具有轉向點的奇攝動二階擬線性邊值問題

許國安，余贊平

（1.華僑大學數學科學學院，福建泉州362021；2.福建師范大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350007）

具有轉向點的奇攝動二階擬線性邊值問題

許國安1，余贊平2

（1.華僑大學數學科學學院，福建泉州362021；2.福建師范大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350007）

研究具有轉向點的奇攝動二階擬線性邊值問題.在缺乏弱穩定的條件下，考慮具有轉向點的二階擬線性邊值問題，利用經典的上、下解方法，證明邊值問題解的存在性，并給出了解的一致有效估計.

轉向點；邊值問題；奇攝動；二階擬線性

轉向點問題是奇攝動理論的重要內容，在量子力學、流體力學、光的傳播，以及化學反應等物理、化學現象中廣泛出現［1-2］.許多學者對此問題做了大量研究［3-7］，而這些工作都是在假設弱穩定條件下完成的.本文在缺乏弱穩定的條件下，考慮了具有轉向點的二階擬線性邊值問題.

1 基本假設

主要考慮的邊值問題為

對于邊值問題（1），（2），作如下3點假設.

（H1）退化問題

分別存在解u1=u1（t）∈C2［a，t0］與u2=u2（t）∈C2［t0，b］，t0∈（a，b）.

假設，有

然后，再預設區域有

其中：d1（t），d2（t）為正的連續函數；δ≤d1（t），d2（t）≤|u2（t0）-u1（t0）|+δ，并且有

其中：δ為適當小的正數.

（H2）設f（t，y），g（t，y）在D1∪D2上充分光滑.

（H3）設t=t0為邊值問題（1），（2）的m階轉向點，有

可以對轉向點的階數作拓廣，即

在拓廣意義下，研究轉向點問題.為了描述的方便，作如下定義.

定義1 函數u（t）在［a，b］中是（Ⅰq）穩定的，如果存在正常數k，使得h（t，u（t））≡0，a≤t≤b，0≤j≤2q，且在D1∪D2上h（t，y）≥k＞0.其中：當t∈［a，t0］，h（t，y）=f（t，y）u′1（t）+g（t，y），當t∈［t0，b］，h（t，y）=f（t，y）u′2（t）+g（t，y）.

定義2 函數u（t）在［a，b］中是（Ⅱn）穩定的，若u（a）≤A，u（b）≤B，且存在一個正數k，使得h（t，u（t））≥0.當a≤t≤b，1≤j≤n-1，且在中，h（t，y）≥k＞0.其中：=｛（t，y）|a≤t≤b，0≤y-u（t）≤δ｝.

定義3 函數u（t）在［a，b］中是（Ⅲn）穩定的，如果u（a）≥A，u（b）≥B，而且存在一個正數k，使得（je）h（t，u（t））≥0（≤0）.當a≤t≤b，1≤j0，je≤n-1，且在中，h（t，y）≤-k＜0（≥k＞0）.其中：j0（je）表示一個奇（偶）整數.若n是偶（奇）整數，=｛（t，y）|a≤t≤b，-δ≤y-u（t）≤0｝.

2 主要結果

引理1 如果假設H1，H2成立，而且退化軌道u（t）在［a，b］中是（Ⅰq）或（Ⅱn），（Ⅲn）穩定的，則有u1（t0）=u2（t0）.

證明 不妨設退化軌道是（Ⅱn）穩定的（另兩種穩定情形的證明類似）.

令h（t，y）=f（t，y）u′（t）+g（t，y）.假設u1（t0）≠u2（t0），u1（t0）＜u2（t0），則有

這與f（t0，u1（t0））u′1（t0）+g（t0，u1（t0））-f（t0，u2（t0）u′2（t0））-g（t0，u2（t0））=0矛盾.

同理可證，當u1（t0）＞u2（t0）時，也存在矛盾，故假設不成立.即u1（t0）=u2（t0）.

由引理1的結論可知，在假設穩定的條件下，滿足左右邊界的退化解在轉向點處一定是相連的，即退化軌道是連續的.

定理1若假設H1，H2，H3成立，且退化軌道u（t）是（Ⅰ0）穩定的.則存在ε0＞0，使得對于0＜ε≤ε0時，邊值問題（1），（2）存在解y=y（t，ε），并滿足

|y（t，ε）-u（t）|≤v1（t，ε）+εcp.

證明 不妨假定u′1（t0）≤u′2（t0），對于t∈［a，b］和ε＞0，定義

其中：c1為某一充分大的正數；r≥|u″0|.

上式中：ξ介于u（t）與α（t，ε）之間；t∈［a，t0）∪（t0，b］.

至于β，注意到v1是εv″=kv在（a，t0）∪（t0，b）中的解，滿足

且

其中：K為某一適當大的正數.

α，β分別是邊值問題（1），（2）的下解與上解.故由二階微分方程微分不等式理論［6］可知，邊值問題（1），（2）存在解y=y（t，ε）滿足

|y（t，ε）-u（t）|≤v1（t，ε）+εcp.

當0＜n＜2時，p=m/2；而當m≥2時，p=1.

定理2 假設H1，H2，H3成立，且退化軌道u（t）是（Ⅰq）（q≥1）穩定的.當轉向點的階數m＞1+1/q時，存在ε0＞0，使得對于0＜ε≤ε0時，邊值問題（1），（2）存在解y=y（t，ε），滿足

證明 類似于定理1的證明.假定u′1（t0）≤u′2（t0）.對于t∈［a，b］和ε＞0，定義

類似于定理1，α在t=t0點不一定可微，但有，且

且

因此，β在t0點可微，且有

α，β分別是邊值問題（1），（2）的下、上解.由二階微分方程微分不等式理論［6］可知，邊值問題（1），（2）存在解y=y（t，ε），滿足

若退化軌道u（t）是Ⅱn或Ⅲn穩定時.

以上討論，對Robin邊值問題

同樣也是有效的，且可得到類似的結論.

3 例子

如邊值問題

易求得退化問題

式（4），（5）分別存在解u1=-t與u2=t，且u1（0）=u2（0）=0，u′1（0-）=-1≠u′2（0+）=1.

|y（t，ε）-|t||≤v1（t，ε）+εcp.

［1］NAYFEH A H.Perturbation methods［M］.New York：Wiley，1973.

［2］O’MALL EY R E Jr.Introduction to singular perturbations［M］.New York：Academic Press，1974.

［3］周軟德.具有轉向點的奇攝動邊值問題［J］.東北數學，1986，2（1）：100-110.

［4］蔡建平，林宗池.具有轉向點的三階半線性奇攝動邊值問題解的存在性［J］.應用數學和力學，1993，14（12）：1035-1039.

［5］吳欽寬，張祥.具有轉向點的奇攝動非線性邊值問題解的一致有效估計［J］.應用數學，1995，8（2）：231-238.

［6］章國華，侯斯FA.非線性奇異攝動現象：理論和應用［M］.福州：福建科學技術出版社，1989：6-15，28-31.

［7］吳欽寬.一類奇攝動非線性邊值問題激波解的間接匹配［J］.華僑大學學報：自然科學版，2006，27（2）：123-125.

Singular Perturbation of Second Order Quasilinear Boundary Value Problem with Turning Point

XU Guo-an1，YU Zan-ping2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.School of Mathematics and Computer Science，Fujian Normal University，Fuzhou 350007，China）

In this paper，we study the singularly perturbation of second order quasilinear boundary value problem with turning point.Under the lost of weakness stability，using the method of upper and lower solution，we prove the existence of solutions and get the uniformly valid asymptotic estimation of solutions.

turning point；boundary value problem；singular perturbation；seand order quasilinear

O 175.1

A

1000-5013（2010）03-0346-05

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2009-05-19

許國安（1981-），男，講師，主要從事微分方程奇異攝動理論的研究.E-mail：xga99163@163.com.

國務院僑辦科研基金資助項目（07QZR09，09QZR10）