一維反鐵磁海森堡系統的磁化強度

李素艷,李詠梅

(1.泰山學院物理與電子工程學院,山東泰安 271021;2.濟寧學院物理與信息工程系,山東曲阜 273155)

一維反鐵磁海森堡系統的磁化強度

李素艷1,李詠梅2

(1.泰山學院物理與電子工程學院,山東泰安 271021;2.濟寧學院物理與信息工程系,山東曲阜 273155)

利用數值密度矩陣重正化群方法研究了一維反鐵磁海森堡系統的磁化曲線,分析了不同阻挫時的磁化特性,著重描述了磁化曲線中出現的中場尖奇點,并分析其產生機理.

密度矩陣重正化群;海森堡系統;磁化曲線;中場尖奇點

0 引言

傳統數值重正化群(RG)方法是由W ilson在求解近藤(Kondo)問題時提出的[1],它克服了完全對角化方法的局限性,但由于假定只有最低“塊”本征態與最終(無限)系統的基態有關,故對邊界條件處理不理想.W hite進而提出了密度矩陣重正化群(DMRG)方法[2-3],該方法是用密度矩陣的本征態代替以往直接使用“小塊”哈密頓量的本征態作為保留態.對一維和準一維問題,這種方法得到的結果相當準確.同時,相對于嚴格對角化方法,可以完成大尺寸系統的計算.鑒于以上優點,密度矩陣重正化群方法現已被證明是研究一維和準一維量子系統的有力工具.

1 密度矩陣重正化群算法

密度矩陣重正化群算法如下[4]:

(1)構造4個初始“塊”,第一(左邊)“塊”包含一個或多個格點,第二、第三“塊”由單個格點組成,第四(右邊)“塊”是第一“塊”的空間反射.

(2)構造超級“塊”的哈密頓矩陣Hsuper.

(3)通過稀疏矩陣對角化方法如Davidson[5]或Lanczos算法[6](本文應用Lanczos算法)對角化Hsuper得到靶態ψ即超級“塊”的基態.

(5)對角化ρ得到所有本征矢vα及本征值aα,保留m個最大的本征值及相應的本征矢,其余舍去.

(6)對兩“塊”系統的活躍(位于端點處的)自旋算符構造矩陣表象.

(7)利用方程H1’=OH12OT將基變為vα,產生新“塊”1.同樣變換步驟6中的算符.

(8)用新“塊”1代替舊“塊”1,新“塊”1的反射代替舊“塊”4.

(9)回到步驟2,重復以上步驟直到收斂.

密度矩陣重正化群方法結構見圖1,在每一次迭代中,超級“塊”增加兩個格點,而基態數不變.計算出的性質收斂到其熱力學極限值.

圖1 密度矩陣重正化群方法結構示意圖

以上算法的關鍵步驟在于超級“塊”哈密頓量的存儲及對角化.顯然,矩陣Hsuper由(4m2)2個元素構成.幸而大部分矩陣元為零,僅需存儲不為零的矩陣元.另外,“塊”對角化的矩陣可以一“塊”一“塊”地對角化,從而比一次對角化整個矩陣節省CPU.本文中計算磁化曲線,我們僅計算對應于某特定磁化強度的最低的能量,這樣每次只需考慮對應于該磁化強度的矩陣元.

以上算法為無限大小算法,超級“塊”隨每一次迭代而增加,故一般用以計算熱力學極限時的量.該算法可被擴展提高其精確度以計算固定長度L的有限系統.首先我們應用無限大小算法直到超級“塊”達到所需長度L.在之后的迭代中由兩個長度不同的次級“塊”生成一個具有固定長度的超級“塊”.如果左邊“塊”代表一個L’格點的系統(這里我們選L’=L/2),加上兩個格點,再與一個L-L’-2格點“塊”(無限大小方法得到的L-L’-2格點“塊”的反射)連接就構成一個超級“塊”.該L-L’-2格點系統的哈密頓矩陣及每個必須的算符都來自于前一迭代.每一步中,我們構造L格點超級“塊”,而次級“塊”的大小從長度Lmin變到L-Lmin-2.該過程經過迭代,左邊次級“塊”增大,右邊次級“塊”取自前面的迭代.

密度矩陣重正化群方法的總體誤差取決于每次迭代保留的態數及系統大小.另外還取決于研究的模型,特別是相互作用范圍及邊界條件.當重正化“塊”與超級“塊”其余部分間的連接最小化時,精確度最高.在無限大小算法中,該誤差源于超級“塊”的其余部分,即反射“塊”被假定代表無限鏈的其余部分.自由邊界條件時得到的結果優于周期性邊界條件的結果,原因在于周期性邊界條件時“塊”與反射“塊”間有兩個連接,而自由邊界條件時只有一個連接.

無限大小方法中,在迭代的固定點,“塊”B代表無限鏈的一半.通常從中得到的有限鏈結果是有用的,但這樣得到的結果不是十分準確.原因在于最初所用密度矩陣是從非常小的晶格中得到的.另外,有限大小方法適用于有限系統.通過有限大小方法,初始誤差被隨后的掃描減小.

2 磁化曲線

圖3 E-H曲線

易發現E(M)-E(M?1)=±H.

故對給定的M,我們有H=E(M)-E(M-1),或H=E(M+1)-E(M).

對每個磁化強度M,存在著相應的外場,連接這些點可得到M-H曲線.計算對磁化強度為M的L格點系統的最低能量E(M),繼而通過確定E(M)與E(M±1)的水平交點即可得到磁化曲線.

3 結果與分析

AF自旋鏈的磁化過程表現出各種類相變特性:伴隨著間隙激發(激發間隙∝Hc)或飽和磁化(在飽和場Hs)的臨界現象以及相變.在M-H曲線上還存在著中場尖奇點.尖奇點出現于中場區H=Hcusp處,其中Hc

圖4 20格點AF鏈M-H曲線

在圖4中,我們得出一個20格點AF自旋鏈的M-H曲線,其中α分別為0,0.25,0.35.從圖中我們可以清楚地看見M-H曲線在三個不同阻挫的大體輪廓.可以觀察到α=0的平方根特性,以及α= 0.25的四次方根特性.對α=0.35,可以看到在H接近于2.0處有一個尖.

在αc≈0.241167的地方有相變產生.當α<αc時,基態是無間隙的自旋流體相.當α>αc時,基態變成具有一定間隙的d im er相.自旋流體相和dim er相在長程有序上的區別對M(α,H)磁化曲線有明顯影響.

由上圖及其他參考文獻中可知α=0.1,0.2及0.25在中場區域沒有反常結構.α=0.35,0.4及0.5的M-H曲線在H接近于飽和場的地方有中場尖奇點.Okunishi證明對α=0.6,零溫M-H曲線有兩個中場尖奇點.另外,我們發現盡管阻挫不同,飽和場卻彼此接近.原因在于一個具有一維AF競爭性近鄰及次近鄰系統相互作用系統的飽和場主要由最近鄰決定.Tonegw a與Harada計算了具有反鐵磁近鄰及次近鄰相互作用的一維各向同性自旋1/2海森堡AF的飽和場.根據他們的結果,次近鄰相互作用對飽和場的修正非常小,即便是在象R iera和Dobry的計算中,次近鄰相互作用相當大時也是如此.然而,對一個具有近鄰和次近鄰相互作用的自旋-佩爾斯系統,如果沒有令人滿意的磁化曲線理論,僅靠當前的實驗數據很難對次近鄰相互作用做定量的估計.

我們還發現對小的阻挫,在對小外場M和H之間存在線性關系.對α≥0.5,不消失的磁化強度要求外場超過臨界值HC(α).

已經證實Z字形鏈當改變α時具有有趣的M-H曲線.這是什么導致的呢?Okunishi認為這個問題可以當作一個無自旋費米氣體來處理,其中費米子相當于鐵磁背景下翻轉的自旋.

接近于Hs處,α≤0.25的系統是費米液體.因此對α>0.25,我們預期系統將繼續表現為費米液體.定性地分析,費米液體特征也能成功地解釋M-H曲線,尤其是中場尖奇點的出現.定量地討論,卻出現了與α≤0.25時重要的不同.該系統成為兩種成分的液體,每部分由極小值周圍的模組成.這樣一個相關多組分系統可能表現為非費米液體,或Tomonaga-Lu ttinger(TL)液體,它的典型例子是Hubbard鏈.

4 小結

以上我們研究了一維反鐵磁系統的零溫磁化過程(M-H曲線).該磁化過程展示出各種相變特性.接近飽和場,對α>0.25存在中場尖奇點,可觀察到相關的雙組分TL液體特性,該處元激發色散曲線是雙阱曲線.在α=0.25,M-H曲線表現為△M～(H-Hs)1/4與α<0.25時的平方根行為不同.存在中場尖奇點的本質機制在于低激發態能量的多極小值結構.

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M agnetization of 1-d AF Heisenberg System

L ISu-yan1,L IYong-m ei2
(1.Schoo lof Physicsand E lectronic Engineering,Taishan University,Tai’an,271021;
2.Departm entof Physicsand Info rm ation Engineering,Jining University,Qufu,273155,China)

Them agnetization of1-d AFHeisenberg system was studied using the num ericalDensityM atrix Reno rm alization Group(DMRG)technique.Them agnetization curves at d ifferent frustration were analyzed.In particu lar,them idd le field cusp singu larity appears in them agnetization curveswas described.

Density M atrix Reno rm alization Group;Heisenberg system;m agnetization curve;m idd le field cusp singu larity

O482.5

A

1672-2590(2010)03-0060-05

2010-04-07

李素艷(1974-),女,山東泰安人,泰山學院物理與電子工程學院講師.