脈沖噪聲環境下循環ESPRIT新方法

蘭天，邱天爽，楊嬌

（大連理工大學 電子與信息工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

現代移動通信和集成傳輸系統的迅速發展，使電磁波的傳輸環境變得越來越復雜，并且對高分辨波達方向估計和減少干擾波影響的技術要求也越來越高[1]。在這些技術中，cyclic-MUSIC[2]（循環MUSIC）和 cyclic-ESPRIT[2]（循環 ESPRIT）2類算法可以利用到達波的循環平穩性[3,4]有選擇性地估計波達方向，且估計精度也很高，因而受到廣泛重視。與cyclic-MUSIC算法相比較，cyclic- ESPRIT算法無需譜峰搜索因而運算量少,且具有穩健性等優點，更適合在工程上的應用。在cyclic- ESPRIT類算法中，TLS-cyclic-ESPRIT（總體最小二乘循環ESPRIT）算法性能更好，因為此算法可以把一個較大維數病態廣義特征問題轉化為一個較小維數的無病態廣義特征問題[5]。

但是當實際環境中存在脈沖噪聲時，cyclic-ESPRIT類算法的性能會明顯退化甚至失效，這是因為脈沖噪聲可能不存在有限的二階統計量[6]。文獻[7,8]表明，現實環境中的確存在著大量脈沖噪聲，例如環境噪聲、雷達雜波以及水下聲波信號、人造信號等，這些脈沖性噪聲難以用高斯模型描述，而往往采用具有厚拖尾的α穩定分布[7]過程來描述。根據脈沖性噪聲的特性和 cyclic-ESPRIT算法存在的問題，本文提出了分數低階循環相關矩陣的概念，并在此基礎上，提出了分數低階總體最小二乘（TLS）循環ESPRIT算法的2種新形式。新算法保留了 cyclic-ESPRIT類算法的優良性能，并對脈沖噪聲有較強的抑制作用，其性能顯著優于傳統的cyclic-ESPRIT算法。

2 信號噪聲模型

如圖1所示，設陣元數為M的天線陣列為線性均勻陣列[9]，各相鄰陣元間的距離為 d ≤λ0/2，其中 ， λ0=2πc/ω0,ω0為 信 號 的 中 心 頻 率 。為l個入射信號，假定s1( n), s2( n),… ,sKa(n)為指定的循環頻率的循環平穩信號，且為非相干源。其他 l - Ka個信號為非指定循環頻率的信號；入射角分別為 θ1, θ2,… ,θl。第i個信號到達各個陣元的相位差所組成的向量為：第k個陣元上的接收信號為

圖1 陣列模型

2.1 ESPRIT算法形式1的信號噪聲模型

x (n)=A1S (n)+ v( n)，y (n )=A1ΦS (n)+v (n+1)其中， A1為此算法的天線陣列的方向矩陣，將其寫成Vandermonde矩陣形式，有：為天線陣列接收到的噪聲矢量，假定各個陣元接收噪聲均服從α穩定分布，且與信號循環互不相關。

2.2 ESPRIT算法形式2的信號噪聲模型

把M個陣元組成線陣分為2個子陣，其中子陣列1由第1個至第 1M- 個陣列組成，子陣2由第2個至第M個陣元組成。由式（1）得整個陣列輸出為

則：

其中，A =[a(θ1) , a(θ2), … ,a(θl)]為天線陣列的方向矩陣，φ是一酉矩陣，所以 X1和 X2具有相同的信號子空間和噪聲子空間。 Ρ(n)= [v1(n), v2( n ) ,… ,vM(n) ]為天線陣列接收到的噪聲矢量，假定各個陣元接收噪聲均服從α穩定分布，且與信號循環互不相關。

2.3 α穩定分布的概念

α穩定分布是唯一一類滿足廣義中心極限定理的分布[6,7]。與高斯分布相比，α穩定分布具有更厚的統計拖尾，因此其時域實現具有顯著的脈沖特性。α穩定分布并沒有閉合的表達式，但可以用它的特征函數來方便地表示α穩定分布。

式中，

其中， - ∞＜a＜∞,γ＞ 0,0 ＜α≤2,-1 ≤ β≤1。

由上式可見，α穩定分布的特征函數由α、β、γ、a 4個參數即可確定。α為特征指數，它決定該分布脈沖特性的程度。α越小，所對應的分布拖尾越厚，脈沖特性越顯著。β為對稱參數，0β=對應于對稱分布，簡稱SαS分布。γ為分散系數，類似于高斯分布中的方差。a稱為位置參數，對于SαS分布，a表示中值或均值。當2α=時，其特征函數與均值為a，方差為22σ的高斯分布相同，即高斯分布是α穩定分布的一個特例。定義02α＜＜的非高斯穩定分布為分數低階α穩定分布。

3 分數低階循環ESPRIT算法

經典的循環ESPRIT類算法通常是把加性噪聲假設為高斯噪聲，利用陣列輸出信號的二階循環統計量進行波達方向（DOA) 估計。但是如果信號模型與實際的信號環境不匹配，則會使算法的估計性能下降，甚至失效。即當信號被高斯噪聲污染時，基于二階循環統計量的算法可以很好地抑制相關噪聲和干擾，提取有用信號的信息。但是，當信道中存在沒有二階統計量的 alpha穩定分布的脈沖噪聲時，經典的循環ESPRIT類算法是不能有效濾除或抑制這種噪聲的。因此，本文提出了分數低階循環ESPRIT算法。

3.1 分數低階循環相關矩陣

針對分數低階α穩定分布條件下，二階統計量的循環ESPRIT算法存在退化問題，本文提出了一種新的估計矩陣——分數低階循環相關矩陣為

本文提出的分數低階循環ESPRIT算法，分為2種形式：分數低階總體最小二乘循環ESPRIT算法形式 1和算法形式 2(分別簡稱為 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1 和 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2)。

3.2 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1

根據 x(n)和 y (n)的定義，由式（5）得出(M-1)×( M- 1)維分數低階循環相關矩陣為由式（6）得到的第i行、第j列元素為

把式(1)代入式(7)得

[10]的證明，可寫成

其中：當 m = 1和 m ＞Ka時，ζm(j+1)= 0 ;當1 ＜m≤ Ka時，

其中，(1)mjδ+為克羅內克爾符號。因為只有aK個信號為指定循環頻率的循環平穩信號，其他非指定循環頻率的信號都為零。由于噪聲不存在非零的循環頻率，因此η為零。

其中，Λ1的第i行、第j列元素為ζij，i, j = 1,2,…,l 。同理可求得

可以看出式（10）和式（11）與二階循環相關矩陣[2]表達式類似，之后按照循環 ESPRIT的方法估計波達方向。，因為矩陣A1滿列秩， Λ1非奇異[1]，所以矩陣和I - λΦH的廣義特征值完全相等。其中，λ為的廣義特征值。為了使做廣義特征值的矩陣束的維數減小，提高估計精度，本文使用TLS方法，對做截尾奇異值分解，得到。求矩陣束的廣義特征值分解，得到單位圓上的個廣義特征值，由確定波達方向。

3.3 FLOM-TLS-Cyclic-ESPRIT2

根據 x ( n)和 y ( n)的定義，由式（5）得出(M - 1 )×(M - 1 )維分數低階循環相關矩陣為由式（6）得到的第i行、第j列元素為

與3.2節中推理步驟相同，可以得到

其中，Λ的第i行、第 j列為：

①當1 ≤ i≤ Ka時，

②當Ka＜i≤l時，ξij=0，i, j = 1 ,2,… ,l 。

4 仿真實驗結果

本文采用廣義信噪比（GSNR, generalized signal-noise-ratio）為 1 0lg(γ)來描述SαS過程的信噪比[7]。其中 γ ( γ ＞ 0 )表示SαS噪聲的分散系數，表示信號功率。實驗采用8陣元均勻線陣，陣元距為半個波長。入射源為2個BPSK信號，其中，目標信號的入射角為30°，載頻為100MHz；干擾信號為入射角為60°，載頻為30MHz。這里的均方根誤差定義為輻射源的波達方向估計的樣本均方根誤差。即， ?()n為第n次實驗的估計值，N為實驗總次數。

實驗1 G SNR= 1 5dB ,循環頻率取200MHz，p從0.5取到2，每個p值仿真200次，取均方根誤差。

由圖2(a)可以得出，當 p = 1 .3時，此算法DOA估計誤差最小。由圖2(b)可以得出，當 p = 1 .4時，此算法DOA估計誤差最小。當 p = 2 時，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法退化為TLS-cyclic-ESPRIT類算法，估計誤差較大。在使用本文提出的新算法時，首先找到在給出的脈沖環境中最優的p值，之后再按照這個p值進行新算法的角度估計。

圖2 p取不同值時，對FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的影響

實驗2 G SNR=15dB、α=1.5的SαS噪聲環境下 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法與 TLS-cyclic-ESPRIT算法的比較。參照實驗1，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法的p取1.3, FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法的p取1.4。仿真分別獨立進行了2 000次。

從表1和表2中可以得到，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的性能明顯好于 TLS-cyclic-ESRPIT類算法。在α穩定分布噪聲的條件下，TLS-cyclic-ESRPIT算法的穩定性差，估計精度低。而FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法穩定性很好，估計精度高，可以很好地抑制了α穩定分布噪聲，比較準確地估計出了源信號的 DOA。同時可以得到在這個廣義信噪比條件下，FLOM-TLS-cyclic- ESPRIT1算法的性能優于FLOM-TLS-cyclic- ESPRIT2。

表1 TLS-cyclic-ESPRIT算法形式1和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法結果比較

表2 TLS-cyclic-ESPRIT 算法形式2 和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2 算法結果比較

實驗3 廣義信噪比從 15dB- 到15dB增大時，均方根誤差的變化，其他條件同上。每個廣義信噪比的取值都獨立仿真200次。

圖3 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT類算法的抗噪性能分析

從圖 3(a)中可以看出，FLOM-TLS-cyclic- ESPRIT1算法和TLS-cyclic-ESPRIT算法形式1在廣義信噪比比較低（ 15dB- ～5dB- ）時，抗噪性能基本相當；當廣義信噪比升高時，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法抗噪性能明顯好于TLS-cyclic- ESPRIT算法形式1。從圖3(b)中可以看出，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法的抗噪性能明顯好于 TLS-cyclic- ESPRIT算法形式2。從圖3(c)中可以看出，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法和FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2在廣義信噪比比較低（ -1 5dB～ -5 dB）時，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2的抗噪性能較好；當廣義信噪比升高時，FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法抗噪性能稍微好于 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2。FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法在低廣義信噪比時性能下降的原因應該是p值的選擇，在不同的廣義信噪比下，最優的p值是不同的。

實驗 4 為驗證本文算法的廣泛適用性，對入射源為QPSK信號的情況進行仿真實驗。入射源為2個QPSK信號，其中，目標信號入射角為30°，載頻為100MHz，鍵控速率為50MHz；干攏信號入射角為60°，載頻為30MHz，鍵控速率為3MHz。在 G SNR=15dB 、α=1.5的SαS噪聲環境下，循環頻率取為 2倍鍵控速率100MHz。p從0.5取到2（間隔為0.1），每個p值仿真200次，取均方根誤差最小時對應p值對 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法與 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法進行仿真比較。仿真分別獨立進行了2 000次。

通過對表1～表3的對比看出，本文提出算法對QPSK信號的DOA效果較好，但對BPSK信號具有更高的估計精度?？梢员砻鞅疚牡腇LOM-TLS-cyclic-ESPRIT1算法和 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法具有較為普遍的適用性。

表3 FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT1與FLOM-TLS-cyclic-ESPRIT2算法結果比較

5 結束語

循環統計量是一種研究具有循環平穩特性的非平穩隨機信號的有效工具，但是廣泛存在的脈沖性非高斯分布噪聲會降低基于傳統二階循環統計量的各類算法的性能。本文以α穩定分布作為噪聲模型，考慮了非高斯噪聲對傳統的二階循環統計量的影響，給出了分數低階循環相關矩陣的概念，同時結合高分辨波達方向估計技術，提出基于分數低階循環相關矩陣的ESPRIT新方法，仿真表明該方法可以有效消除α穩定分布噪聲及相關干擾對角度估值的影響，具有潛在的應用前景。

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