譯碼轉發(fā)中繼系統(tǒng)基于校驗分裂的IRA 碼設計

孫小鈞，姜明，趙春明，吳曉富,2

(1.東南大學 移動通信國家重點實驗室，江蘇 南京 210096; 2解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007 )

1 引言

近年來，無線中繼技術領域成為人們研究的熱點。在協(xié)同中繼系統(tǒng)中，一個傳輸時隙被分為2個階段。在第一個傳輸階段，即廣播階段，源節(jié)點首先廣播信號。在第二個傳輸階段，即中繼階段，中繼節(jié)點對接收信號或者進行放大轉發(fā)(AF)，或者進行譯碼轉發(fā)(DF)給終端[1]。雖然DF方式的復雜度較 AF方式高，但在低信噪比時性能較優(yōu)異[1]。基于低密度校驗碼(LDPC)的DF中繼通信系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛研究，碼率兼容LDPC碼可以通過鑿孔或者擴展來得到[2～7]。由于碼字的不同部分的信噪比不同，修正的密度進化(density evolution)算法在文獻[4,6,7]中被提出。本文考慮了半雙工中繼通信系統(tǒng)并且在中繼階段，中繼節(jié)點和源節(jié)點都發(fā)送相同的信息[3,6,7]。

非規(guī)則重復累積(IRA)碼是 LDPC碼和 Turbo碼共有的一個特殊子類，IRA碼能夠用Tanner圖表示，通過節(jié)點度的分布來確定碼結構，可以應用和積譯碼算法迭代譯碼。LDPC碼的各種譯碼算法已被廣泛研究[8～12]。與LDPC碼相比，IRA碼的譯碼性能同樣逼近香農(nóng)限，并且具有線性時間的編碼復雜度，便于硬件實現(xiàn)；與Turbo碼相比，優(yōu)化的IRA碼的誤碼平層比較低[13～16]。逼近香農(nóng)限的碼率兼容IRA碼可以通過鑿孔來獲得從低碼率到高碼率一系列碼字[14]，也能通過校驗分裂(check-splitting)構造從高碼率到低碼率一系列碼字[15]。與上述DF中繼系統(tǒng)采用的碼率兼容LDPC碼不同，本文將校驗分裂技術引入了DF中繼系統(tǒng)，并對得到的碼率兼容IRA碼 C=[C1,Ce]和子碼C1進行優(yōu)化。

在譯碼轉發(fā)半雙工中繼系統(tǒng)中，IRA碼的設計本質上是設計一個碼率兼容IRA碼，并且碼字的不同部分經(jīng)歷不同的信噪比，這與傳統(tǒng)的碼率兼容IRA碼不同。對于譯碼轉發(fā)中繼系統(tǒng)來說，中繼節(jié)點首先對接收的比特C1進行譯碼，如果成功譯碼，中繼節(jié)點產(chǎn)生新的校驗比特Ce傳給終端節(jié)點；終端節(jié)點將新的校驗比特與在廣播階段接收的比特形成一個低碼率碼字C。這個低碼率碼字C通過對高碼率碼字C1進行校驗分裂來得到。考慮到信噪比在一個通過校驗分裂得到的碼字內(nèi)是不同的，本文給出了修正的高斯近似的密度進化算法，如EXIT圖[16]，來分析校驗分裂IRA碼的門限。本文利用差分進化(differential evolution)算法來同時優(yōu)化這2個碼字C和C1。與傳統(tǒng)的密度進化算法設計的碼率兼容IRA碼相比，基于校驗分裂的修正的密度進化算法優(yōu)化得到的碼字有0.5dB的增益。

2 半雙工DF中繼系統(tǒng)模型

本節(jié)主要簡單介紹時分半雙工DF中繼通信系統(tǒng)模型及其信道容量[3]。如圖1所示，3節(jié)點(源節(jié)點S，中繼節(jié)點R與終端節(jié)點D)時分半雙工中繼通信系統(tǒng)需要2個時隙t和t′=1-t來實現(xiàn)。本文假設每一個節(jié)點都只有一個天線。

圖1 中繼系統(tǒng)模型

在廣播階段，源節(jié)點向中繼節(jié)點與終端節(jié)點廣播信號x1；在中繼階段，終端節(jié)點同時接收來自源節(jié)點與中繼節(jié)點的信息，表示為x2，假設終端節(jié)點沒有同步誤差的問題。{S,D}的距離設為1，{S,R}的距離表示為d，{R,D}的距離表示為1-d；相應的路徑損耗分別是，α表示信道衰減指數(shù)，文中設定α=2。D和R在廣播階段接收的信號分別為

D在中繼階段接收的信號為

其中，P表示S在廣播階段的發(fā)射功率；為了保證廣播階段和中繼階段的發(fā)射功率相同，本文采用了簡單的平均功率分配方案，即S和R在中繼階段的發(fā)射功率是S在廣播階段的發(fā)射功率的一半；nr和nd是加性高斯白噪聲，均值為零，方差N0，即 N(0,σ2)。

文獻[3]給出的DF中繼系統(tǒng)的信道容量表達式為

其中， I(x ; y)表示為x與y的互信息。當RDF確定時，信道容量界(CB,capacity bound)是指滿足式(3)所需的最低信噪比。

3 DF中繼系統(tǒng)基于校驗分裂的遞增冗余IRA碼設計

本節(jié)首先簡要介紹IRA碼[13,14]及其高斯近似的密度進化算法[16]。為了得到碼率兼容遞增冗余IRA碼，校驗分裂技術[15,17]被引入。由于碼字的不同部分經(jīng)歷的信噪比不同，適用于DF中繼系統(tǒng)的基于校驗分裂的高斯近似的密度進化算法在本節(jié)中被提出并用來分析IRA碼的門限。最后，差分進化算法被用來同時尋找性能優(yōu)良的IRA碼C和子碼C1。

3.1 IRA碼簡介

如圖 2所示，參數(shù)是（f3,…, fJ;a） 的 IRA碼Tanner圖，有k個信息節(jié)點，m個校驗節(jié)點和m個奇偶節(jié)點。 fi＞ 0表示與校驗節(jié)點相連的有i條邊的信息節(jié)點占總信息節(jié)點的百分比，且滿足為了實現(xiàn)任意低的碼字錯誤概率，信息節(jié)點的度i必需滿足i＞2[14]。a,b是與校驗節(jié)點相連的信息節(jié)點數(shù)，除了第一個奇偶節(jié)點的度是 1外，其余每個奇偶節(jié)點的度是2。本文只討論系統(tǒng)IRA碼，奇偶節(jié)點位于校驗矩陣的右半部分，排列成雙對角形式。

圖2 IRA碼的Tanner圖及Check-Splitting的Tanner圖

函數(shù)J(μ)由文獻[16]給出。在差分優(yōu)化算法中，式(4)被用于分析子碼的門限xa。當?shù)螖?shù)達到最大值lmax后，結束進化并記錄 xa=xlmax。

3.2 校驗分裂簡介

文獻[15,17]提出了對已有碼字的校驗節(jié)點進行分裂來得到新的碼率兼容碼字，即校驗分裂，如圖2所示。基本上，一個校驗節(jié)點連接a個信息節(jié)點，2個奇偶節(jié)點。所謂校驗分裂，即一個校驗節(jié)點分裂成 2個校驗節(jié)點(每個校驗節(jié)點連接b=a/2個信息節(jié)點)，分別與1個新的奇偶節(jié)點相連。高碼率子碼C1碼經(jīng)過校驗分裂后，產(chǎn)生m個新的奇偶節(jié)點，從而得到了低碼率的母碼C，碼率是并且信息節(jié)點的分布函數(shù)λ(x)保持不變，新的校驗矩陣仍然保持雙對角特性。由于 IRA碼的上述特性，大大簡化了聯(lián)合優(yōu)化子碼C1和母碼C的計算量。

3.3 基于校驗分裂的DF中繼IRA碼的密度進化算法

在基于校驗分裂的半雙工DF中繼系統(tǒng)中，碼率兼容遞增冗余IRA碼 C=[C1,Ce]由2部分構成，高碼率的子碼C1和校驗分量Ce。子碼C1在廣播階段被S發(fā)射出去，假設R譯碼成功，則在中繼階段，S和R發(fā)射校驗分量Ce。R接收的子碼C1經(jīng)歷的信噪比是。而D接收碼字的不同部分經(jīng)歷的信噪比是不同的，即子碼C1經(jīng)歷的信噪比是，而校驗分量Ce經(jīng)歷的信噪比是。而傳統(tǒng)的碼率兼容 IRA碼的不同部分經(jīng)歷的信噪比是一樣的。DF中繼系統(tǒng)碼率兼容IRA碼的設計實際上是聯(lián)合設計子碼C1和C，使得子碼C1接近{S,R}信道容量，而C逼近DF中繼系統(tǒng)的信道容量。

由于子碼C1和校驗分量Ce經(jīng)歷的信噪比不同，而式(4)描述的密度進化算法假設碼字經(jīng)歷的信噪比是相同的，所以本小節(jié)推導了適用于DF中繼的校驗分裂的IRA碼密度進化算法。由文獻[16]的譯碼信息更新機制，令ui表示信息節(jié)點的初始信息對數(shù)似然比，ur,p和us,p表示新的和舊的奇偶節(jié)點的初始信息對數(shù)似然比。第l次迭代時，令表示從校驗節(jié)點輸出到新的和舊的奇偶節(jié)點的外信息，表示從校驗節(jié)點輸出到與之相連的第k個信息節(jié)點的外信息；類似地，表示新的，舊的奇偶節(jié)點和第k個信息節(jié)點輸出到校驗節(jié)點的外信息。譯碼過程中，各個節(jié)點的信息更新機制為

設C1經(jīng)歷的AWGN信道分布服從，Ce經(jīng)歷的 AWGN信道分布服從。令μ=2/σ2，μ=2/σ2。令 P表示第l次迭代時，信息節(jié)點傳輸給校驗節(jié)點的外信息概率分布密度；Ql表示第l次迭代時，校驗節(jié)點傳輸給信息節(jié)點的外信息概率分布密度；表示第l次迭代時，舊（新）奇偶節(jié)點傳輸給校驗節(jié)點的外信息概率分布密度；)表示第l次迭代時，校驗節(jié)點傳輸給舊（新）奇偶節(jié)點的外信息概率分布密度； Γ(Γ-1)表示概率密度函數(shù)映射(逆映射)。假設Tanner圖無圈，由式(5)及概率密度卷積性質，可得密度進化迭代關系式：其中，F(xiàn)o表示子碼C1經(jīng)歷的信道初始消息分布的概率密度，F(xiàn)n表示校驗分量Ce經(jīng)歷的信道初始消息分布的概率密度，?表示卷積，?m表示m重卷積，基于EXIT圖的高斯近似密度進化算法滿足如下遞推公式：

在差分優(yōu)化算法中，式(7)被用于分析子碼的門限xb。當?shù)螖?shù)達到最大值lmax后，結束進化并記錄 xb=xlmax。高斯近似算法計算速度快，精度損失在可以接受的范圍內(nèi)，因而被廣泛運用。

3.4 DF中繼IRA碼的優(yōu)化

差分進化算法作為一種簡單有效的優(yōu)化算法已經(jīng)被廣泛應用來搜索碼的最優(yōu)分布[6,18]。本小節(jié)用差分進化算法來同時優(yōu)化C和高碼率的子碼C1。在優(yōu)化IRA碼的分布{λi, a}之前，首先要去掉參數(shù)之間的相關性[18]。由于λ3、λdv可以由其他參數(shù)確定，則優(yōu)化參數(shù)表示成一個L維向量 q=(λ4,…,λdv-1,a)。差分進化算法的流程如圖3所示，具體的優(yōu)化步驟如下。

圖3 差分優(yōu)化算法的流程圖

1) 初始化：令G表示差分進化的次數(shù)。對于初始進化G=0，隨機產(chǎn)生NP=10L個進化向量qg,G(g=1,…,NP)。對于每個向量qg,G計算式(4)和式(7)，直到達到預設最大迭代次數(shù)（如1 000次），記錄 xg,G=min(xa,xb)，從中選出最大值xbest,G對應的向量，記為qbest,G。

2) 交叉：在qg,G的基礎上產(chǎn)生新的進化向量qg,G+1。隨機選擇4個不同的向量qr1,G，qr2,G，qr3,G和qr4,G，F(xiàn)是控制交叉變異的實常數(shù)，一般賦值F=0.5，則新的向量按照式(8)計算

對于 qg,G+1，迭代計算式(4)和式(7)，然后記錄xg,G+1=min(xa,xb)。

則 qg,G+1=qg,G，xg,G+1=xg,G。從xg,G+1中選出最大值 xbest,G+1對應的向量，記為 qbest,G+1。

4) 停止判斷：如果 xbest,G+1小于預定值并且差分進化次數(shù)沒有達到最大次數(shù)(條件1)，則返回步驟2；如果xg,G+1大于預定值或差分進化次數(shù)達到最大次數(shù)(條件2)，則在調(diào)整后，返回步驟1。當xg,G+1大于預定值時，其對應的分布 qbest,G+1被稱為最佳分布如果調(diào)整前后的差值比較小(如10-4，條件3)，則停止進化，輸出最佳分布。

4 仿真結果

為了與基于傳統(tǒng)密度進化算法得到碼字相比較，傳統(tǒng)遞增冗余IRA碼的分布是[14]稱之為高斯IRA碼。

分布(λDF,a=6)和(λGS,a=8)對應高碼率的子碼C1，而分布(λDF,b=3)和(λGS,b=4)對應低碼率的IRA碼C。為了得到遞增冗余的2個校驗矩陣，首先用 PEG算法構造出高碼率子碼C1的校驗矩陣H1=[Ξ Π]（Ξ 代表信息節(jié)點子矩陣，Π 代表奇偶節(jié)點子矩陣并且是雙對角結構），然后將Ξ子矩陣的每行分裂成2行，即將Ξ每行a個信息節(jié)點的一半(b個)信息節(jié)點組成新矩陣 H的信息節(jié)點子矩陣的一行。這樣得到的低碼率母碼C的校驗矩陣H未必是最佳矩陣，但仿真表明其譯碼性能仍然比較優(yōu)秀。下一步將研究如何構造好的分裂校驗矩陣H。

具有強大糾錯能力的Turbo碼也被DF中繼系統(tǒng)廣泛應用[19]，本節(jié)也比較了分布式 Turbo碼和DF-IRA碼的性能。仿真的分布式Turbo碼的分量碼是生成矩陣為(1 3,15 )8的遞歸系統(tǒng)卷積碼，廣播階段使用了0.5碼率的Turbo碼，如果中繼節(jié)點譯碼成功，D在中繼階段接收新的校驗比特，最后分布式Turbo碼的碼率是1/3。

為了合理比較采用不同碼字的DF中繼系統(tǒng)的性能，首先分析了DF-IRA碼，高斯IRA碼和分布式Turbo碼的譯碼復雜度。IRA碼的最大譯碼迭代次數(shù)為100，Turbo碼的迭代次數(shù)為14。對于1/3碼率的 DF-IRA碼，每個信息比特每次譯碼需要(2 b+3)×2+2+ 4次加法，需要(b+2)×4次查表，即總共需要54次運算，而1/3碼率的高斯IRA碼總共需要66次運算[14]。可以看出DF-IRA碼的運算量大約是高斯IRA碼的82%。對于Turbo碼，每個信息比特每次Log-MAP譯碼大約需要205次運算。即DF-IRA碼的最大運算量與Turbo碼的最大運算量基本相同，但在并行譯碼方面，IRA碼有明顯優(yōu)勢，而停止準則進一步降低了譯碼復雜度。

圖4比較了DF-IRA碼，高斯IRA碼和分布式Turbo碼的誤幀率。仿真時，信息長8 192bit。本文假設高斯IRA碼在R節(jié)點總能成功譯碼，而DF-IRA碼和分布式Turbo碼在R節(jié)點譯碼失敗時，R節(jié)點轉發(fā)信息位。從圖4中可以看出，針對DF中繼系統(tǒng)優(yōu)化得到的 DF-IRA碼的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的 IRA碼，當誤幀率是 2×10-3時，與高斯 IRA碼相比，DF-IRA碼大約有 0.5dB的增益。當誤幀率是 10-1時，與 DF-IRA碼相比，分布式 Turbo碼大約有0.15dB的增益；但當誤幀率是 10-3時，分布式Turbo碼已經(jīng)出現(xiàn)了誤碼平層，而DF-IRA碼沒有出現(xiàn)誤碼平層。當誤幀率是 2×10-3時，本文得到的IRA碼與DF中繼信道容量對應的CB界 CB=-5 dB 相比，大約有1.1dB的差距。進一步的工作將是尋找能夠更好的逼近CB界的DF-IR A碼的分布。

圖4 DF-IRA碼、高斯IRA碼和分布式Turbo碼的誤幀率

5 結束語

DF中繼系統(tǒng) IRA碼的設計實際是尋找一個遞增冗余碼字，使其在中繼系統(tǒng)中性能優(yōu)良的同時子碼在{S,R}信道中性能仍然優(yōu)良。遞增冗余 IRA碼可以通過對子碼使用校驗分裂技術來實現(xiàn)。針對譯碼轉發(fā)中繼系統(tǒng)的特點，即非規(guī)則重復累積碼(IRA)的不同部分經(jīng)歷不同的信噪比，本文給出了基于校驗分裂的修正的高斯近似的密度進化算法，并且用差分進化算法來同時搜索母碼和子碼好的分布。當誤幀率是 10-3時，與傳統(tǒng)的密度進化算法得到的IRA碼相比，本文優(yōu)化得到的碼字大約有0.5dB的增益。

[1] LANEMAN J N,WORNELL G W.Distributed space-time-coded protocols for exploiting cooperative diversity in wireless networks[J].IEEE Trans Inform Theory,2003,49(10):2415-2425.

[2] JUN H,TOLGA M D.Low density parity check codes over wireless relay channels[J].IEEE Trans Wireless Commun,2007,6(9):3384-3394.

[3] ARNAB C,et al.Low density parity check codes for the relay channel[J].IEEE Journal Selec Commun,2007,25(2): 280-291.

[4] PEYMAN R ,WEI Y.Bilayer low-density parity-check codes for decode-and-forward in relay channels[J].IEEE Trans Inform Theory,2007,53(10):3723-3739.

[5] KIM J,et al.Joint LDPC codes for multi-user relay channel[A].Proc IEEE NCTA[C].2008.1-6.

[6] CHUXIANG l,et al.LDPC code design for half-duplex cooperative relay[J].IEEE Trans Wireless Commun,2008,7(11): 4558-4566.

[7] JEAN P C,VAHID M.Optimized low density parity-check codes designs for half-duplex relay channels[J].IEEE Trans Wireless Commun,2009,8(7): 3390-3395.

[8] 賈科軍,柯熙政,彭鐸等.大氣激光通信系統(tǒng)中π-旋轉LDPC碼的設計與性能分析[J].蘭州理工大學學報,2008,34(4):109-113.JIA K J,KE X Z,PENG D,et al.Design of π-rotation LDPC for atmospheric laser communication system and its performance analysis[J].Journal of Lanzhou University of Technology,2008,34(4): 109-113.

[9] 楊曄,張志平,廖偉.基于調(diào)度的高效 LDPC譯碼算法[J].武漢理工大學學報,2009,31(18):46-50.YANG Y,ZHANG Z P,LIAO W.Scheduling-based efficient LDPC decoding algorithm[J].Journal of Wuhan University of Technology,2009,31(18):46-50.

[10] 胡新桂,孫剛.一種LDPC碼校驗矩陣消短環(huán)算法[J].計算機工程與科學,2009,31(9):156-158.HU X G,SUN G.An algorithm of the short cycle in check matrix of LDPC be eliminated[J].Computer Engineering & Science,2009,31(9):156-158.

[11] 喬華,管武,董明科等.LDPC碼高速譯碼器的設計與實現(xiàn)[J].北京大學學報,2008,44(3):347-352.QIAO H,GUAN W,DONG M K,et al.Design and implementation of LDPC decoder with high throughput[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis,2008,44(3):347-352.

[12] 姜明.低密度奇偶校驗碼譯碼算法及其應用研究[D].南京: 東南大學,2006.JIANG M.Research on the Decoding Algorithms of Low-density Parity-Check Codes and Their Applications[D].Nanjing: Southeast University,2006.

[13] 雷菁,徐富兵,唐朝京.IRA 碼密度進化方法分析與門限判決[J].通信學報,2007,28(10):67-72.LEI J,XU F B,TANG C J.Analysis on density evolution method and threshold decision for IRA codes[J].Journal on Communications,2007,28(10):67-72.

[14] WU X,et al.Design of rate compatible punctured IRA codes for IR-HARQ schemes[J].Journal of Southeast University,2008,24(2):127-132.

[15] HAOMING L,MARSLAND I D.A comparison of rateless codes at short block lengths[A].Proc IEEE ICC[C].2008.4483-4488.

[16] ALINE R,et al.Design methods for irregular repeat-accumulate codes[J].IEEE Trans Inform Theory,2004,50(8):1711-1727.

[17] SHI C,RAMAMOORTHY A.Design and analysis of E2RC codes[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2009,27(6):889-898.

[18] JILEI H,et al.Performance analysis and code optimization of low density parity check codes on Rayleigh fading channels[J].IEEE Journal Selec Commun,2001,19(5): 924-934.

[19] ZHENG Z,TOLGA M D.Capacity-approaching Turbo coding for half-duplex relaying[J].IEEE Trans Commun,2007,55(10): 1895-1906.