t-結構與心的Recollement

林增強

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

t-結構與心的Recollement

林增強

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

設三角范疇D允許有關于三角范疇D′和D″的Recollement，給出D中t-結構能夠誘導D′和D″的t-結構的充分必要條件.證明在一定條件下，D中t-結構的心允許有關于D′和D″的t-結構的心的Recollement，從而由已知三角范疇的Recollement構造若干Abel范疇的Recollement.

三角范疇；t-結構；心；Recollement

1963年，Verdier提出了三角范疇的概念及其局部化理論［1］，從此，三角范疇理論成為代數表示論的研究熱點之一.1982年，Beilinson等［2］在研究奇異空間和Perverse Sheaves時，引入了三角范疇Recollement的概念，并將Abel范疇中復形的截短概念一般化.他們在三角范疇D中引入了t-結構（D≤0，D≥0）的概念，并證明了t-結構的心D≤0∩D≥0是一個Abel范疇，函子D→D≤0∩D≥0是一個上同調函子［2］.因此，三角范疇的t-結構提供了研究三角范疇的Abel子范疇的工具.t-結構在許多數學分支起著重要的作用，如Perverse Sheaves，以及傾斜理論和交換代數等［2-5］.三角范疇的Recollement與t-結構關系密切.一方面，因為t-結構的概念類似于Abel范疇的撓理論［6-7］，對三角范疇的Recollement的研究可以歸結為t-結構三元組的研究［8］.另一方面，若三角范疇D允許有關于三角范疇D′和D″的Recollement，則D′的t-結構和D″的t-結構可以誘導D的t-結構［2］.本文研究D的t-結構能夠誘導D′的t-結構和D″的t-結構的充分必要條件，并利用t-結構這個工具，由已知的三角范疇的Recollement構造了若干Abel范疇的Recollement.

1 t-結構

定義1［2］假設D是三角范疇，（D≤0，D≥0）是D的嚴格滿子范疇對.對于任意的n∈Z，記D≤n=T-n（D≤0），D≥n=T-n（D≥0）.如果滿足下列3個條件：

（T1）D≤0?D≥1，D≥0?D≥1；

（T2）對任意的X∈D≤0，Y∈D≥1，HomD（X，Y）=0；

（T3）對D中任意對象X，存在三角A→X→B→TX.其中：A∈D≤0；B∈D≥1.

則稱（D≤0，D≥0）是D的t-結構，D≤0∩D≥0為t-結構（D≤0，D≥0）的心.

例1 設A是Abel范疇，D=Db（A）.記

D≤0=｛X∈D|Hn（X）=0，對任意n＞0｝，

D≥0=｛X∈D|Hn（X）=0，對任意n＜0｝，

則（D≤0，D≥0）是一個t-結構，稱為導出范疇Db（A）的標準t-結構，其心是Abel范疇A.

t-結構有如下常用的基本性質.

引理1［2］設A是三角范疇D的t-結構（D≤0，D≥0）的心，則對任意的n∈Z，有

（1）（D≤0）⊥=D≥1，⊥（D≥1）=D≤0；

［2］BEILINSON A A，BERNSTEIN J，DELIGNE P.Faisceaux pervers［J］.Analyse Et Topologie Sur Les Espaces Singuliers，1982，100：1-172.

［3］KASHIWARA M，SHAPIRA P.Sheaves on manifolds［M］.Berlin：Springer-Verlag，1990.

［4］KELLER B，VOSSIECK D.Aisles in derived categories［J］.Bull Soc Math Belg，1988，40（2）：239-253.

［5］HAPPEL D，REITEN I，SMALO O.Tilting in abelian categories and quasitilted algebras［M］.Providence：Amer Math Soc，1996.

［6］DICKSON S E.A torsion theory for abelian categories［J］.Trans Amer Math Soc，1966，121（1）：223-235.

［7］BELIGIANNIS A，REITEN I.Homological and homotopical aspects of torsion theories［M］.Providence：Amer Math Soc，2007.

［8］MIYACHI J.Localization of triangulated categories and derived categories［J］.J Algebra，1991，141：463-483.

t-Structure and Recollement of Hearts

LIN Zeng-qiang
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Let D，D′and D″be triangulated categories.Suppose D admits a Recollement relative to D′and D″.We give some necessary and sufficient criterions for at-structrue on D inducingt-structures on D′and D″.Moreover，we take the advantage of the relationship between a t-structure on D andt-structures on D′and D″to show that the heart of the t-structure on D admits a Recollement relative to the other two hearts.Thus，we get a few Recollements of abelian categories according to a Recollement of triangulated categories.

triangulated category；t-structure；heart；Recollement

O 154.1

A

1000-5013（2010）03-0356-05

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-12-20

林增強（1980-），男，講師，主要從事代數表示論的研究.E-mail：lzq134@163.com.

華僑大學高層次人才科研啟動項目（08BS506）