公路隧道圍巖分類的Bayes判別方法研究

張國強

世界上對隧道圍巖分類的方法很多,近年來,應用多種地質因素組合對圍巖進行分類的方法取得了較多的成果,并得到比較廣泛的重視與應用。針對不同的隧道圍巖情況,不同學者提出了不同的理論與分類方法,如神經網絡方法[1]、專家系統[3]、灰色圍巖分類方法[4]、模糊數學理論[5,6]、可拓學理論[7-9]和支持向量機法[10],使得圍巖分類更趨科學化、合理化。本文試圖利用判別分析方法來對隧道圍巖進行判別,以期得到較好的結果。

1 Bayes判別分析理論

1.1 Bayes判別的基本思想

Bayes逐步判別分析法是一種集“有效特征選擇與狀態識別”功能于一身的統計分析法[11],其基本原理是在已知預判別的類型和數目,并已取得各種類型的一批已知樣品的情況下,根據各變量在分類判別式中作用的大小進行排序,并逐步地選入判別式中,直到既無變量選入,又無變量剔除為止,最后計算出相應的判別函數和評價對象從屬各類的概率值,實現判別分類[12,13]。

1.2 多元逐步Bayes判別模型的實現步驟[8-10]

設 Gj的概率密度為fj(X),樣本 X=(x1,x2,…,xp)T來自總體Gj的先驗概率為pj,各總體出現的先驗概率為:

對于 p元指標X=(x1,x2,…,xp)T,它的取值空間是 p元歐式空間Rp。一個判別法則實質上是對空間 Rp的一個不相重疊的劃分R1,R2,R3,…,Rk,并且滿足:

這一劃分記為R=(R1,R2,…,Rk),R代表一個判別準則。

在上述判別準則下,將來自 Gi的樣本誤判為來自 Gj的概率:

設來自 Gi的樣本誤判為來自Gj的損失記為c(j|i),并且約定c(j|i)=0。c(j|i)構成一個損失矩陣:

多數情況下假定 c(j|i)為常數,i≠j。這時,可設:

此時,來自Gi的樣本誤判為來自其他總體的概率為:

當 Gi出現的先驗概率是pj時,誤判的平均概率是:

一個最優劃分 R=(R1,R2,…,Rk)應使 p*最小。

此時,因為:

又由Bayes公式,當出現樣品X時,總體 Gi后驗概率為:

故最優劃分R=(R1,R2,…,Rk)又可表示為:

這說明,當出現樣品X時,應判定X來自后驗概率最大的那個總體Gi,這符合Bayes統計推斷的原則,其統計意義非常清楚。

2 多正態總體的Bayes判別分析

當存在多個正態總體時,Bayes判別分析如下:

后驗概率:

2)當 ∑1,∑2,…,∑k不全相等時。

判別準則中對誤判率的估計仍然采用回代估計方法。

3 公路隧道圍巖分類的Bayes判別分析模型

3.1 判別參數的確定

本文通過RQD來反映巖體的破碎情況,并以節理間距來描述節理的發育情況。圍巖賦存情況由地下水的情況來代表。盡管所選判別因子數量較少,但充分反映了巖石性質、巖體結構和賦存環境,具有一定的代表性。本著少而精的原則,結合規范[15],并考慮影響分類因素指標之間相關性及指標數據測試難易性,最終確定巖石單軸飽和抗壓強度P、節理平均間距d、巖石質量指標RQD、地下水情況4種影響圍巖分類的因素作為Bayes判別分析模型的判別因子。

3.2 判別模型的建立

將隧洞圍巖分為Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ和Ⅴ類4個類別,以Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ和Ⅴ類圍巖作為4個不同的總體,并假定4個總體的協方差矩陣相等,按照本文提出的Bayes判別分析法進行計算、學習。

利用樣本數據進行學習,經過學習后的模型,以巖石單軸飽和抗壓強度P(X1)、節理平均間距d(X2)、巖石質量指標RQD(X3)、地下水情況(X4)這4個指標作為輸入層單元,對21組隧道圍巖作為學習樣本生成學習樣本集,以 Y1(Ⅱ),Y2(Ⅲ),Y3(Ⅳ)和 Y4(Ⅴ)四類隧道圍巖類別作為輸出層單元。

3.3 判別效果的檢驗

將已知樣本代入已建立的判別方程,按各母體的后驗概率重新歸類,如果重新歸類結果與已知類別的符合率很高,則判別函數的效果就好。利用回代估計法計算誤判率,由表1可知,回代結果全部正確。總誤判率為:

表1 原數據回判結果表

由此可見,所建立的Bayes判別分析模型用于隧道圍巖判別是完全可行并且高效的。

4 結語

1)本文借鑒判別分析理論,建立了隧道圍巖判別的Bayes判別分析模型。模型檢驗及實例計算證明,利用上述指標建立的判別分析模型對隧道圍巖進行判別是合理可行的,為隧道圍巖判別問題提供了一條新途徑。

2)利用Bayes判別法推導出的上述判別方程具有較高的判對率,結果與實際情況吻合較好,證明該方法具有良好的可行性。

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