CFRP布加固混凝土梁裂縫寬度計算方法

譚 軍，鄭文忠，王 英

(1.哈爾濱工業(yè)大學土木工程學院，哈爾濱150090，hitwzzheng@163.com;2.中國建筑科學研究院，北京100013)

試驗證明，混凝土受彎構件底部粘貼CFRP布，不僅可提高抗彎承載力，還可有效減小其彎曲裂縫的間距和寬度，改善其正常使用階段性能［1-3］.目前，針對用CFRP布加固梁受彎承載能力的研究較多，而對其裂縫間距和裂縫寬度計算方法的研究較少［4-5］，我國2003年頒布的《碳纖維片材加固修復混凝土結構技術規(guī)程》(CECS 146:2003)也未對此進行規(guī)定.

莊江波等［6］對CFRP布加固混凝土梁的裂縫寬度計算方法進行了研究，根據傳統(tǒng)的鋼筋混凝土裂縫寬度計算理論，提出了與《混凝土結構設計規(guī)范》(GB 50001 2002)(簡稱《規(guī)范》)中普通鋼筋混凝土梁裂縫寬度計算方法形式相近的裂縫間距和裂縫寬度計算公式(見式(1)和式(2)).該方法在計算平均裂縫間距時，考慮了受拉CFRP布的影響，在計算受拉鋼筋有效配筋率時，將受拉鋼筋面積用(As+Acf)代替;在計算平均裂縫寬度時，調整了鋼筋應力不均勻系數的計算公式，引入了CFRP布的影響項.該方法計算簡便，適用于設計驗算.

式中:c為最外層縱向受拉鋼筋外邊緣至受拉區(qū)底邊的距離(mm);ρte為受拉鋼筋有效配筋率，ρte=(As+Acf)/Ac，Ac=0.5bh+(bf-b)hf;d為受拉鋼筋直徑;σs為裂縫截面鋼筋應力;Es為鋼筋彈性模量;ψ為鋼筋應力不均勻系數，ψ=1.1-0.65ft/［σsρte(1+0.415Acf/(As+Acf))］.

本文一方面基于粘結-滑移理論，對CFRP布加固混凝土梁的裂縫間距和寬度公式進行推導，提出了適用于計算CFRP布加固鋼筋混凝土梁和有粘結預應力混凝土梁裂縫寬度的理論計算方法，另一方面又按照傳統(tǒng)鋼筋混凝土結構裂縫分析思路，在平均裂縫寬度lm計算公式中引入CFRP布和有粘結預應力筋影響項，在裂縫寬度wm計算公式和鋼筋應力不均勻系數ψ的計算公式中引入考慮CFRP布和有粘結預應力筋作用的影響系數δf，并給出相應半理論半經驗公式.經計算，上述兩種分析方法的計算結果與試驗結果吻合較好.

1 理論分析方法

基本假定:

1)鋼筋材料采用理想彈塑性模型［7］.

2)受壓混凝土的應力-應變關系如圖1所示.開裂前，受拉混凝土應力-應變關系保持為線性;開裂后，認為混凝土完全退出工作.取受拉混凝土的彈性模量=Ec/2，Ec為受壓混凝土的彈性模量.

3)CFRP布的應力-應變關系為σcf=Ecfεcf.CFRP布與梁底混凝土之間的粘結滑移關系采用陸新征［8］所提出的雙線性簡化模型

式中:τcf為粘結強度，τcf=1.5 βwft;s0為與τcf對應的滑移值，s0=0.019 5 βwft;sf為粘結應力退化為0的滑移值;βw為CFRP-混凝土寬度影響系數

圖1 受壓混凝土應力-應變關系

4)如圖2所示，在純彎段，開裂截面為1-1，兩條相鄰裂縫之間的中心截面為0-0，開裂截面與中心截面間距為l.在0-0截面，CFRP布應變εcf(0)與梁底混凝土應變εct(0)相等，二者界面粘結應力τcf(0)=0，混凝土達到最大拉應力;在1-1截面，混凝土的拉應力完全釋放σct(l)=0，混凝土退出工作，而CFRP布的拉應力達到最大值σcf(l)=σcf，max，界面粘結應力也達到最大值τcf(l)=τcf，max.沿x方向，0-0截面與1-1截面間各截面的混凝土應變εct(x)逐漸減小，即εct＜0，CFRP布應變εcf(x)和受拉鋼筋應變εs(x)逐漸增大，即εcf＞0，εs＞0.

圖2 純彎段兩條相鄰裂縫計算模型

本文以CFRP加固有粘結預應力混凝土梁為例，進行理論推導.借鑒文獻［9］的分析思路，首先建立加固梁開裂截面1-1與相鄰即將開裂截面0-0之間任意微元的力平衡方程N(x)，然后分析CFRP布與梁底混凝土粘結應力的變化規(guī)律.

1.1 粘結應力分析

如圖3所示，取開裂截面1-1與相鄰即將開裂截面0-0之間任意微元為研究對象，建立力平衡方程:

式中:σs為非預應力受拉鋼筋應力增量;σcf為CFRP布應力增量;σp為預應力筋應力增量ct為受拉混凝土平均應力增量;As為非預應力受拉鋼筋截面面積;Acf為CFRP布計算截面面積;Ap為預應力筋截面面積;Act為受拉混凝土截面面積.

考慮到應變增量很微小，由平截面假定和圖4所示幾何關系可得到

式中:χ=(h0-y)/(h-y)，ζ=(hp-y)/(h-y)，y為中性軸到梁頂面的距離;Es為非預應力受拉鋼筋彈性模量;Ecf為CFRP布彈性模量;Ep為預應力筋的彈性模量.

圖3 微元體的力平衡條件

圖4 幾何關系

根據受拉混凝土應力應變關系可得

式中:Δσct為受拉區(qū)邊緣混凝土的應力增量;εct為受拉區(qū)邊緣混凝土的應變增量.

根據假定(2)，E′ct取為Ec/2.將式(4)～(6)帶入式(3)，移項化簡后得

式中:θcf=1.33Acf/Act;θs=1.33As/Act;θp=1.33Ap/Act.

CFRP布與梁底混凝土之間的粘結應力如圖5(c)所示.對于長度為x的微元體，由粘結層傳遞給CFRP布的粘結應力τcf(x)有如下關系:

式中tcf為CFRP布的計算厚度.

圖5 粘結應力

根據假定(4)中的粘結-滑移關系，考慮到裂縫開展的過程中，粘結應力τcf(x)的發(fā)展為單調增加，因此僅應用雙折線模型的上升段.將τcf和s0的計算結果代入粘結應力公式，得

式(10)等號兩邊對x求導，整理后得

式(11)等號兩邊同時對x求導，得

將式(7)和(9)代入式(12)，簡化后得

令 μ=(θcf+θsχEs/Ecf+θpζEp/Ecf)，則

根據已知的邊界條件，解上述二階微分方程，最終得到CFRP布與梁底混凝土之間的粘結應力為

2.2 裂縫間距分析

同樣，基于粘結-滑移理論對裂縫開展情況進行分析.將式(14)代入式(9)，積分得

式(7)等號兩邊同時除以dx，積分得

由邊界條件 σcf(l)=Ecfεcf，max，σct(l)=0，計算得到實常數C1和C2，代入式(15)整理后得

根據假定(4)，圖2中截面0-0，x=0，CFRP布與梁底混凝土之間相對滑移為零，二者應變相同，混凝土拉應力最大，則有

在兩相鄰裂縫之間若不出現新裂縫，則在兩相鄰裂縫之間的任意截面應滿足σct(0)＜ft，整理后得

取最大裂縫間距l(xiāng)max=2l.

2.3 裂縫寬度分析

梁底混凝土的裂縫寬度可表示為梁底面裂縫間距范圍內CFRP布與梁底混凝土應變差的積分.則最大裂縫寬度為

將式(11)和式(14)代入式(20)，得到短期荷載作用下，混凝土最大裂縫寬度為

按《混凝土結構設計規(guī)范》(GB 50001 2002)(簡稱《規(guī)范》)規(guī)定，將長期荷載下裂縫寬度擴大系數暫取為1.5，則可得到CFRP加固混凝土梁按荷載效應標準組合并考慮長期作用影響的最大裂縫寬度.

由于無粘結梁應變沿梁高變化不符合平截面假定，其預應力筋的應力增量計算參照文獻［10］.將上述各式預應力項去除，即為鋼筋混凝土梁裂縫計算方法.

2 實用計算方法

2.1 裂縫間距

按傳統(tǒng)鋼筋混凝土結構裂縫分析方法進行分析，分別考慮受拉非預應力鋼筋、預應力鋼筋和CFRP布對裂縫開展的約束作用.

圖6中σp為開裂截面處的預應力筋應力;σs為非預應力筋應力;σcf為CFRP布應力;即將開裂截面的應力增量分別為Δσp、Δσs、Δσcf;τp為預應力筋與混凝土之間的粘結強度;τs為非預應力筋與混凝土之間的粘結強度;τcf為CFRP布與梁底混凝土之間的粘結強度.

對圖6(a)所示的預應力筋隔離體有

對圖6(b)所示的非預應力受拉鋼筋隔離體有

對圖6(c)所示的CFRP布隔離體有

式中:up為預應力筋束的周長;us為鋼筋的周長;bcf為CFRP布的粘貼寬度.

混凝土截面開裂彎矩Mcr=Aftkηch，根據彎矩平衡條件:

令ΔMc，s/ΔMc，cf=α，ΔMc，p/ΔMc，cf=β，則有

將式(23)～(28)整理后可得

式中:K1=α/(4τsηsh0)，K2=β/(4τpηphp)，K3=1/(τcfηcfh)，K4=ftkηch/(1+α+β)，ηsh0，ηphp，ηcfh，ηch分別為非預應力筋、預應力筋、CFRP布、有效受拉混凝土形心與截面受壓區(qū)合力作用點之間的內力臂;按有效受拉混凝土截面面積計算的配筋率ρs=As/A，ρp=Ap/A，ρcf=Acf/A，A為有效受拉混凝土截面面積，取A=0.5bh+(bf-b)hf;ds為非預應力鋼筋直徑，ds為預應力筋束直徑，tcf為CFRP布厚度，ftk為混凝土軸心抗拉強度標準值.

考慮混凝土保護層厚度及鋼筋間距對裂縫間距的影響，平均裂縫間距可表示為

文獻［11］指出，試驗及理論分析表明，在使用荷載下M≈(0.6～0.8)Mu，梁處于受力的第Ⅱ階段，截面的相對受壓區(qū)高度ξ=x/h0變化很小.筆者采用數值迭代方法對CFRP布加固預應力混凝土梁進行了正截面承載力仿真分析，并得到了與文獻［11］相同的結論.同時文獻［6］指出，針對不同的混凝土強度、截面尺寸、加固量和配筋率進行了大量計算分析，結果表明，內力臂系數η和εcf/εs的變化范圍不大，可取為常數.

可見，在受壓邊緣混凝土達到極限壓應變之前，混凝土受壓區(qū)高度y變化很小，故取正常使用極限狀態(tài)的彎矩值Mk所對應的混凝土受壓區(qū)高度y來計算系數χ和ζ，并認為加固梁的內力臂系數ηc，ηs，ηp，ηcf保持不變.

文獻［12］考慮了箍筋的有利影響，提出鋼筋與混凝土平均粘結強度τs的理論計算公式.筆者將15個拉拔試件的計算結果與試驗結果進行比較，發(fā)現該公式計算結果與試驗結果誤差的均值為0.23，標準差為0.028.因此提出用系數ν=1.23對原式加以修正，修正后的計算公式為

通過對文獻［13］中試驗數據的分析可知，φp15有粘結預應力鋼絞線與混凝土的粘結強度τp較等直徑變形鋼筋的粘結強度τs小很多，而且因預應力孔道成型工藝、預應力鋼絞線在孔道內的偏心程度、預應力鋼絞線根數不同，存在較大差異.因此筆者提出，對與φp15有粘結預應力鋼絞線直徑相仿的直徑d=16 mm變形鋼筋與混凝土的粘結強度τsd16進行適當折減，來獲得φp15有粘結預應力鋼絞線與混凝土粘結強度τp的分析思路，其計算公式為

式中κ為折減系數，取值如表1所示.因試驗數據有限，n=1，4所對應折減系數值是根據試驗結果回歸得到的，其它均為線性插值所得.該部分內容尚需開展更多試驗工作加以完善.

對文獻［8］中碳纖維布與混凝土之間的粘結強度計算公式進行整理，可得

2.2 裂縫寬度

建立正常使用階段CFRP加固預應力混凝土梁裂縫截面的彎矩平衡方程:

表1 折減系數

根據平截面假定可得

CFRP布加固預應力混凝土梁的短期平均裂縫寬度可取為平均裂縫間距范圍內鋼筋與混凝土平均受拉伸長之差，因此可按《規(guī)范》裂縫寬度的公式計算:

短期荷載下，最大裂縫寬度與平均裂縫寬度相比，需要引入一個裂縫擴大系數，仍沿用未加固混凝土梁的統(tǒng)計結果，取1.66，則

式中受彎構件αcr=1.66×0.85=1.41.考慮荷載長期作用影響時，還應引入長期作用影響系數1.5.ψ為受拉鋼筋應變不均勻系數，根據其定義，可取文獻［12］給出的經驗公式

考慮到混凝土收縮對Mc的影響，取降低系數為0.8，則Mc為

式中σpc為預加力在抗裂驗算邊緣產生的混凝土預壓應力.

整理后得到ψ為

3 數據對比

在有限的數據資料中，挑選21根CFRP布加固混凝土梁的試驗結果，與采用本文兩種裂縫分析方法計算所得結果進行比較.裂縫間距對比結果見表2，裂縫寬度對比結果見表3.

表2 裂縫間距對比mm

表3 裂縫寬度對比mm

由表2對比結果可知，根據本文理論分析方法和實用方法所得裂縫間距計算值與試驗實測結果相差不大.經計算，按本文理論分析方法所得裂縫間距計算值與實測值之比的平均值為0.950，標準差為0.140;按本文實用方法所得裂縫間距計算值與實測值之比的平均值為0.955，標準差為0.196.

由表3對比結果可知，根據本文理論分析方法和實用方法所得裂縫寬度計算值與試驗實測結果相差不大.經計算，按本文理論分析方法所得裂縫寬度計算值與實測值之比的平均值為0.841，標準差為0.144;按本文實用方法所得裂縫寬度計算值與實測值之比的平均值為0.908，標準差為0.248.

4 結語

基于粘結-滑移理論提出的CFRP布加固混凝土梁裂縫寬度理論分析方法和按照傳統(tǒng)鋼筋混凝土結構裂縫分析思路建立的實用分析方法，均較直觀的反映CFRP布對裂縫開展的影響，且計算結果與試驗結果吻合較好.實用計算方法計算相對簡便，可用于工程設計.

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