車橋耦合振動系統模型的研究

宋志勇 祁向前

車橋系統形成的耦合振動在工程中是一個長期存在又較復雜難解的課題,研究和控制這種振動對于橋梁設計、維護和安全具有重要意義。這就需要分析研究車橋耦合振動具有的深層機理和振動特性,而其中關于建立既能真實反映系統耦合振動,又簡潔便于求解的理論模型成為重要的一環。國內外眾多學者對這一問題進行了研究,但并未考慮車在行駛中速度的變化對振動的影響,或雖考慮了車體加速度對系統的動力學影響[5],但在模型中未考慮路面不平度和車橋之間的彈性—阻尼因素。本文研究橋梁的橫向振動和汽車的豎直振動組成的耦合振動,建立了包括橋面不平度、汽車勻變速行駛時的加速度等因素在內的耦合振動模型,運用模態疊加法原理和Galerkin方法建立車橋系統的離散化方程組。

1 車橋耦合系統模型

本文將橋梁簡化看成兩端簡支,做橫向振動的,具有等效剛度的等截面Euler-Bernoulli彈性梁[4];橋面的不平度采用三角函數模擬。汽車簡化為豎直振動的質量體,汽車輪胎等效為彈簧—阻尼系統,并假定整個過程汽車輪胎不離開橋面,最終建立了如圖1所示的振動模型。

圖1中m為汽車質量;k0和c0分別為汽車輪胎的等效剛度和阻尼;y(t)為汽車豎直振動位移,汽車運動初速度 v0,勻加速度a,某一時刻汽車距離 A端為ξ(t),則有:ξ(t)=v0t+0.5at2。其中橋梁的撓度為 w(x,t),長度為 L,等效抗彎剛度EI,單位長度質量為 ρ,橋面的不平度 λ(x),且設 λ(x)=dsin(ω0x)[4],d和ω0分別為橋面不平度波形的幅值和頻率。

2 車橋耦合系統振動方程的建立

將橋面不平度看作位移激勵,則汽車振動方程可寫為:

由于橋梁撓度一般很小,因而不考慮因橋變為曲線時汽車的牽連慣性力;同時忽略彈性橋本身的阻尼影響,則其振動方程為:

其中,δ為狄拉克函數;g為重力加速度,采用Galerkin方法[6],將橋連續體離散化處理,則在簡支條件下梁撓度可寫為:

其中,φi為橋梁的第 i階模態,φi(x)=sin(iπx/L)(i=1,…,N),令“·”表示對時間求導,則同理有:

其中,φi(ξ)=sin(ξ iπ/L)(i=1,…,N)ξ=v0+at。 將式(3)～式(5)代入方程(1),方程(2),則車和橋振動方程寫為:

將式(7)中左右兩側分別乘以 φj(x),j=1,…,N,并沿 x方向在區間[0,L]積分,利用 φ(x)正交性和 δ函數性質有:

方程(6),方程(8)組成車橋振動的耦合方程,若設 X={y,q1,q2,…,qN}T,則聯合方程(6),方程(8),車橋系統耦合振動方程可寫為:

其中,P=[k0λ-c0﹒λ,mgφ1(ξ),…,mgφi(ξ),…,mgφN(ξ)]T;

其中,M,C和K分別為系統方程的相當質量矩陣、相當阻尼矩陣、相當剛度矩陣;P為系統的相當荷載向量。

式(9)為N+1個自由度的時變系數的非自治微分方程組,一般情況下,因為汽車加速度的存在,方程中系數矩陣顯含時間,其解析求解較復雜,可以采用數值計算得到響應,如Newmark方法;若汽車勻速行駛,則ξ·為常數,M,C和K變為常數矩陣,P為周期性激勵,此時為自治系統,可以直接得到X的解析式。由式(9)解出X,可直接得到汽車豎直振動響應,對于各階模態中的qi(t),根據模態疊加法原理,代入式(3)中,最終得到橋彎曲振動響應。

3 結語

本文建立了符合實際的車橋耦合振動模型,運用模態疊加法原理和Galerkin方法最終得到了一個非自治時變系數的,具有任意自由度的離散化方程組,能夠對橋梁振動性質進行分析。在特殊條件下,即車勻速行駛時系統的響應具有直接解析形式。

相對于文獻[3]～文獻[5]中所建立的振動模型,本文所建立的模型同時考慮有汽車加速度、汽車與橋面的彈性接觸、橋面不平度等實際因素,能更真實反映車橋耦合系統的振動,對于更好的研究車橋耦合振動機理、振動特性,以及橋梁的設計與施工具有實際的參考價值。

[1] Zibdeh H S.Stochastic vibration of an dlastic beam due to random moving loads and deterministic axial forces[J].Engineering Structures,1995,17(7):530-535.

[2] Michaltsos G T,Sophianopoulos D,Kounadis AN.The effect of a moving mass and other parameters on the dynamic response of a simply supported beam[J].J of Sound and Vibration,1996(191):357-362.

[3] 肖新標,沈火明.三種車橋耦合振動模型的比較[J].西南交通大學學報,2004,39(2):173-175.

[4] 陳 炎,黃小清,馬文發.車橋系統的耦合振動[J].應用數學與力學,2004,25(4):281-289.

[5] 彭 獻,劉子建.勻變速移動質量與簡支梁耦合振動系統的振動分析[J].工程力學,2006,23(6):25-29.

[6] 劉延柱,陳文良,陳立群.振動力學[M].北京:高等教育出 版社,1998.