利用均值不等式證明輪換不等式

●周 江 (康定中學(xué) 四川康定 626000)

輪換不等式的證明方法很多，技巧性也很強(qiáng).下面例舉一種“湊”的方法，即根據(jù)輪換不等式取等的條件是相等.只要領(lǐng)悟“湊”的技巧，這類不等式完全可以程序化證明.

同理可得

兩式相加得

結(jié)合 a+b=1，得

同理可得

結(jié)合 a+b=1，得

變式1 在△ABC中，角A，B，C滿足cos2A+cos2B+cos2C=1，求證：

分析cos2A+cos2B+cos2C=1等價(jià)于

要使不等式成立，必須滿足

變式2 設(shè) x1，x2，…，xn是正數(shù)，且 x1+x2+…+xn=1，求證：

變式3 已知si＞ 0(i=1，2，…，n)，s1+s2+… +sn=A，證明：

變式2 已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：

例4 證明不等式：

證明設(shè)a1+a2+… +an=a，則