均勻帶電細圓環電勢的空間分布

馬 堃，褚 園

(黃山學院信息工程學院,安徽黃山245021)

均勻帶電細圓環電勢的空間分布

馬 堃，褚 園

(黃山學院信息工程學院,安徽黃山245021)

利用電勢的定義式及電勢的疊加原理，借助特殊函數論，導出了均勻帶電細圓環電勢的空間分布函數表達式，并借助Mathematica軟件給出了電勢與空間位置關系的二維和三維函數圖像。

均勻帶電圓環；電勢分布；Mathematica

均勻帶電細圓環周圍空間電勢和電場的分布是電磁學中經常研究的問題。[1-5]教材中，一般只給出在通過細圓環中心軸線上的電勢和電場分布，對于全空間的分布討論很少。[6,7]文獻[4]直接由電場強度的計算公式計算了均勻帶電細圓環在空間的電場分布，繪制出電場量值的空間二維分布圖；文獻[5]在柱坐標系中根據電場強度的計算公式，計算了均勻帶電圓環在空間的電場分布，給出了級數形式解。本文將在直角坐標系中，直接利用點電荷的電勢的計算公式及電勢疊加原理，導出電勢空間分布的函數表達式，并借助Mathematica計算軟件，繪出電勢與空間位置關系的二維和三維函數圖像。

1 均勻帶電細圓環的電勢

如圖1所示，設均勻帶電細圓環的圓心為O，半徑為R，電荷線密度為λ，如圖建立坐標系，A是x軸上的一點，且OA=x，AB垂直于圓環所在的平面，AB=z，以無窮遠處為電勢零點，則B的電勢可如下求解：將細圓環分割成無限多個小的線元，取P處一個小線元，其長度為dl=Rdθ，則該線元在的B電勢可表示為

圖1 均勻帶電圓環電勢計算用圖

其中

所以

令

則

再令

上式即為均勻帶電細圓環電勢的空間分布函數表達式，其中EllipticK表示第一類全橢圓積分，[8]即

2 討論

2.1 均勻帶電細圓環中心軸線上的電勢

令(9)式中的x=0，從而得到均勻帶電細圓環中心軸線上的電勢分布函數，即

上式中Q是細圓環所帶的總電量，這與教材給出的結論一樣。[6,7]

利用Mathematica命令，可以作出均勻帶電細圓環中心軸線上電勢分布的二維函數圖形，這里取λ/ε0=1及R=1，如圖2。

圖2 均勻帶電圓環中心軸線上的電勢分布

從圖2可以看出，均勻帶電圓環中心軸線上的電勢呈對稱分布，在z=0處，即在圓心處電勢最強，兩邊電勢對稱遞減。

2.2 均勻帶電圓環所在平面上的電勢

令(9)式中的z=0，從而得到均勻帶點圓環在環面上任意點的電勢分布函數，即

利用Mathematica命令，可以作出均勻帶電細圓環所在平面上電勢分布三維圖形，這里取λ/ε0=1及R=1，如圖3。

圖3 均勻帶電圓環所在平面上的電勢分布

從圖3可以看出，均勻帶電圓環平面上的電勢也呈對稱分布，在處x=±1，即在細圓環上電勢最強，兩邊電勢對稱遞減。

2.3 均勻帶電圓環空間的電勢分布

利用Mathematica命令，作出均勻帶點圓環空間的電勢分布的三維函數圖形，這里取λ/ε0=1及R=1,如圖4。

圖4 均勻帶電圓環空間的電勢分布

從圖4可以看出，均勻帶電圓環空間的電勢分布情況：

1.在z=±1及x=0處出現極大值，即細圓環上的電勢極大，以這兩點為中心，整個空間電勢呈對稱分布；

2.在垂直于圓環所在平面軸線上的電勢分布，以盤面為中心，對稱分布，盤面處電勢極大，兩邊對稱遞減;

3.圓環所在平面上的電勢分布，以圓環為中心，對稱分布，圓環上的電勢極大，兩邊沿徑向對稱遞減。

3 總結

本文在直角坐標系中，直接利用點電荷的電勢的計算公式及電勢疊加原理，給出電勢空間分布的函數表達式，并借助Mathematica軟件計算，繪出了電勢與空間位置關系的二維和三維函數圖像，所展現的推導過程簡潔、易懂，給出的結果形象、直觀。

[1]張連順，姜萬祿.環形線電荷的電場分布[J].大學物理,1998,17(8):21-23.

[2]張之翔.電磁學中幾個簡單問題里的橢圓積分[J].大學物理,2002,21(4):22-24.

[3]程昌林，王慧，李業鳳.均勻帶電細圓環的電場[J].大學物理,2003,22(6):15-17.

[4]周海英，陳浩.均勻帶電細圓環的電場的一般分布[J].大學物理,2004,23(9):32-34.

[5]劉誠杰，劉景世.均勻帶電細圓環電場的分布[J].大學物理,2005,24(8):19-20.

[6]賈起民，鄭永令，陳暨耀.電磁學(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2001：31-32.

[7]黃時中.大學物理學(下冊)[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2006：29.

[8]王竹溪，郭敦仁.特殊函數概論[M].北京：北京大學出版社，2000:524-526.

責任編輯：胡德明

Abstract:Based on the definition and the superposition theorem of electric potential and aided by the theory of special functions,the function expression of the electric potential distribution of uniformly charged rings has been obtained.The two-dimensional and three-dimensional diagrams for electric potential and spatial relation have been plotted by Mathematica.

Key words:uniformly charged ring;electric potential distribution;Mathematica

The Electric Potential Distribution of Uniformly Charged Rings

Ma Kun,Chu Yuan
(School of Information Engineering,Huangshan University,Huangshan 245021,China)

O441.1

A

1672-447X(2010)04-0025-03

2010-03-26

黃山學院教學研究項目(2008hsujy010);黃山學院自然科學研究項目(2008xkjq013)

馬堃(1983-),安徽六安人,黃山學院信息工程學院教師,碩士。