譯碼轉發中繼系統基于校驗分裂的IRA 碼設計

孫小鈞，姜明，趙春明，吳曉富,2

(1.東南大學 移動通信國家重點實驗室，江蘇 南京 210096; 2解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007 )

1 引言

近年來，無線中繼技術領域成為人們研究的熱點。在協同中繼系統中，一個傳輸時隙被分為2個階段。在第一個傳輸階段，即廣播階段，源節點首先廣播信號。在第二個傳輸階段，即中繼階段，中繼節點對接收信號或者進行放大轉發(AF)，或者進行譯碼轉發(DF)給終端[1]。雖然DF方式的復雜度較 AF方式高，但在低信噪比時性能較優異[1]?；诘兔芏刃ｒ灤a(LDPC)的DF中繼通信系統已經被廣泛研究，碼率兼容LDPC碼可以通過鑿孔或者擴展來得到[2～7]。由于碼字的不同部分的信噪比不同，修正的密度進化(density evolution)算法在文獻[4,6,7]中被提出。本文考慮了半雙工中繼通信系統并且在中繼階段，中繼節點和源節點都發送相同的信息[3,6,7]。

非規則重復累積(IRA)碼是 LDPC碼和 Turbo碼共有的一個特殊子類，IRA碼能夠用Tanner圖表示，通過節點度的分布來確定碼結構，可以應用和積譯碼算法迭代譯碼。LDPC碼的各種譯碼算法已被廣泛研究[8～12]。與LDPC碼相比，IRA碼的譯碼性能同樣逼近香農限，并且具有線性時間的編碼復雜度，便于硬件實現；與Turbo碼相比，優化的IRA碼的誤碼平層比較低[13～16]。逼近香農限的碼率兼容IRA碼可以通過鑿孔來獲得從低碼率到高碼率一系列碼字[14]，也能通過校驗分裂(check-splitting)構造從高碼率到低碼率一系列碼字[15]。與上述DF中繼系統采用的碼率兼容LDPC碼不同，本文將校驗分裂技術引入了DF中繼系統，并對得到的碼率兼容IRA碼 C=[C1,Ce]和子碼C1進行優化。

在譯碼轉發半雙工中繼系統中，IRA碼的設計本質上是設計一個碼率兼容IRA碼，并且碼字的不同部分經歷不同的信噪比，這與傳統的碼率兼容IRA碼不同。對于譯碼轉發中繼系統來說，中繼節點首先對接收的比特C1進行譯碼，如果成功譯碼，中繼節點產生新的校驗比特Ce傳給終端節點；終端節點將新的校驗比特與在廣播階段接收的比特形成一個低碼率碼字C。這個低碼率碼字C通過對高碼率碼字C1進行校驗分裂來得到。考慮到信噪比在一個通過校驗分裂得到的碼字內是不同的，本文給出了修正的高斯近似的密度進化算法，如EXIT圖[16]，來分析校驗分裂IRA碼的門限。本文利用差分進化(differential evolution)算法來同時優化這2個碼字C和C1。與傳統的密度進化算法設計的碼率兼容IRA碼相比，基于校驗分裂的修正的密度進化算法優化得到的碼字有0.5dB的增益。

2 半雙工DF中繼系統模型

本節主要簡單介紹時分半雙工DF中繼通信系統模型及其信道容量[3]。如圖1所示，3節點(源節點S，中繼節點R與終端節點D)時分半雙工中繼通信系統需要2個時隙t和t′=1-t來實現。本文假設每一個節點都只有一個天線。

圖1 中繼系統模型

在廣播階段，源節點向中繼節點與終端節點廣播信號x1；在中繼階段，終端節點同時接收來自源節點與中繼節點的信息，表示為x2，假設終端節點沒有同步誤差的問題。{S,D}的距離設為1，{S,R}的距離表示為d，{R,D}的距離表示為1-d；相應的路徑損耗分別是，α表示信道衰減指數，文中設定α=2。D和R在廣播階段接收的信號分別為

D在中繼階段接收的信號為

其中，P表示S在廣播階段的發射功率；為了保證廣播階段和中繼階段的發射功率相同，本文采用了簡單的平均功率分配方案，即S和R在中繼階段的發射功率是S在廣播階段的發射功率的一半；nr和nd是加性高斯白噪聲，均值為零，方差N0，即 N(0,σ2)。

文獻[3]給出的DF中繼系統的信道容量表達式為

其中， I(x ; y)表示為x與y的互信息。當RDF確定時，信道容量界(CB,capacity bound)是指滿足式(3)所需的最低信噪比。

3 DF中繼系統基于校驗分裂的遞增冗余IRA碼設計

本節首先簡要介紹IRA碼[13,14]及其高斯近似的密度進化算法[16]。為了得到碼率兼容遞增冗余IRA碼，校驗分裂技術[15,17]被引入。由于碼字的不同部分經歷的信噪比不同，適用于DF中繼系統的基于校驗分裂的高斯近似的密度進化算法在本節中被提出并用來分析IRA碼的門限。最后，差分進化算法被用來同時尋找性能優良的IRA碼C和子碼C1。

3.1 IRA碼簡介

如圖 2所示，參數是（f3,…, fJ;a） 的 IRA碼Tanner圖，有k個信息節點，m個校驗節點和m個奇偶節點。 fi＞ 0表示與校驗節點相連的有i條邊的信息節點占總信息節點的百分比，且滿足為了實現任意低的碼字錯誤概率，信息節點的度i必需滿足i＞2[14]。a,b是與校驗節點相連的信息節點數，除了第一個奇偶節點的度是 1外，其余每個奇偶節點的度是2。本文只討論系統IRA碼，奇偶節點位于校驗矩陣的右半部分，排列成雙對角形式。

圖2 IRA碼的Tanner圖及Check-Splitting的Tanner圖

函數J(μ)由文獻[16]給出。在差分優化算法中，式(4)被用于分析子碼的門限xa。當迭代次數達到最大值lmax后，結束進化并記錄 xa=xlmax。

3.2 校驗分裂簡介

文獻[15,17]提出了對已有碼字的校驗節點進行分裂來得到新的碼率兼容碼字，即校驗分裂，如圖2所示?；旧?，一個校驗節點連接a個信息節點，2個奇偶節點。所謂校驗分裂，即一個校驗節點分裂成 2個校驗節點(每個校驗節點連接b=a/2個信息節點)，分別與1個新的奇偶節點相連。高碼率子碼C1碼經過校驗分裂后，產生m個新的奇偶節點，從而得到了低碼率的母碼C，碼率是并且信息節點的分布函數λ(x)保持不變，新的校驗矩陣仍然保持雙對角特性。由于 IRA碼的上述特性，大大簡化了聯合優化子碼C1和母碼C的計算量。

3.3 基于校驗分裂的DF中繼IRA碼的密度進化算法

在基于校驗分裂的半雙工DF中繼系統中，碼率兼容遞增冗余IRA碼 C=[C1,Ce]由2部分構成，高碼率的子碼C1和校驗分量Ce。子碼C1在廣播階段被S發射出去，假設R譯碼成功，則在中繼階段，S和R發射校驗分量Ce。R接收的子碼C1經歷的信噪比是。而D接收碼字的不同部分經歷的信噪比是不同的，即子碼C1經歷的信噪比是，而校驗分量Ce經歷的信噪比是。而傳統的碼率兼容 IRA碼的不同部分經歷的信噪比是一樣的。DF中繼系統碼率兼容IRA碼的設計實際上是聯合設計子碼C1和C，使得子碼C1接近{S,R}信道容量，而C逼近DF中繼系統的信道容量。

由于子碼C1和校驗分量Ce經歷的信噪比不同，而式(4)描述的密度進化算法假設碼字經歷的信噪比是相同的，所以本小節推導了適用于DF中繼的校驗分裂的IRA碼密度進化算法。由文獻[16]的譯碼信息更新機制，令ui表示信息節點的初始信息對數似然比，ur,p和us,p表示新的和舊的奇偶節點的初始信息對數似然比。第l次迭代時，令表示從校驗節點輸出到新的和舊的奇偶節點的外信息，表示從校驗節點輸出到與之相連的第k個信息節點的外信息；類似地，表示新的，舊的奇偶節點和第k個信息節點輸出到校驗節點的外信息。譯碼過程中，各個節點的信息更新機制為

設C1經歷的AWGN信道分布服從，Ce經歷的 AWGN信道分布服從。令μ=2/σ2，μ=2/σ2。令 P表示第l次迭代時，信息節點傳輸給校驗節點的外信息概率分布密度；Ql表示第l次迭代時，校驗節點傳輸給信息節點的外信息概率分布密度；表示第l次迭代時，舊（新）奇偶節點傳輸給校驗節點的外信息概率分布密度；)表示第l次迭代時，校驗節點傳輸給舊（新）奇偶節點的外信息概率分布密度； Γ(Γ-1)表示概率密度函數映射(逆映射)。假設Tanner圖無圈，由式(5)及概率密度卷積性質，可得密度進化迭代關系式：其中，Fo表示子碼C1經歷的信道初始消息分布的概率密度，Fn表示校驗分量Ce經歷的信道初始消息分布的概率密度，?表示卷積，?m表示m重卷積，基于EXIT圖的高斯近似密度進化算法滿足如下遞推公式：

在差分優化算法中，式(7)被用于分析子碼的門限xb。當迭代次數達到最大值lmax后，結束進化并記錄 xb=xlmax。高斯近似算法計算速度快，精度損失在可以接受的范圍內，因而被廣泛運用。

3.4 DF中繼IRA碼的優化

差分進化算法作為一種簡單有效的優化算法已經被廣泛應用來搜索碼的最優分布[6,18]。本小節用差分進化算法來同時優化C和高碼率的子碼C1。在優化IRA碼的分布{λi, a}之前，首先要去掉參數之間的相關性[18]。由于λ3、λdv可以由其他參數確定，則優化參數表示成一個L維向量 q=(λ4,…,λdv-1,a)。差分進化算法的流程如圖3所示，具體的優化步驟如下。

圖3 差分優化算法的流程圖

1) 初始化：令G表示差分進化的次數。對于初始進化G=0，隨機產生NP=10L個進化向量qg,G(g=1,…,NP)。對于每個向量qg,G計算式(4)和式(7)，直到達到預設最大迭代次數（如1 000次），記錄 xg,G=min(xa,xb)，從中選出最大值xbest,G對應的向量，記為qbest,G。

2) 交叉：在qg,G的基礎上產生新的進化向量qg,G+1。隨機選擇4個不同的向量qr1,G，qr2,G，qr3,G和qr4,G，F是控制交叉變異的實常數，一般賦值F=0.5，則新的向量按照式(8)計算

對于 qg,G+1，迭代計算式(4)和式(7)，然后記錄xg,G+1=min(xa,xb)。

則 qg,G+1=qg,G，xg,G+1=xg,G。從xg,G+1中選出最大值 xbest,G+1對應的向量，記為 qbest,G+1。

4) 停止判斷：如果 xbest,G+1小于預定值并且差分進化次數沒有達到最大次數(條件1)，則返回步驟2；如果xg,G+1大于預定值或差分進化次數達到最大次數(條件2)，則在調整后，返回步驟1。當xg,G+1大于預定值時，其對應的分布 qbest,G+1被稱為最佳分布如果調整前后的差值比較小(如10-4，條件3)，則停止進化，輸出最佳分布。

4 仿真結果

為了與基于傳統密度進化算法得到碼字相比較，傳統遞增冗余IRA碼的分布是[14]稱之為高斯IRA碼。

分布(λDF,a=6)和(λGS,a=8)對應高碼率的子碼C1，而分布(λDF,b=3)和(λGS,b=4)對應低碼率的IRA碼C。為了得到遞增冗余的2個校驗矩陣，首先用 PEG算法構造出高碼率子碼C1的校驗矩陣H1=[Ξ Π]（Ξ 代表信息節點子矩陣，Π 代表奇偶節點子矩陣并且是雙對角結構），然后將Ξ子矩陣的每行分裂成2行，即將Ξ每行a個信息節點的一半(b個)信息節點組成新矩陣 H的信息節點子矩陣的一行。這樣得到的低碼率母碼C的校驗矩陣H未必是最佳矩陣，但仿真表明其譯碼性能仍然比較優秀。下一步將研究如何構造好的分裂校驗矩陣H。

具有強大糾錯能力的Turbo碼也被DF中繼系統廣泛應用[19]，本節也比較了分布式 Turbo碼和DF-IRA碼的性能。仿真的分布式Turbo碼的分量碼是生成矩陣為(1 3,15 )8的遞歸系統卷積碼，廣播階段使用了0.5碼率的Turbo碼，如果中繼節點譯碼成功，D在中繼階段接收新的校驗比特，最后分布式Turbo碼的碼率是1/3。

為了合理比較采用不同碼字的DF中繼系統的性能，首先分析了DF-IRA碼，高斯IRA碼和分布式Turbo碼的譯碼復雜度。IRA碼的最大譯碼迭代次數為100，Turbo碼的迭代次數為14。對于1/3碼率的 DF-IRA碼，每個信息比特每次譯碼需要(2 b+3)×2+2+ 4次加法，需要(b+2)×4次查表，即總共需要54次運算，而1/3碼率的高斯IRA碼總共需要66次運算[14]?？梢钥闯鯠F-IRA碼的運算量大約是高斯IRA碼的82%。對于Turbo碼，每個信息比特每次Log-MAP譯碼大約需要205次運算。即DF-IRA碼的最大運算量與Turbo碼的最大運算量基本相同，但在并行譯碼方面，IRA碼有明顯優勢，而停止準則進一步降低了譯碼復雜度。

圖4比較了DF-IRA碼，高斯IRA碼和分布式Turbo碼的誤幀率。仿真時，信息長8 192bit。本文假設高斯IRA碼在R節點總能成功譯碼，而DF-IRA碼和分布式Turbo碼在R節點譯碼失敗時，R節點轉發信息位。從圖4中可以看出，針對DF中繼系統優化得到的 DF-IRA碼的性能優于傳統的 IRA碼，當誤幀率是 2×10-3時，與高斯 IRA碼相比，DF-IRA碼大約有 0.5dB的增益。當誤幀率是 10-1時，與 DF-IRA碼相比，分布式 Turbo碼大約有0.15dB的增益；但當誤幀率是 10-3時，分布式Turbo碼已經出現了誤碼平層，而DF-IRA碼沒有出現誤碼平層。當誤幀率是 2×10-3時，本文得到的IRA碼與DF中繼信道容量對應的CB界 CB=-5 dB 相比，大約有1.1dB的差距。進一步的工作將是尋找能夠更好的逼近CB界的DF-IR A碼的分布。

圖4 DF-IRA碼、高斯IRA碼和分布式Turbo碼的誤幀率

5 結束語

DF中繼系統 IRA碼的設計實際是尋找一個遞增冗余碼字，使其在中繼系統中性能優良的同時子碼在{S,R}信道中性能仍然優良。遞增冗余 IRA碼可以通過對子碼使用校驗分裂技術來實現。針對譯碼轉發中繼系統的特點，即非規則重復累積碼(IRA)的不同部分經歷不同的信噪比，本文給出了基于校驗分裂的修正的高斯近似的密度進化算法，并且用差分進化算法來同時搜索母碼和子碼好的分布。當誤幀率是 10-3時，與傳統的密度進化算法得到的IRA碼相比，本文優化得到的碼字大約有0.5dB的增益。

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