線性條件下的非線性最值問題研究

●張士琴 (匯龍中學 江蘇啟東 226200)

線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下最大值或最小值的問題.然而在近幾年全國各地的數學高考試卷中，在線性約束條件下求非線性的最值問題已屢見不鮮.該類問題難度較大、解法靈活，是學習上的難點.本文結合近幾年的數學高考試題以幾個常見的最值問題為例，探求在線性約束條件下的非線性最值問題的求解策略.

A.(1，3］ B.［2，3］

C.(1，2］ D.［3，+∞)

(2010年北京市數學高考試題)

評注本題是線性約束條件下指數函數的最值問題.其解題的一般策略是先作出可行域，再結合指數函數的圖像，觀察圖像得出結果.

圖1

圖2

所表示的平面區域是 Ω1，平面區域 Ω2與 Ω1關于直線3x-4y-9=0對稱，對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B，|AB|的最小值等于 ( )

(2010年福建省數學高考試題)

評注本題是2個對稱可行性區域中兩點之間距離的最值問題.解決這一問題的關鍵是將|AB|的最小值轉化為Ω1中任意點A到直線3x-4y-9=0的距離的最小值，從而使問題得以解決.

例3 實系數一元二次方程x2+ax+2b=0有2個實根，一個根在區間(0，1)內，另一個根在區間(1，2)內.

(1)求點(a，b)對應的區域的面積;

圖3

(3)求(a-1)2+(b-2)2的值域.

解設f(x)=x2+ax+2b，方程x2+ax+2b=0的2個根在區間(0，1)和(1，2)內的條件是

在直角坐標系內作出不等式組表示的可行性平面區域(如圖 3)，并解出點 A(-3，1)，B(-2，0)，C(-1，0).

(3)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義是可行性平面區域內的任意一點P(a，b)與定點D(1，2)之間距離的平方.過點D與AC垂直的直線方程為b-2=2(a-1)，即 2a-b=0.由

所以由圖可知

即(a-1)2+(b-2)2的值域為(8，17).

評注本題是線性約束條件下的分式函數和二元二次函數的最值問題.解決這類問題的關鍵是理解分式函數的幾何意義是直線的斜率，二元二次函數的幾何意義是兩點間距離的平方，由數形結合思想解決問題.

例4 設函數f(x)=x3+3bx2+3cx的2個極值點為 x1，x2，且 x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］.

(1)求b，c滿足的約束條件，并在圖4的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點(b，c)的區域;

(2009年全國數學高考試題)

分析(1)f'(x)=3x2+6bx+3c.由題意知方程 f'(x)=0 有2 個根 x1，x2且 x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］，則

因此可在直角坐標系內作出b，c所滿足的約束條件下的可行域(如圖5中的陰影部分).

圖4

圖5

(2)由題意知

由圖5 可知 c∈［-2，0］，因此

從而 f(x2)在［1，2］上單調遞減，得

又因為 c∈［-2，0］，所以

評注本題是線性約束條件下的三次函數的最值問題，對于高次(三次或三次以上)函數的最值，一般可通過導數知識來解決.