分類討論 數(shù)形結(jié)合 解題賞析
——2010年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊解題體驗(yàn)

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(溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 318000)

分類討論數(shù)形結(jié)合解題賞析——2010年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊解題體驗(yàn)

●孫海琴

(溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 318000)

2010年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊“數(shù)學(xué)史與不等式選講”考查的是含參數(shù)的絕對(duì)值不等式.作為選拔性的題目，含參數(shù)的絕對(duì)值不等式有一定的難度，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行合理地分類討論，在討論過(guò)程中運(yùn)算也很復(fù)雜.下面給出這道題的其他解法.

題目已知m∈R，解關(guān)于x的不等式:

1-x≤|x-m|≤1+x.

1 考生答題反饋

解法1等價(jià)變形去絕對(duì)值符號(hào).原不等式等價(jià)于

由式(1),得

即

(3)

x∈φ.

(4)

由式(2),得

x-m≥1-x或x-m≤x-1,

即

(5)

實(shí)際上,式(5)等價(jià)于當(dāng)m≥1時(shí)，x∈R；當(dāng)m<1時(shí)，

(6)

等價(jià)變形對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較簡(jiǎn)單的，但對(duì)式(3)、式(5)的等價(jià)變形是此題的難點(diǎn).絕大多數(shù)學(xué)生因?yàn)闊o(wú)法理解式(3)和式(5)而無(wú)法繼續(xù)完成此題.原因有2個(gè)：一是對(duì)變量參數(shù)的理解沒(méi)到位；二是沒(méi)有真正理解“且”與“或”.

解法2零點(diǎn)分區(qū)間討論去絕對(duì)值符號(hào)(參考答案的解法,此處略)，此法解題的困難同解法1.

2 巧妙解法

其實(shí)對(duì)于含參數(shù)的絕對(duì)值不等式，不應(yīng)急于去絕對(duì)值符號(hào).如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，那么不僅可以大大降低難度，而且可以變抽象為直觀，有利于學(xué)生理解.

解法3利用數(shù)形結(jié)合,分別作出函數(shù)y=1-x，y=|x-m|，y=1+x的圖像，則不等式1-x≤|x-m|≤1+x表示介于直線y=1+x下方和直線y=1-x上方之間.

圖1

圖2

當(dāng)m<-1時(shí)，不等式的解集為φ，如圖3所示.

圖3

圖4

解法4利用數(shù)形結(jié)合,不等式1-x≤|x-m|≤1+x等價(jià)于

-x≤|x-m|-1≤x，

即

||x-m|-1|≤x，

于是作出函數(shù)y=||x-m|-1|和函數(shù)y=x的圖像.

當(dāng)m-1≥0，即m≥1時(shí)，由

圖5

圖6

數(shù)形結(jié)合的方法其優(yōu)勢(shì)是讓討論變得自然，讓分類標(biāo)準(zhǔn)明確，答案簡(jiǎn)潔明了.其局限性是學(xué)生作圖能力差，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)淡薄，自行處理圖像有困難.

3 教學(xué)思考與啟示

3.1 應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)

從學(xué)生不完善的解法中可以發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)的問(wèn)題主要是學(xué)生對(duì)一些基本概念(譬如交、并)、基本技能(數(shù)形結(jié)合)沒(méi)有掌握好.在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想(如函數(shù)、空間觀念、運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合、向量、導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)觀念、算法等)要貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.熟練掌握一些基本技能，如重視運(yùn)算、作圖、推理、處理數(shù)據(jù)以及科學(xué)計(jì)算器的使用等基本技能訓(xùn)練,但應(yīng)注意避免過(guò)于繁雜和技巧性過(guò)強(qiáng)的訓(xùn)練.這些對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)都是非常重要的.

3.2 應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體的認(rèn)識(shí)

高中數(shù)學(xué)課程是以模塊和專題的形式呈現(xiàn)的.因此，在教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，例如，在教學(xué)中要注重函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系；數(shù)與形的聯(lián)系等.通過(guò)類比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.