曲線系方程的應(yīng)用反思與課堂生成資源的利用*

方雷

(楚雄第一中學(xué)，云南 楚雄 675000)

曲線系方程的應(yīng)用反思與課堂生成資源的利用*

方雷

(楚雄第一中學(xué)，云南 楚雄 675000)

在課堂教學(xué)中，抓住課堂生成資源，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生從提出問題到探索結(jié)論的過程中，獲得自主學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和成功的快樂，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。經(jīng)驗(yàn)型和專家型的教師更要重新審視自己已經(jīng)熟悉甚至麻木的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)可能產(chǎn)生課堂生成資源的內(nèi)容做必要的引導(dǎo)和啟發(fā)，并對(duì)已經(jīng)產(chǎn)生或者可能產(chǎn)生的課堂生成資源，提出了教師應(yīng)有的知識(shí)準(zhǔn)備和策略預(yù)設(shè)。

教學(xué)反思;自主探究;課堂生成資源;策略預(yù)設(shè)

0.引言

人教版高中數(shù)學(xué)(必修)第二冊(cè)(上)復(fù)習(xí)參考題七B組第四題有以下結(jié)論:兩條曲線的方程是C1:f1(x，y)=0和C2:f2(x，y)=0，它們的交點(diǎn)是P(x0，y0)，求證方程f1(x，y)+λf2(x，y)=0的曲線C也經(jīng)過點(diǎn)P(λ是任意實(shí)數(shù))。

以上結(jié)論在很多教輔資料中都有收錄，并被廣泛應(yīng)用于解決直線系和圓系的問題。在教學(xué)中，我也會(huì)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候介紹該結(jié)論，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用該結(jié)論解決相關(guān)問題，但多年來也僅僅停留在模仿應(yīng)用的層面，未作深入的研究。

1.正文

2009年12月7日，在我所教的理科實(shí)驗(yàn)班的一節(jié)復(fù)習(xí)課上，我復(fù)習(xí)了這一結(jié)論。在對(duì)結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單證明之后，一名學(xué)生提出了以下問題:“已知曲線C1:f1(x，y)=0和C2:f2(x，y)=0，當(dāng)曲線C1和C2無公共點(diǎn)時(shí)，方程f(x，y)+λf2(x，y)=0(λ是任意實(shí)數(shù))的曲線C與曲線C1、C2有何關(guān)系?”面對(duì)這一突如其來的問題，我意識(shí)到這是一個(gè)鼓勵(lì)學(xué)生自主探究的極好切入點(diǎn)。于是，我先讓學(xué)生憑直覺或經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)這一問題的結(jié)果。課堂經(jīng)過短暫的沉默之后，有學(xué)生說:這樣的方程不表示任何曲線;而有的則說如果該方程能表示一條曲線，則這條曲線和C1、C2都相交;也有人說如果該方程能表示一條曲線，則這條曲線和C1、C2都不相交。在這一過程中，我讓學(xué)生充分發(fā)揮其想象力，不對(duì)他們的猜想進(jìn)行評(píng)論，只對(duì)學(xué)生的猜測(cè)進(jìn)行規(guī)范化的表達(dá)和復(fù)述。為了降低問題的難度，讓學(xué)生對(duì)問題的理解更具體，在學(xué)生充分發(fā)表意見之后，我建議學(xué)生從C1:f1(x，y)=0和C2:f2(x，y)=0都表示圓或者都表示直線且λ=±1的特殊情況入手，先用特例進(jìn)行探究檢驗(yàn)，再?gòu)乃鶕碛械慕梯o資料中查找相關(guān)的題目作為例證，并鼓勵(lì)學(xué)生盡量從理論上對(duì)自己的結(jié)論進(jìn)行論證。課下，我進(jìn)行了思考，同時(shí)關(guān)注學(xué)生的探究過程，兩天后，學(xué)生得出了以下一組結(jié)果或例證:

(1)對(duì)于直線C1:Ax+By+C1=0和C2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)，則當(dāng)λ≠－1時(shí)，方程Ax+By+C1+λ(Ax+By+C2)=0表示與C1、C2平行的直線，且該直線分C1、C2間的垂線段(有向線段)的比為λ;當(dāng)λ=－1時(shí)，方程Ax+By+C1+λ(Ax+By+C2)=0不表示任何曲線。

(2)對(duì)于圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(C1、C2無公共點(diǎn))，則方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0不表示任何曲線或所表示的曲線與C1、C2也沒有公共點(diǎn)。

例如:對(duì)于曲線C1:x2+y2－1=0與C2:x2+y2－4=0，當(dāng)λ=1時(shí)，方程方程f1(x，y)，所表示的曲線與C1、C2都沒有公共點(diǎn);λ=－1時(shí)，方程f1(x，y)+λf2(x，y)=0不表示任何曲線(僅為學(xué)生所舉例證，該結(jié)論不具備一般性)。

(3)對(duì)于圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，當(dāng)C1、C2相切時(shí)，則方程x2+y2+D1x+E1y+F1－(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示過切點(diǎn)的公切線。

例如C1:x2+(y－4)2－36=0與C2:(x－3)2+y2－1=0，當(dāng)λ=－1時(shí)，方程f(x，y) +λf2(x，y)=0化為3x－4y－14=0，該方程表示過C1、C2切點(diǎn)的公切線。

(4)已知C1:f1(x，y)=0和C2:f2(x，y)=0，當(dāng)曲線C1和C2無公共點(diǎn)時(shí)，方程f1(x，y)+ λf2(x，y)=0(λ是任意實(shí)數(shù))如果能表示某一曲線，則該曲線與曲線C1、C2都沒有公共點(diǎn)。

例如:(2005江蘇)如下圖，⊙O1和⊙O2的半徑都等于1，|O1O2|=4，過動(dòng)點(diǎn)P作⊙O1和⊙O2的切線PM、 PN(M、N為切點(diǎn))，使得，試建立平面直角坐標(biāo)系，，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡軌跡方程。

略解:建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，

則(x+2)2+y2－1=2［(x－2)2+y2－1］，化簡(jiǎn)得(x－6)2+y2=33就是所求的軌跡方程。

以上解答中的(x+2)2+y2－1=2［(x－2)2+y2－1］，即相當(dāng)于問題中λ=－2的情形。曲線(x－6)2+y2=33與⊙O1、⊙O2都沒有公共點(diǎn)。

一般地，若C1:f1(x，y)=0和C2:f2(x，y)=0無公共點(diǎn)，則方程組無解，所以都無解，結(jié)論4得證。

這次教學(xué)中的“意外”，使我對(duì)多年來感覺熟悉而從不質(zhì)疑的內(nèi)容，產(chǎn)生了一些批判性的思考;對(duì)學(xué)生的探究和創(chuàng)新能力，有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí);對(duì)如何激發(fā)和利用課堂生成資源，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣等教學(xué)方法及策略，有了新的感悟。吸取以上教訓(xùn)，在基本完成“橢圓的幾何性質(zhì)”教學(xué)內(nèi)容之后，我對(duì)所教的理科實(shí)驗(yàn)班給出了以下問題，為學(xué)生進(jìn)行探究埋下伏筆。

已知直線l:y=2x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上移動(dòng)，求點(diǎn)Q到橢的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線的距離之比的最小值。

大多數(shù)學(xué)生都能在課后完成以上解答，而且讓我欣慰的是，有學(xué)生驗(yàn)證了點(diǎn)是直線l與橢圓C的切點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了線段AB上其它的點(diǎn)都在橢圓的外部，并結(jié)合橢圓的第二定義，提出了以下猜想:橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率;橢圓外的點(diǎn)到焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比大于離心率;橢圓內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比小于離心率。此時(shí)，我對(duì)學(xué)生的猜想給出了充分的肯定，并鼓勵(lì)學(xué)生自己判斷猜想的真假。第二天，學(xué)生就給了我以下的證明:

設(shè)點(diǎn)Q(x0，y0)是橢圓

有了以上兩次學(xué)習(xí)經(jīng)歷，部分學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究精神有了一定的提高，在完成了雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)后，多數(shù)學(xué)生又針對(duì)雙曲線和拋物線，重新研究了以上問題;而且對(duì)以下問題:“過拋物線y2=px(p＞0)的焦點(diǎn)，作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求證，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。”學(xué)生在解決該問題之后，有更多學(xué)生自然的就提出了“對(duì)于橢圓和雙曲線，是否有類似的結(jié)論?”這樣的問題，也有學(xué)生提出了以下問題:“已知直線l過點(diǎn)M(m，0)，與拋物線y2=2px(p＞0)交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)0時(shí)，判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系。”在我的鼓勵(lì)和指導(dǎo)下，提出這些問題的學(xué)生最終都自主解決了這些問題。

上述由學(xué)生提出的系列問題，的確顯得稚嫩，學(xué)生對(duì)有些結(jié)論也還不能完成嚴(yán)密的論證，但他們從提出問題到探索結(jié)論的過程中，獲得了自主學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和成功的快樂。對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣以及培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神有很大的促進(jìn)作用。

2.結(jié)論

通過對(duì)以上幾次教學(xué)過程的反思，我認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)型和專家型的教師更要重新審視自己已經(jīng)熟悉甚至麻木的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)可能產(chǎn)生課堂生成資源的內(nèi)容做必要的引導(dǎo)和啟發(fā)，并對(duì)已經(jīng)產(chǎn)生或者可能產(chǎn)生的課堂生成資源，教師要有以下的知識(shí)準(zhǔn)備和策略預(yù)設(shè):

(1)有堅(jiān)實(shí)的專業(yè)功底。面對(duì)學(xué)生可能產(chǎn)生的各種“稀奇古怪”的問題，教師要能從專業(yè)的角度及從理論的高度進(jìn)行探究，成為學(xué)生創(chuàng)新思維和研究性學(xué)習(xí)的參與者、引領(lǐng)者和評(píng)價(jià)者。

(2)有承認(rèn)“我不會(huì)”的氣度。學(xué)生的思維火花，總會(huì)照到老師的認(rèn)知盲區(qū)，面對(duì)突發(fā)狀態(tài)，教師不能用“這個(gè)問題太難，不適合你”或“這種問題太偏，沒有什么實(shí)際意義;高考從來不考，不用管它”之類的話來敷衍學(xué)生，而是要有承認(rèn)我不會(huì)的氣度，引導(dǎo)及參與學(xué)生的主動(dòng)探索和研究，激發(fā)和保護(hù)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。這樣，才能更好的把握住教學(xué)的契機(jī)，化被動(dòng)為主動(dòng)，增強(qiáng)教學(xué)效果，提升教師的人格魅力。

(3)必要時(shí)有“我不會(huì)”的糊涂。對(duì)一個(gè)功底扎實(shí)的教師來說，學(xué)生的大多數(shù)問題，都是教師能完全掌控和把握的問題，此時(shí)教師要是每問必答，固然能樹立教師的良好形象，但也可能讓學(xué)生對(duì)教師產(chǎn)生高山仰止不可超越的心態(tài)，使學(xué)生失去主動(dòng)探索的機(jī)會(huì)和發(fā)現(xiàn)的快樂，久而久之，也不利于學(xué)生探究意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。所以，對(duì)于一些適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題，教師即使成竹在胸，也可以有“我不會(huì)”的糊涂，給學(xué)生留出探究的空間。

(4)鼓勵(lì)學(xué)生“反彈琵琶”。教師經(jīng)常會(huì)有這樣的困擾:對(duì)于某類問題，老師已經(jīng)給出了最簡(jiǎn)解法，但學(xué)生卻經(jīng)常別出心裁，對(duì)老師推薦的方法置若罔聞，自己搞出一個(gè)舍近求遠(yuǎn)費(fèi)時(shí)費(fèi)力的解法，面對(duì)這樣的情況，教師不應(yīng)該有白費(fèi)力氣的憤慨，更不應(yīng)該責(zé)怪學(xué)生“離經(jīng)叛道”，而是要為學(xué)生的行為感到高興，學(xué)生的解法雖然不是最優(yōu)解法，但對(duì)他來說，卻是一個(gè)自主創(chuàng)新的過程。所以，教師要允許甚至鼓勵(lì)學(xué)生懷疑結(jié)論、反叛經(jīng)典。這往往是學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的萌芽和自主探究的開始。

(責(zé)任編輯 劉洪基)

Reflection for the Curvilinear Equation Application and Utilization of the Classroom Generic Resources

FANG Lei
(Chuxiong First Middle School of Yunnan Province，Chuxiong 675000，China)

Based on the reflection of teaching process，the author hold that the teachers must re－examine their numbing teaching contents.Teachers must give necessary guidance and inspiration to students on the potential classroom generic resources contents.The author puts forward the knowledge preparation and strategy preferences to point against produced or may generation classroom resources.

teaching reflection;experience task;classroom generic resources;strategy preferences

G633.6

A

1671－7406(2010)06－0105－04

2010－04－17

方 雷 (1966—)，男，云南南華縣人，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。