存在偽碼多普勒條件下的XFAST性能分析

唐小妹，雍少為，王飛雪

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 衛(wèi)星導(dǎo)航研發(fā)中心，湖南 長沙 410073）

1 引言

GPS信號(hào)采用C碼和P碼2種不同的偽隨機(jī)碼，其中，C碼是一種低碼率、周期重復(fù)的短碼，主要用于民用系統(tǒng)；P碼也稱為軍碼，是一種高碼率、長周期、加密偽隨機(jī)碼。正常情況下，可以通過對(duì)C碼信號(hào)的捕獲跟蹤，實(shí)現(xiàn)對(duì)P碼信號(hào)的引導(dǎo)；在戰(zhàn)爭或者某種突發(fā)事件的情況下，C碼信號(hào)可能會(huì)被干擾或者關(guān)閉，這就要求接收機(jī)具有長碼直接捕獲的功能。

由 Dr. Yang C于 2002年提出的 XFAST（extended replica folding acquisition search technique）是一種改進(jìn)的頻域捕獲算法[1,2]，其基本思想就是，將一個(gè)很長的偽碼分成M個(gè)子段，每段長L點(diǎn)，并將各子段的對(duì)應(yīng)位置進(jìn)行算術(shù)相加，組成一個(gè)新的長為L點(diǎn)的重疊碼。利用重疊碼與接收信號(hào)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，從而提高處理的并行性。

XFAST算法提出后引發(fā)了大量的研究，文獻(xiàn)[3,4]仿真驗(yàn)證了 XFAST算法，沒有給出具體的仿真輸入條件，文獻(xiàn)[5～8]用高載噪比條件下的個(gè)例仿真來說明XFAST的性能，由以上的分析可知，現(xiàn)有的性能分析文獻(xiàn)存在缺乏精確的理論分析、信號(hào)電平的設(shè)置高于導(dǎo)航信號(hào)的實(shí)際使用情況、仿真條件過于理想[9]，用個(gè)例仿真結(jié)果代替統(tǒng)計(jì)結(jié)果等問題。

XFAST能夠提高捕獲搜索速度，然而多段PN碼疊加后相關(guān)計(jì)算導(dǎo)致噪聲信號(hào)能量與重疊段數(shù)成正比，導(dǎo)致等效輸入載噪比的下降，為達(dá)到相同的捕獲概率和虛警概率的要求，需要增加捕獲的總積累時(shí)間。由于偽碼存在多普勒頻偏，致使相關(guān)函數(shù)產(chǎn)生主瓣展寬、峰值移位和降低等現(xiàn)象[10]，也會(huì)在捕獲過程中引入損耗，導(dǎo)致增加積累時(shí)間并不能獲得對(duì)應(yīng)的增益。以上2點(diǎn)的矛盾導(dǎo)致XFAST的應(yīng)用受限。目前已知的關(guān)于 XFAST的研究論文均忽略接收信號(hào)的偽碼多普勒，在多普勒較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的模型誤差。

本文在簡要介紹XFAST的工作原理的基礎(chǔ)上，建立XFAST的理論分析模型，并基于該理論模型，考慮存在碼間互相關(guān)干擾及偽碼多普勒的捕獲和虛警概率的表達(dá)式，由于模型中有一些近似處理，為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，對(duì)模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

2 基于XFAST的長碼直捕原理

中頻AD采樣后的數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過中頻解調(diào)后，得到I、Q通道數(shù)據(jù)構(gòu)成復(fù)信號(hào)進(jìn)行FFT變換，同時(shí)本地偽碼經(jīng)過重疊后，進(jìn)行FFT變換，結(jié)果取共軛后與接收信號(hào)FFT變換的結(jié)果相乘，然后進(jìn)行反FFT變換，由頻域相乘等于時(shí)域相關(guān)的原理，等效完成了時(shí)域接收信號(hào)和本地偽碼的信號(hào)相關(guān)過程，經(jīng)過平方律檢波、非相干積累后進(jìn)行捕獲判決，若過門限則認(rèn)為是成功捕獲信號(hào)。

根據(jù)時(shí)域復(fù)指數(shù)相乘等效于頻域偏移的原理，通過對(duì)接收信號(hào) FFT變換后的結(jié)果進(jìn)行循環(huán)移位實(shí)現(xiàn)對(duì)不同頻率偏移下的偽碼相關(guān)值的搜索，具體如圖1所示[1,2]。

3 XFAST長碼直捕性能分析

本節(jié)將首先介紹 XFAST的信號(hào)模型，對(duì)相干累加值的信噪比進(jìn)行分析，并由此推導(dǎo)出捕獲概率和虛警概率的表達(dá)式。

3.1 理論模型

假設(shè)輸入的中頻解調(diào)后的復(fù)信號(hào)[11]為

本地以采樣間隔T、標(biāo)稱偽碼頻率 fc生成本地的偽隨機(jī)碼 P ( kT-τ1)，擴(kuò)展復(fù)制重疊的段數(shù)為M，每段中的數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)為L，則重疊后的偽碼相位為

各分段對(duì)應(yīng)的偽碼相位間隔為LT。

接收信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域后，通過對(duì)頻域數(shù)據(jù)的移位實(shí)現(xiàn)對(duì)接收信號(hào)的多普勒去除。FFT計(jì)算的點(diǎn)數(shù)為 PFFT，對(duì)應(yīng)的頻率分辨率為 fsPFFT，頻域數(shù)據(jù)移位i位，等效于去除的多普勒頻率 i fsPFFT。

時(shí)域的相關(guān)計(jì)算值為

其中，τ0-τ1為本地偽碼和接收偽碼起始相位誤差；i為 FFT的第i譜線；L為相干累加長度；M為擴(kuò)展復(fù)制重疊段數(shù)；k1表示利用接收數(shù)據(jù)為[k1,k1+L]段的數(shù)據(jù)計(jì)算。

圖1 XFAST實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖

在一次相關(guān)計(jì)算中，由于偽碼瞬時(shí)相位差受偽碼多普勒影響隨時(shí)間變化，在多普勒固定情況下，偽碼平均相位差等于相關(guān)時(shí)間段中點(diǎn)的偽碼相位差（圖2中的“+”號(hào)所對(duì)應(yīng)的偽碼相位）。

圖2 存在偽碼多普勒時(shí)捕獲過程中本地信號(hào)與接收信號(hào)間的相位差變化

由式（3）可知，相關(guān)計(jì)算并行搜索的平均相位差為

假設(shè)后積累的次數(shù)為q，則判決量可以寫為

由式（4）、式（5）及圖 2可知，對(duì)于一個(gè)固定的 m和 k0，由于偽碼多普勒的存在，導(dǎo)致在0～(q - 1 )次相干積累過程中，本地偽碼與接收到的偽碼平均相位差會(huì)隨偽碼多普勒而變化：

當(dāng)信號(hào)存在時(shí)，相關(guān)峰最大值出現(xiàn)在載波頻率和偽碼相位分別為與真實(shí)值最接近的搜索單元，下面將分別對(duì)最大相關(guān)值處的偽碼相位和載波頻率分別進(jìn)行分析。

由文獻(xiàn)[10]的一階動(dòng)態(tài)相關(guān)峰的對(duì)稱性可以推導(dǎo)出：最大相關(guān)峰出現(xiàn)的位置為整個(gè)搜索過程中各子段的平均相位誤差絕對(duì)值之和最小的偽碼相位，即滿足如下的表達(dá)式：

考慮參數(shù)的離散性，則相關(guān)峰最大值處，對(duì)應(yīng)的m、L、k0的取值滿足如下的等式：

其中，[]為四舍五入取整操作。

FFT的頻率分辨率為 fsPFFT，則相關(guān)峰最大值對(duì)應(yīng)的頻率譜線為最接近真實(shí)頻率 fd的譜線位置：

3.2 相干累加值的信噪比

由上節(jié)可知，存在多普勒情況下，各次相干積累對(duì)應(yīng)的偽碼相位不同，本節(jié)主要分析當(dāng)信號(hào)存在時(shí)，捕獲搜索過程中相關(guān)值最大處對(duì)應(yīng)的相干累加信號(hào)的信噪比，為簡化問題分析，假設(shè)相干累加是在同一個(gè)符號(hào)位內(nèi)完成的。將式（3）中的R0(·)按照信號(hào)和噪聲項(xiàng)展開，有

其中，

假設(shè)滿足式(8)和式(9)的相關(guān)峰出現(xiàn)在相位為m = m′，k0= k0′，載波頻率為i′處。

則式(10)可以寫成如下的形式：其中，由P碼良好的隨機(jī)性可知，偽碼的0/1概率分布與載波相位的變化是獨(dú)立的，根據(jù)獨(dú)立分布變量的互協(xié)方差為零，則相關(guān)累加后的信號(hào)部分可以寫成如下的表達(dá)式：

噪聲 n( k T)為獨(dú)立分布的高斯白噪聲序列，相關(guān)累加后的相關(guān)值 N1(·)的I支路和Q支路的分布為的正態(tài)分布，式中的，則服從均值為0、方差為 N0MLT的正態(tài)分布。

由以上分析可知，經(jīng)過 XFAST相關(guān)后的信號(hào)信噪比可以寫成如下表達(dá)式：

3.3 捕獲概率和虛警概率

則對(duì)應(yīng)的捕獲概率和虛警率可以分別寫為

對(duì)于虛警率給定的情況下，捕獲概率可以寫為

4 分析與仿真驗(yàn)證

由于捕獲概率和虛警概率的解析表達(dá)式中采用了一些近似，為驗(yàn)證表達(dá)式的正確性，選取幾組不同的參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。根據(jù)式（16）計(jì)算不同參數(shù)條件下的捕獲概率和虛警概率，得到理論數(shù)值如表1所示。

表1 多普勒不確定度-6～+6k，采樣率取為20.47MHz下的仿真參數(shù)設(shè)置

本文的統(tǒng)計(jì)驗(yàn)證采用MATLAB進(jìn)行模擬仿真，偽碼采用GPS的P碼，信號(hào)模型如式(1)所示，一次捕獲對(duì)應(yīng)的不同參數(shù)的時(shí)頻二維搜索仿真相關(guān)值分別如圖3所示。

仿真1×107次，統(tǒng)計(jì)對(duì)應(yīng)的捕獲概率和虛警概率，對(duì)給定的捕獲概率和虛警概率，仿真與理論的差異可以采用文獻(xiàn)[13]中定義的等效信噪比進(jìn)行評(píng)估，即比較與其檢測性能相同的相干檢測器在輸入端的信噪比（D0）。

其中Q函數(shù)和誤差函數(shù)的定義如下：

得到對(duì)應(yīng)的性能參數(shù)如表2所示。

由性能分析可以得到如下4點(diǎn)結(jié)論。

1) 不考慮偽碼多普勒的分析在不同的參數(shù)下引入的誤差不同，總積分時(shí)間越長，偽碼多普勒的影響越大，引入的誤差越大，如參數(shù)4引入的誤差為8.1dB。

圖3 表1中的4組參數(shù)分別對(duì)應(yīng)的二維搜索仿真圖（最高處為相關(guān)峰位置）

表2 不同參數(shù)的捕獲性能分析表

2) 本文的性能分析方法與仿真結(jié)果差異較小，最大等效信噪比差異小于 0.5dB，證明本文的性能分析方法是正確的，而不考慮偽碼多普勒損耗。

3) 在偽碼多普勒引入的碼片誤差在一定范圍時(shí)，總積分時(shí)間的增大，會(huì)使捕獲性能提升（如參數(shù)2和參數(shù)3）；若繼續(xù)增大積分時(shí)間，導(dǎo)致碼片誤差損耗加大，反使捕獲性能下降（參數(shù)3和參數(shù)4），說明偽碼多普勒是性能分析中不得不考慮的因素。

4) 相同的總積分時(shí)間（參數(shù)1和參數(shù)2），參數(shù)分配的差異會(huì)導(dǎo)致性能的差異，即根據(jù)本文的性能分析結(jié)果，設(shè)置合理的優(yōu)化目標(biāo)，可以對(duì)捕獲參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，本文由于篇幅的限制，不進(jìn)行描述。

5 結(jié)束語

本文主要分析了偽碼的互相關(guān)以及偽碼多普勒影響下的 XFAST的捕獲概率和虛警概率模型，對(duì)理論計(jì)算得到的概率公式通過實(shí)際仿真進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明，本文的捕獲概率和虛警概率模型是正確的。當(dāng)擴(kuò)展復(fù)制重疊段數(shù)為1時(shí)，本文的模型可退化為常規(guī)的長碼直捕算法的性能分析，指導(dǎo)接收機(jī)的設(shè)計(jì)。

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