用最小二分法進行已知兩端點及半徑圓弧測設

趙崇山

施工中常會遇到一些圓弧造型的放線工作,一般情況下,圓弧的起點、終點、半徑設計中都會給定,而掃圓弧半徑由于現場條件限制,如半徑較長、存在障礙物甚至圓心位于空中位置,直接從圓心放圓弧并不現實。這里介紹一種簡單易行的放線方法。

1 計算過程

如圖1所示:已知圓弧起點 A,B,半徑 R,AB直線距離L1為已知(或可現場內測量得知)。

其矢高為:

H1=R-sqrt(R×R-L1×L1/4)(圓心角不大于180°時)。

特殊的,H1=R+sqrt(R×R-L1×L1/4)(圓心角大于180°時)。

作 AB垂直平分線,量H1得 C11點。

則 AC11=C11B=L2,L2=sqrt(L1×L1/4+H1×H1)。

依次類推,得各最小二分點:一級點:C11;二級點:C21,C22;三級點:C31,C32,C33,C34;……i級點:Ci1,Ci2,…,Cin(n=2i-1)。 Hi=R-sqrt(R ×R-Li×Li/4)。 Li+1=sqrt(Li×Li/4+Hi×Hi)。列表1計算(可利用Excel公式計算功能)。

表1 二分法計算表

根據測設精度要求,直至:Hi+1＜δ/2(其中,δ為規范允許偏差)。

2 操作步驟

1)測設 A,B端點。2)連線 AB為1級弦,尺量 LAB/2找出弦 AB中點,以此中點用方尺垂直弦 AB量H1,得一級點 C11點。3)連接起始點及 1級點,得2級弦(有2條),尺量 L2/2找弦中點,以各中點用方尺垂直各弦量 H2,得二級點 C21,C22點。4)重復以上步驟。5)連接起始點及1級～i-1級點得 i級弦(有2i-1條),尺量 Li/2找弦中點,以各中點用方尺垂直各弦量 Hi,得i級點Ci1,Ci2,…,Cin(n=2i-1)點。6)測設點數統計見表2。7)此時,可光滑連接起始點及1級～i級各二分點[也可以直(i+1級弦)代弧連接],得到所求圓弧放樣線(見圖2)。

表2 測設點數總統計表

3 舉例

例:已知圓弧半徑R=19.67 m,起始點 A,B距離為 8 m,則各級數據計算如表3所示。

表3 各級數據計算表 mm

從表3中數據可以看出,測設點收斂至四級時,以弦代弧所得連線(5級弦)產生理論誤差應為五級時對應 H5=2 mm＜8/2=4 mm(以混凝土結構為例,建筑施工質量驗收規范允許軸線偏差為8 mm)。

表4 測設點數統計表

1)測設 A,B端點,復核 AB距離8 000 mm。2)連線 AB,尺量8 000/2=4 000 mm,找出弦 AB中點,以此中點用方尺垂直弦AB量H1=411 mm,得1級點 C11點。3)連接起始點及1級點,得2級弦(有2條),尺量4 021/2=2 010.5 mm找弦中點,以各中點用方尺垂直各弦量 H2=103 mm,得2級點 C21,C22點。4)連接起始點及1級,2級點,得3級弦(有23-1=4條),尺量2 013/2=1 006.5 mm找弦中點,以各中點用方尺垂直各弦量 H3=26 mm,得3級點 C31,C32,C33,C34點。5)連接起始點及 1級,2級,3級點,得4級弦(有 24-1=8條),尺量 1 007/2找弦中點,以各中點用方尺垂直各弦量 H4=6 mm,得4級點 C41,C42,C43,…,C48點。6)測設點數統計見表4。7)此時,光滑連接起始點及1級～4級各二分點(也可以直(5級弦)代弧連接),得到所求圓弧放樣線。

4 結語

此方法優點為:1)收斂速度快:常見建筑工程中圓弧測設,一般只需3級～5級即可達到規范要求。2)測設工具簡單:一般只需直尺、線繩即可。3)測設精度高:選擇合適的級數,即可達到要求的精度。其缺點是測設點多,且隨著級數增多,其增加測設點數成倍增長,如上例四級總點數達到15點。但由于其計算公式化,操作的簡單性,且方法通用性強,在已知兩端點及半徑的圓弧放樣工作中不失為一種值得優選的測設方法。