性研究[J]. 中國電機工程學報, 2006, 26(4): 140-143.ZHANG Zhi-jin, JIANG Xin-liang, MA Jun, et al. Study on icing performance of 110 kV insulator strings at AC service voltage[J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(4): 140-143.

[4] Brian P L T, Reid R C, Shah Y T. Frost deposition on cold surfaces[J]. Industrial Engineering Chemistry Fundamentals,1970, 9(3): 375-380.

[5] Tao Y X, Besant R W, Rezkallah K S. Unsteady heat and mass transfer with phase changes in an insulation slab: Frosting effects[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1991,34(7): 1593-1603.

[6] Auracher H. Water vapor diffusion and frost formation in capillaries[C]//International Institute of Refrigration. Bulletin of the International Institute of Refrigration. Freudenstadt, 1972:477-488.

[7] 譚軍, 陳啟元, 尹周瀾, 等. 分形在砂狀氧化鋁強度中的應用[J]. 中南大學學報: 自然科學版, 2005, 35(5): 833-836.TAN Jun, CHEN Qi-yuan, YIN Zhou-lan, et al. Application of fractal theory to studying strength of sandy alumina[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2005,35(5): 833-836.

[8] 張青, 李萍, 薛克敏. 熱變形 Ti-15-3合金再結晶晶粒的分形分析[J]. 中國有色金屬學報, 2007, 17(7): 1149-1154.ZHANG Qing, LI Ping, XUE Ke-min. Fractal analysis of recrystauized grains of Ti-15-3 alloy after hot deformation[J].The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2007, 17(7):1149-1154.

[9] 施明恒, 陳永平. 多孔介質傳熱傳質分形理論初析[J]. 南京師范大學學報: 工程技術版, 2001, 1(1): 6-12.SHI Ming-heng, CHEN Yong-pin. The fractal theory of heat and mass transfer in porous material[J]. Jounal of Nanjing Normal University: Engineering and Technology, 2001, 1(1): 6-12.

[10] Pitchumani R, Ramakrishnan B. Fractal geometry model for evaluating permeabilities of porous performs used in liquid composite molding[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1999, 42(12): 2119-2232.

[11] 張東輝. 多孔介質的擴散、導熱、滲流分形模型的研究[D]. 南京: 東南大學能源與環境學院, 2003: 14-39.ZHANG Dong-hui. Diffusion, percolation and conduction in fractal porous media[D]. Nanjing: School of Energy and Environment, Southeast University, 2003: 14-39.

[12] 侯普秀, 蔡亮, 虞維平. 霜層生長初期冰晶體結構的實驗研究以及分形分析[J]. 應用科學學報, 2007, 25(2): 193-197.HOU Pu-xiu, CAI Liang, YU Wei-ping. Experimental study and fractal analysis of ice crystal structure at initial period of frost formation[J]. Journal of Applied Sciences, 2007, 25(2):193-197.

[13] 辛厚文. 分形介質反應動力學[M]. 上海: 上海科技教育出版社, 1997: 32-50.XIN Hou-wen. The fractal media reaction kinetics[M]. Shanghai:Shanghai Scientific & Technological Education Press, 1997:32-50.

[14] Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature[M]. New York:W. H. Freeman, 1982: 200-210.

[15] YU Bo-ming, CHENG Ping. A fractal permeability model for bi-dispersed porous media[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2002, 45(14): 2983-2993.