讓探究學(xué)習(xí)與課堂教學(xué)零距離

●張 俊 (興化市第一中學(xué) 江蘇興化 225700)

新課標(biāo)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課程應(yīng)通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.在課堂上開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)、創(chuàng)新能力，已成為一個(gè)亟待解決的熱門問題.筆者認(rèn)為，精心挑選一個(gè)有發(fā)展?jié)撡|(zhì)的問題，把教學(xué)過程設(shè)計(jì)成一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過程，充分展示數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，在教師的引導(dǎo)下以學(xué)生為主體展開探究活動(dòng)是落實(shí)這一新課標(biāo)理念的一種有效方法.本文以一道幾何題為例介紹筆者在這一課題研究中的一次嘗試和體會(huì).

1 探索歷程回放

題目如圖1，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，求∠C 的大小.

此題是單元測(cè)試卷中的一道試題，看似平淡無奇，實(shí)則內(nèi)涵豐富，學(xué)生給出的解答方法也是絢爛多姿、異彩紛呈.在讓學(xué)生展示了他們各自優(yōu)美的解法后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程，去除非本質(zhì)因素，提煉出一般化結(jié)果.

探究1 在圖1中，易知

兩式相加并利用∠CDO=∠ODA，∠ABO=∠OBC，可得

由此可得命題1.

命題1 如圖1，若∠D，∠B的角平分線交于點(diǎn)O，則∠A+∠C=2∠O.

圖1

圖2

會(huì)做一道題，僅僅是給別人作了一次奴隸，怎樣從奴隸到將軍呢?就是以一道題為源頭，經(jīng)過創(chuàng)造性思考獲得與此相關(guān)的一系列問題，并能向縱深發(fā)展，得到更深層次的東西.基于以上認(rèn)識(shí)，獲得命題1后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作了如下探究.

探究2 如圖2，作∠D，∠B的角平分線得到圖1，進(jìn)而探得命題1.那么在圖2中作∠D，∠B外角平分線，又將獲得什么呢?

學(xué)生或動(dòng)手、或沉思、或討論，很快就有人得到了結(jié)果.為了便于更進(jìn)一步的誘“題”深入，筆者提示學(xué)生將此問題化歸為命題1來解決.

如圖3，設(shè)點(diǎn)P是∠D，∠B外角平分線的交點(diǎn).由鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直，得

利用四邊形內(nèi)角和為360°及命題1得

由此可得命題2.

命題2 如圖3，若∠D，∠B的外角平分線交于點(diǎn)P，則

探究3 在圖2中作∠D，∠B的外角平分線，又將獲得什么呢?

類似命題2的方法，不難得到命題3.

圖3

圖4

命題3 如圖4，若∠D，∠B的外角平分線交于點(diǎn)Q，則

化歸思想不但是數(shù)學(xué)家最強(qiáng)大的武器，也是每一個(gè)中學(xué)生應(yīng)該領(lǐng)悟并掌握的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.從上述問題的探究過程中，學(xué)生親身體驗(yàn)到了這一思想方法的巨大火力，不用千言萬語(yǔ)，化歸思想自然會(huì)成為學(xué)生今后解決問題的一種有效的工具.

探究4 如果在圖2中作∠D，∠B的三等分線，那么又將出現(xiàn)怎樣一番景象呢?

如圖5，點(diǎn) O1，O2是∠D，∠B三等分線的交點(diǎn)，易知

以上兩式相加并利用

化簡(jiǎn)可得

由此可得命題4.

命題4 如圖5，若∠D，∠B的三等分線交于點(diǎn) O1，O2，則∠A+∠C=∠O1+∠O2.

圖5

事實(shí)上，可進(jìn)一步獲得命題5.

命題5 如圖 6，若 ∠CDO1=∠O2DA，∠O1BC=∠ABO2，則∠A+∠C=∠O1+∠O2.

探究5 在圖2中作∠D，∠B外角的三等分線，設(shè)其中2個(gè)交點(diǎn)為P1，P2(如圖7)，易知

從而由四邊形內(nèi)角和為360°，得∠O1與∠P2互補(bǔ).同理可得∠O2與∠P1互補(bǔ)，故

由此可得命題6.

命題6 如圖7，若∠D，∠B外角的三等分線交于點(diǎn) P1，P2，則∠A+∠C=360°-(P1+P2).

圖7

圖8

類似命題6的探究過程可得命題7.

命題7 如圖8，若∠D的三等分線與∠B外角的三等分線交于點(diǎn)Q1，Q2，則

由一個(gè)命題得出了一個(gè)新命題，一個(gè)新命題解決了，又一個(gè)新命題誕生了…….學(xué)生體驗(yàn)著探索的樂趣，享受著發(fā)現(xiàn)的成功.這種探索式的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，遠(yuǎn)比孤立地解現(xiàn)有題目更能營(yíng)造探索、思考、交流與發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新空間，煥發(fā)他們主動(dòng)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新的欲望.

經(jīng)過以上的教學(xué)過程，筆者覺得此時(shí)放手讓學(xué)生獨(dú)自探索的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟，于是建議學(xué)生或分組合作、或自我探索，已期獲得更多的成果.

學(xué)生思維的火花一旦點(diǎn)燃，想象力和創(chuàng)造力真是無窮無限.很快，學(xué)生就紛紛拿出了自己的成果.經(jīng)筆者整理補(bǔ)充，摘錄如下.

2 學(xué)生部分成果展示

命題8 如圖9，AD，BC相交于點(diǎn)M，∠A，∠C的角平分線交于點(diǎn)O2，∠B，∠D的角平分線交于點(diǎn) O1，則∠O1+∠O2=∠DMB.

圖9

圖10

命題9 如圖10，AD，BC相交于點(diǎn) M，∠A，∠C的外角平分線交于點(diǎn)P1，∠B，∠D的外角平分線交于點(diǎn)P2，則

命題10 如圖11，AD，BC相交于點(diǎn) M，∠A，∠C的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠B，∠D的角平分線交于點(diǎn) Q2，則

命題11 如圖12，AD，BC相交于點(diǎn) M，∠A，∠C的三等分線交于點(diǎn)O3，O4，∠B，∠D的三等分線交于點(diǎn) O1，O2，則

圖11

圖12

命題12 如圖13，AD，BC相交于點(diǎn) M，∠A，∠C的角平分線交于點(diǎn)O3，∠B，∠D的三等分線交于點(diǎn) O1，O2，則

命題13 如圖14，∠B，∠D的三等分線交于點(diǎn) O1，O2，∠B，∠D 的外角平分線交于點(diǎn) P，則

∠O1+∠O2=360°-2∠P.

圖13

圖14

波利亞說過：“一個(gè)專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師，能夠拿一個(gè)有意義、但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入到一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”通過本案例可以發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中，教師如果能科學(xué)、合理地運(yùn)用這種“有意義，但又不復(fù)雜”的問題展開教學(xué)，充分發(fā)揮其潛在的教育功能，那么對(duì)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，開發(fā)智力，提升思維品質(zhì)，逐步培養(yǎng)探究氣質(zhì)和研究能力都是大有裨益的.