在《離散數學》的教學實踐中融入數學建模思想

溫雪蓮 華南師范大學經濟與管理學院 510006

在《離散數學》的教學實踐中融入數學建模思想

溫雪蓮 華南師范大學經濟與管理學院 510006

離散數學是計算機科學與技術以及相關專業的核心基礎課程。數學建模對于培養學生應用數學的能力具有重要的作用。本文從在離散數學教學中融入數學建模思想的意義、方法與實踐以及對可能遇到的問題的討論幾個方面探討離散數學的教學與數學建模思想關系。

Discrete Mathematics; Computer Science and Technology;Mathematical Modeling

離散數學是研究離散數量關系和離散結構數學模型的數學分支的統稱。是計算機科學與技術專業的核心基礎課程。課程涉及的概念、方法和理論在數字電路、數據庫系統、軟件工程、人工智能、多媒體技術、計算機網絡等專業課程都有大量的應用。離散數學課程所傳授的思想，廣泛地體現在計算機科學技術及相關專業的諸領域。學習離散數學不僅是為了鍛煉思維能力，更重要的是將所學的知識用于解決實際問題。而數學建模就是將數學知識應用于解決實際問題的過程。若在離散數學的教學中融入數學建模思想，將抽象的數學知識與實際應用相結合，將有助于培養學生應用數學的意識和能力，同時也有助于提高學生學習離散數學的興趣。當前，已有許多對數學建模與教學的關系的探討[1-3]。本文將從在離散數學教學中融入數學建模思想的意義、方法與實踐以及可能遇到的問題等幾個方面討論如何在離散數學教學中融入數學建模思想。

1、融入數學建模思想的意義

數學模型就是用數學語言，通過抽象、簡化，建立起來的描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構。這個結構可以是公式、方程、表格、圖形等。例如：在網絡的當前的負載狀況下，網絡兩個結點之間的一條耗時最短的通信線路問題可以抽象為賦權圖中兩點之間邊權值和最小的通路的數學模型；在一定的人力、物力等資源條件下，使得經濟效益最大或資源消耗最小的資源分配問題就可以抽象為線性規劃模型，問題的求解等價于求對應數學模型的最優解。由此可見，數學建模的目的是將復雜的客觀事物或聯系簡單化并用數學手段對其進行分析和處理。馬克思曾經說過“一種科學只有成功地運用數學時，才算達到真正完善的地步”。數學建模正是人們認識世界和改造世界的重要數學工具。

建立數學模型解決現實問題要經過模型準備、模型假設、模型構成、模型求解和模型分析這五個步驟。模型準備就是了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征；模型假設是根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設；模型構成是根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構；模型求解就是采用各種已有的數學方法或計算機技術進行求解；模型分析就是將求解結果進行誤差或穩定性等數學分析，并解釋為對現實問題的解答。由此可見，思想數學建模就是將數學的理論知識應用于解決實際問題，培養數學建模思想就是鍛煉應用數學的能力。

國內外數學教學改革的趨勢, 越來越注重數學的應用性。不注重應用性的數學教學，只能使學生知道一些概念，認識了許多公式，了解了各種方法，可是遇到實際問題時卻無從下手。這樣得到的知識是“死”的，能被應用的知識才是“活”的。在離散數學的教學中融入數學建模思想，就是讓學生將概念、定理和方法變成能用于解決實際問題的“活知識”。這不僅符合數學本身發展的需要,也是社會發展的需要。

在離散數學的教學中融入數學建模的思想，可以調動學生學習離散數學的積極性。離散數學課程主要包括數理邏輯、集合論、代數結構和圖論四個部分。具有內容零散，概念多，理論性強和高度抽象等特點。如果僅對概念和定理進行理論講解，不但聽起來覺得比較枯燥，而且學生在學習過程無法體會到它在計算機科學中的應用，容易失去學習的熱情和產生畏難心理。用數學建模的思想指導離散數學的教學，將生活實踐引入課堂，用課本知識分析實際問題，讓學生感到離散數學貼近生活。教師可以引導學生自己尋找與該數學模型相吻合的實際問題活用離散數學建立實際問題的數學模型，并進行報告和討論，使得學生有自己獨到的見解和看法，有助于知識的融會貫通和掌握，大大提高學生對學習離散數學的興趣。

在離散數學的教學中融入數學建模思想，還有助于培養學生的觀察、分析、綜合、類比能力和抽象思維。運用數學建模解決實際問題必須首先觀察分析實際問題，抽象出問題包含的量及量之間的關系，并用數學語言表示出來，然后再把數學模型納入某知識系統進行處理。完成這個過程需要學生具有一定的觀察、分析、抽象、綜合和類比能力，并把數學知識融入到解決問題中。這種能力并非一朝一夕就可以獲得，只有將數學建模思想貫穿于教學中，不斷引導學生用數學的思維去觀察、分析、抽象，從紛繁復雜的具體問題抽象出數學模型，才能使數學建模思想成為學生思考問題的習慣。

2、離散數學融入數學建模思想的方法與實踐

要將數學建模思想融入到離散數學的教學中，需要從教學內容和教學方法入手。

2.1 挖掘應用，激發學習熱情

傳統的離散數學教材只包含極少的應用實例，有些部分甚至只是簡單地提及在哪些領域有應用。比如代數結構部分，大部分教材都只包含了大量的概念和題解，看似數學專業教材的一部分，學生學起來比較枯燥。而在教學中融入數學建模思想的關鍵就是在教學中聯系實際，因此，教師需要深入鉆研教學內容，廣泛搜集資料，挖掘離散數學的應用素材，加以推廣，結合計算機專業選編合適的實際問題，創建實際問題情境。盡量選擇與學生身邊或專業性的問題，使學生體會到所學知識的實用價值，從而激發學生的學習熱情。

例如，布爾代數[4]是離散數學中比較抽象的概念，如果只作理論上的闡釋往往會讓學生覺得晦澀難懂，為了吸引學生的注意力和興趣，教師可以先引入如下的應用實例：在舉重比賽中，通常設三位裁判，一位主裁判，兩位副裁判；競賽規則規定運動員每次試舉必須獲得主裁判及至少一位副裁判的認可，方算成功。裁判的意見只有通過和不通過兩種；運動員的試舉也只有成功和失敗兩種，如何設計滿足這些要求的舉重裁判的設計電路呢？通過引入這些有趣的實例來講解布爾代數的理論，能激發學生用所學數學知識的思考、分析和求解，這就是數學建模對學生的鍛煉過程，這個過程使學生的應用數學的能力得到提升，同時讓學生體會到數學建模的價值，增強學習離散數學的動機和興趣。類似的例子在離散數學中有很多，需要教師留心身邊的實例和查閱相關的資料，不能僅僅依靠一兩本教材。

2.2 在概念、定理的講授及課后習題中引入數學建模思想

不但要挖掘實際應用實例融入理論教學中，在課程講授方式上也要融入數學建模的思想。

離散數學課程中包含很多概念，如果著重于概念的闡釋，學生無法深刻理解，而且忘得快。如果在講解概念的時候滲透數學建模的思想就可以解決這個問題。數學概念都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型，本身就體現了數學建模的思想。因此在講解概念時可以借助于概念產生的背景，以及概念是如何由實際問題通過分析、抽象、概括而得到的過程，讓學生切實體會到由實際問題到數學概念的方法，不但能加深學生對概念的理解，而且能逐步培養學生數學建模的意識。例如：集合是對若干無聯系的具體或抽象的對象的整體的抽象。圖論中研究的圖是對若干兩兩之間存在或不存在某種關系的對象以及它們之間的關系的抽象，這個抽象起源于哥尼斯堡七橋問題等等。

數學公式定理也是離散數學的重要組成部分。在講解公式時，教師可以設置能反映公式結論的實際用例，通過向同學們提出疑問的方式，由學生們自己推導出公式。例如，在講解二部圖具有覆蓋一個部的匹配的Hall定理[5]時，教師可以先舉這樣的一個實例讓學生進行思考，如果有n個工人和m項任務，其中n≥m，每個工人能勝任其中的若干項任務，當工人和項目之間滿足什么條件時，所有項目都能找到勝任該任務的工人來完成？學生們要思考這個問題，首先就要將每項任務和每個工人分別用圖中不同的點來表示，如果一個工人勝任一項任務，就在代表該工人和任務的點之間連一條邊，這樣抽象出來的二部圖就是該問題的一個數學結構，原問題實際上就轉化為在這個二部圖中兩個分類中的頂點之間存在什么關系，才能使得該圖有完美匹配。這樣，在介紹公式的同時培養了學生數學建模的思想，也加深學生對公式的理解與掌握。

此外，在習題課和作業的安排中也可以融入數學建模思想。利用課本的純數學問題，結合生活的實際問題進行改編成綜合應用題，讓學生以數學建模論文的形式提交，作為平時成績的一部分，此外，鼓勵學生自愿組成學習小組，培養他們的協作精神。這樣，學生們就可以通過做來認識和體驗數學，掌握數學建模的思想方法。

2.3 突破傳統的教學模式，采用開放式教學

在傳統的課堂教學模式下，即使從事數學建模的活動，也僅是教師提供素材，學生被動地參與學習與討論，學生真正碰到實際問題,往往仍感到無從下手。因此要培養學生建模能力，需要突破傳統教學模式。

在教學形式上，可采用分組活動，通過社會實踐或社會調查形式來實行。例如，在某地有一個6岔路口，路口上設置多臺紅綠燈，如果設置紅綠燈的時間和行車才能使得車流量最大。這是個切實存在的實際問題，學生通過調查不同時間的車流量并結合離散數學中圖論的知識來制定一個有效的解決辦法，由此來鍛煉學生解決實際問題的能力。

教學內容也要開放。利用離散數學方法能解決的實際問題比比皆是，而教師提供的素材與問題都是十分有限的。為調動學生的主動性與創造性,應讓學生自己選擇熟悉的感興趣的實踐活動，讓他們自己提出問題、設計方案、分析解決。

此外，還要注意離散數學與其它相關學科的聯系。離散數學在化學、生物、工程管理等學科都有緊密的聯系。例如，圖論中的染色問題就是解決化學品存放問題的數學模型，圖論中在教學中注意離散數學與其它學科的呼應，不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。

3、問題討論

要將數學建模思想有效地融入到離散數學的教學中，在教學實踐中仍需要解決許多問題。

首先是教學時間的分配問題。工科院校對離散數學課安排的課時普遍較少。這對離散數學這門具有豐富的理論和實際應用內容的課程來說遠遠不夠。但在無法更改教學課時的情況下，需要教師合理地分配教學時間，同時充分地調動同學們課余學習的積極性。對于部分課程內容，可以通過布置一些有趣的實際應用題目，讓學生通過預習相關內容來解決，在課堂上只需再對重點難點進行詳細講解，節約了理論講解的時間，同時也調動了同學們學習的主動性。

其次是任課教師自身素質的提高問題。傳統的離散數學教學模式是將離散數學作為一個數學理論課。主要是對其中的定義、理論和方法進行闡釋。對應用只作簡單的介紹，課程內容的變化不大，因此教師備課往往是一勞永逸。而將數學建模的思想融入到離散數學的教學中，教師不僅需要掌握該課程的理論知識，還必須盡可能地了解與之相關的專業課程的內容，挖掘與離散數學相關的實際應用，因此需要教師不斷地更新教學內容，調整教學模式，這對離散數學教師提出了一個更高的要求。

4、結語

離散數學是計算機專業的基礎核心課程，同時在計算機專業課程中起著承前啟后的重要作用。在離散數學的教學中融入數學建模的思想，就是通過融入應用實例和調整教學方式，將與離散數學相關的實際應用和理論教學內容有機地結合在一起。這種教學思想，一方面，能使學生明確學習離散數學的理論知識可以有效地解決實際問題，從而提高學習離散數學的積極性和主動性，同時也啟發了學生的應用意識和能力。另一方面，改變了傳統的以闡釋理論為核心的教學模式。要求教師不斷挖掘、探索新的應用實例，了解與離散數學相關的學科，提高了教師的教學水平和自身的素質。從而形成教與學互相促進、不斷進步的良性循環。

[1] 趙凌. 從數學建模活動談高校數學教學改革[J]. 成都大學學報(自然科學版).2001,(04): 61-63

[2] 簡國明. 地方高校數學建模教學模式的探索與實踐[J]. 大學數學.2005,(02) :35-38

[3] 庫在強，劉煥彬. 以數學建模活動為載體 促進數學課程教學改革[J].黃岡師范學院學報. 2008,(03): 68-72

[4] 楊炳儒. 離散數學[M]. 北京：人民郵電出版社.2006.

[5] 屈婉玲，耿素云，張立昂. 離散數學[M]. 北京：高等教育出版社.2008.

The Infiltration Of The Concept Of Mathematical Modeling Into The Teaching of Discrete Mathematics

Wen Xuelian
School of Economics and Management, South China Normal University, Guangzhou 510006

Discrete mathematics is an important course of computer science and its correlative specialties. The procedure of Mathematical modeling is very important in helping the students to cultivate the ability of using mathematics in practice. This paper deals with the relation between the concept of mathematical modeling and the teaching of discrete mathematics from the significance, the method, the practice and the problems that may be met in the infiltration of the concept of mathematical modeling into the teaching of discrete mathematics.

離散數學;計算機科學與技術;數學建模