探析幾何內(nèi)涵 優(yōu)化解題方案

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(泗陽(yáng)中學(xué)高中部 江蘇泗陽(yáng) 223700)

探析幾何內(nèi)涵優(yōu)化解題方案

●劉建中

(泗陽(yáng)中學(xué)高中部 江蘇泗陽(yáng) 223700)

很多學(xué)生在解答平面解析幾何題時(shí)，由于缺乏對(duì)其幾何內(nèi)涵的深刻認(rèn)識(shí)和有效把握，而致使解題思路狹窄，運(yùn)算過(guò)程繁瑣，結(jié)果常常是“會(huì)而不對(duì)”或“對(duì)而不全”.如何準(zhǔn)確地探尋問(wèn)題的幾何背景與內(nèi)涵，使解題過(guò)程得以優(yōu)化呢？筆者根據(jù)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐結(jié)合相關(guān)問(wèn)題談?wù)剛€(gè)人的看法，供讀者參考.

1 通過(guò)幾何平臺(tái)的搭建尋求解法

例1如圖1,F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y2=4的左、右焦點(diǎn)，P為其圖像右支上的一點(diǎn)，直線l平分∠F1PF2,過(guò)點(diǎn)F1作直線l的垂線，垂足為M，試求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),延長(zhǎng)PF2，F(xiàn)1M交于點(diǎn)Q.由條件易知△PF1Q為等腰三角形，M為邊F1Q的中點(diǎn).又由O為F1F2的中點(diǎn)，得線段OM為△F1QF2的中位線，因此

所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，其方程是x2+y2=4.

評(píng)注先根據(jù)l平分∠F1PF2且l⊥F1M這一條件構(gòu)建等腰△PF1Q，再利用三角形中位線定理和雙曲線的定義，得出動(dòng)點(diǎn)M所滿足的幾何關(guān)系，從而使所求的軌跡問(wèn)題順利獲解.

圖1

圖2

2 通過(guò)幾何語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化優(yōu)化運(yùn)算

例2如圖2，△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-6，0)，B(2，0)，C(0，6)，點(diǎn)D，E是高CO的2個(gè)三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線FG∥AC,分別交AB和BC于點(diǎn)G，F(xiàn)，連結(jié)EF.

(1)求過(guò)點(diǎn)E，G，F(xiàn)的圓M的方程；

(2)在線段AC上是否存在點(diǎn)H，使得過(guò)點(diǎn)H存在與圓M相切的直線？且當(dāng)過(guò)點(diǎn)H有2條圓的切線HP，HQ(P，Q為切點(diǎn))時(shí)，求滿足∠PHQ≥90°的點(diǎn)H所對(duì)應(yīng)軌跡的長(zhǎng)度.

分析(1)根據(jù)條件，易得E(0，4),G(-2，0),F(1,3)，則

從而

EF2+FG2=EG2,

因此△EGF為直角三角形，所求圓M是以線段EG為直徑的圓,其方程為

(x-0)(x+2)+(y-4)(y-0)=0,

即

x2+y2+2x-4y=0.

圖3

即

3 通過(guò)幾何特征的把握巧妙探索

例3已知過(guò)點(diǎn)A(-1，0)的動(dòng)直線l與圓C：x2+(y-3)2=4相交于點(diǎn)P,Q，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m:x+3y+6=0相交于點(diǎn)N.

圖4

(1)求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心C.

(3)探索AM·AN的值是否與直線l的傾斜角的大小有關(guān).若無(wú)關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)當(dāng)直線l與m垂直時(shí)，l的方程為y=3(x+1),l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，即l必過(guò)圓心C.

x-uy+1=0.

由點(diǎn)到直線距離公式得

解得

故所求直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0.

(3)若l過(guò)點(diǎn)C，由第(1)小題知l⊥m.設(shè)垂足為H，則

若l不過(guò)點(diǎn)C，連結(jié)CM.由題意得CM⊥l(如圖4).易證

△AMC∽△AHN，

因此

故

AM·AN=AC·AH=5，

所以AM·AN的值與直線l的傾斜角大小無(wú)關(guān)，其值為5.

評(píng)注把握當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)C時(shí)這一特殊情形，利用相似三角形的相關(guān)知識(shí)，有效地避免了較為繁瑣的運(yùn)算，從而使探索過(guò)程輕松、順利，事半功倍.

4 通過(guò)幾何結(jié)論的運(yùn)用化難為易

例4如圖5,已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，一條準(zhǔn)線方程為l：x=2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值．

圖5

(2)設(shè)橢圓準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P，F(xiàn)N與OM的交點(diǎn)為H,連結(jié)MN.在Rt△OMN中由OM為圓的直徑，利用射影定理可得

又OM⊥FN,l⊥x軸，得點(diǎn)M，H，F(xiàn)，P共圓.由圓的割線定理可得

由式(1)，式(2)得

ON2=OF·OP=1×2=2，

kMN·kON=-1，

進(jìn)而

解析幾何和平面幾何研究的對(duì)象都是幾何問(wèn)題，區(qū)別在于研究的手段不同.在研究解析幾何問(wèn)題時(shí)，如果注意強(qiáng)化平面幾何應(yīng)用意識(shí)，合理地借助平面幾何知識(shí)，出奇制勝，那么就能順利地找到解題突破口，使問(wèn)題得以解決.