簡述不等式恒成立問題的幾種求解策略

●曹江誼 (蘇溪中學 浙江義烏 322000)

不等式恒成立問題是高中數學中的一類典型問題，也是歷年高考的熱點題型之一.確定不等式恒成立中參數的取值范圍，需靈活應用函數與不等式的基礎知識，并時常要在兩者間進行合理的交匯，因此此類問題屬于學習的重點.怎樣確定其取值范圍呢?課本中卻從未論及，但它已成為近年來命題測試中的常見題型，因此此類問題又屬學習的熱點.在確定恒成立不等式中參數的取值范圍時，需要在函數思想的指引下，靈活地進行代數變形、綜合地運用多科知識，方可取得較好的效益，因此此類問題的求解是學習的難點.基于此，本文試對此類問題的求解策略與方法作一提煉總結.

1 最值法

是將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：

(1)f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min;

(2)f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max.

2 分離變量法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式的2端，從而使問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數的取值范圍.這種方法的本質也還是求最值，但它的思路更清晰、操作性更強.一般有：

(1)f(x)＜g(a)(a為參數)恒成立?g(a)＞f(x)max;

(2)f(x)＞g(a)(a為參數)恒成立?g(a)＜f(x)max.

實際上，例1就可利用此法解決.

略解 x2+2x+a＞0在x∈［1，+∞)時恒成立，只要a＞-x2-2x在x∈［1，+∞)時恒成立.易求得二次函數h(x)=-x2-2x在［1，+∞)上的最大值為-3，因此a＞-3.

可知g(x)在(0，4］上為減函數，因此

得a＜0，即a的取值范圍為(-∞，0).

評注分離參數后，方向明確、思路清晰，能使問題順利得以解決.

3 變換主元法

將原先不等式的主元變換成另外一個主元，以變換后的主元為自變量構造函數，利用構造出的函數圖像與性質進行求解.

例3 對任意 a∈［-1，1］，不等式 x2+(a-4)x+4-2a＞0恒成立，求x的取值范圍.

分析題目中的不等式是關于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，則問題可轉化為一次不等式(x-2)a+x2-4x+4＞0在 a∈［-1，1］上恒成立的問題.

解令f(x)=(x-2)a+x2-4x+4，則原問題轉化為f(a)＞0在a∈［-1，1］上恒成立.

當x=2時，可得f(a)=0，不合題意;

當x≠2時，應有

故x的取值范圍為(-∞，-1)∪(3，+∞).

評注變換主元法其實是一種“反客為主”的策略：把欲求字母變量作為“客”即參數，題設中有范圍的字母變量作為“主”即自變量.

4 求導法

當不等式中出現3次以上的多項式函數、指數函數、對數函數等函數時，可考慮利用導數知識探求問題的解法.

例4 已知函數

其中a＞1，試問當k取何值時，不等式f(x)＜g(x)對任意的x∈(1，+∞)恒成立?

分析注意到logax與logxa是倒數關系，設t=logax+logxa，可對函數f(x)，g(x)的表達式進行化簡，進而將題設不等式轉化關于t的不等式，利用導數求解.

解設t=logax+logxa，則

由x∈(1，+∞)且 a＞1，可得 t≥2，因此不等式f(x)＜g(x)對任意的x∈(1，+∞)恒成立，等價于t3-kt2-k2t+2k＞0對任意t≥2恒成立.設h(t)=t3-kt2-k2t+2k，則函數 h(t)在［2，+∞)上的最小值大于0，于是

由導數知識得

當 k≥2時，h(x)min=h(k)＞0，解得 k∈φ;

當0＜k＜2時，k(x)min=h(2)＞0，解得

當 k=0時，h'(t)=3t2＞0，即 h(t)在［2，+∞)上是增函數，于是

當 -6≤k＜0時，h(x)min=h(2)＞0，解得

評注利用導數研究函數單調性、極值點情況，進而描繪出函數的大致圖像，是解決此類問題的關鍵.若情況復雜，則還需進行分類討論.

5 構建函數法

當參數難以分離而不等式是有關某個變量的一次或二次函數時，可以通過構建函數來解決.我們知道，函數概念是高中數學的一個很重要的概念，其思想和方法已滲透到數學的各個分支.在某些數學問題中，通過數式類比，構造適當的函數模型，然后利用函數的有關性質結論解題，往往能收到意想不到的效果.這里，主要介紹如何通過構造一次函數、二次函數模型，并利用它們的性質來確定參數的取值范圍.

5.1 構造一次函數

例5 若對一切|p|≤2，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實數x的取值范圍.

解原不等式可變形為

現在考慮p的一次函數：

解原不等式可變形為

令 sinθ=t，t∈［0，1］，則

評注本題對于一切|p|≤2，原不等式恒成立，因此應視p為主元，視x為參數，把不等式變成關于p的一次函數型.

5.2 構造二次函數

例6 對于

令f(t)=t2-2mt+2m+1，因此可轉化為f(t)＞0在 t∈［0，1］上恒成立，從而

評注二次函數圖像由其開口方向、頂點和對稱軸這三要素確定.當對稱軸中含有字母參量時，要先討論其與給定區間的位置關系，然后才能確定函數在給定區間上的最值.

6 基本不等式法

當不等式中涉及的字母變量較多而無法將不等式恒成立問題轉化為函數問題時，應考慮使用基本不等式求解.

分析由條件推出函數f(x)的單調性.據單調性“脫”去不等式中的“f”得到關于 x，y，a的普通不等式，利用基本不等式求a的取值范圍.

得f(x)在(0，+∞)上是減函數.因此

評注利用基本不等式求表達式的取值范圍或最值，要注意其條件：“一正、二定、三相等”是否具備.

7 數形結合法

將不等式恒成立問題轉化為函數圖像的問題處理.

圖1

評注借助函數的圖像，往往能找到簡捷、巧妙的解法.

數學的不等式恒成立問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強.這就要求我們要以變應變.在解題過程中，要根據具體的題設條件，認真觀察題目中不等式的結構特征，從不同的角度、不同的方向，加以分析探討，從而選擇適當方法快速而準確地解出.因此，系統地掌握不等式恒成立問題的解題方法，無疑會對學生今后學習及培養學生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助.