分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下紅利亞式期權(quán)定價(jià)公式

王志明,徐 娟

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢,430065)

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下紅利亞式期權(quán)定價(jià)公式

王志明,徐 娟

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢,430065)

在假定股票價(jià)格遵循由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的條件下,利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論,得到具有固定執(zhí)行價(jià)格且有紅利支付的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)公式。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);幾何平均亞式期權(quán);紅利

亞式期權(quán)是一種新型期權(quán),在到期日,亞式期權(quán)的損益依賴于合同期內(nèi)某段時(shí)間標(biāo)的資產(chǎn)的平均價(jià)格。亞式期權(quán)是當(dāng)今金融衍生品市場上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一,因此研究亞式期權(quán)具有較大的現(xiàn)實(shí)意義。經(jīng)典期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)是基于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論。文獻(xiàn)[1-2]在假設(shè)股票價(jià)格服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的條件下,采用鞅方法推導(dǎo)了亞式期權(quán)的定價(jià)公式。

近年來,許多學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程來描述資產(chǎn)價(jià)格變化更加合理,并開始從事有關(guān)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的理論及應(yīng)用研究。文獻(xiàn)[3-4]在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的假設(shè)條件下,得到了期權(quán)定價(jià)的相關(guān)結(jié)論。考慮到股票發(fā)紅利這一情況,本文在股票價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)條件下,討論帶紅利的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià),對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下亞式期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了推廣。

1 假設(shè)條件

設(shè){WHt,t≥0}是定義在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度空間(Ω,F,P)上的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),其中,H為Hurst參數(shù),H∈(0,1)。考慮一無摩擦的金融市場,并且該市場僅包含兩種證券:一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)與一種有風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)(如股票)。設(shè)債券價(jià)格Bt與股票價(jià)格St分別滿足方程

式中:r(t)為無風(fēng)險(xiǎn)利率,q(t)為紅利率,均假定為時(shí)間t的函數(shù),t∈(0,T),其中 T為到期日;σ為標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)波動(dòng)率,設(shè)為常數(shù)。

2 公式推導(dǎo)

引理1[4]隨機(jī)微分方程式(2)的解為

引理2[4]對(duì)于歐式未定權(quán)益ξ∈FHT,且ξ∈L2(P),則ξ的價(jià)格滿足

假定亞式期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為 K,到期日為 T,則幾何平均亞式看漲期權(quán)損益為[5]

定理1 設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率 r(t)與紅利率q(t)均為時(shí)間t的可積函數(shù),則幾何平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格為

推論1 設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率 r(t)與紅利率 q(t)均為時(shí)間t的可積函數(shù),則幾何平均亞式看跌期權(quán)價(jià)格為

證明 在此條件下,幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系為

將Ct的值代入式(9),化簡即得到式(8)。證畢。

若 r(t)=r,即無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù),則ξ的價(jià)格滿足[7]

定理2 設(shè)紅利率q(t)為時(shí)間t的可積函數(shù),無風(fēng)險(xiǎn)收益率為常數(shù),則幾何平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格為

推論2 設(shè)紅利率q(t)為時(shí)間t的可積函數(shù),無風(fēng)險(xiǎn)收益率為常數(shù),則幾何平均亞式看跌期權(quán)價(jià)格為

證明 在此條件下,幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系為

將 C′t的值代入式(13),化簡即得到式(12)證畢。

3 結(jié)語

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)公式比傳統(tǒng)的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式更能解釋資本市場的價(jià)格變化現(xiàn)象,因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)格除了與資產(chǎn)價(jià)格S、時(shí)刻 T和t有關(guān),還與Hurst參數(shù) H有關(guān)當(dāng) H=1/2,且不考慮紅利因素時(shí),即得到布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)以及平價(jià)關(guān)系[5]。本文研究結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[5]研究結(jié)果的一種推廣。

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The dividend Asian option pricing in fractional Brown ian motion

W ang Zhim ing,Xu Juan
(College of Science,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430081,China)

This paper,based on the assump tion that stock p rice satisfies fractional Brow nian motion and emp loying the theo ry of stochastic analysisof fractional Brow nian motion,obtains geometric average A sian op tion p ricing w hich is characterized by fixed imp lemented p rice and dividend payment.

fractional B row nian motion;geometric average A sian op tion;dividend

O211.6

A

1674-3644(2010)06-0665-04

[責(zé)任編輯 尚 晶]

2010-10-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60904060).

王志明(1962-),男,武漢科技大學(xué)副教授.E-mail:mingwz@126.com