六角孔的夫瑯禾費衍射場的實驗演示

李 多,景紅梅,平 澄,周 靜

(北京師范大學物理系,北京100875)

六角孔的夫瑯禾費衍射場的實驗演示

李 多,景紅梅,平 澄,周 靜

(北京師范大學物理系,北京100875)

采用一維光柵疊加和傅里葉變換對二維矩形光柵構成的矩孔衍射屏進行了分析計算,給出了衍射場光強分布的解析解和數值模擬結果.將內部具有3個不同取向的光柵的六角孔衍射屏看作是由3個不同方向一維光柵的疊加,對構造出的衍射屏進行快速傅里葉變換,得到該衍射屏的夫瑯禾費衍射場分布.結果表明,單個六角孔的衍射場僅在衍射場中心處有一亮斑,衍射光強在3個受限方向有展開,演示觀察效果不明顯;內部具有光柵結構的六角孔的衍射場能明顯地反映出六角孔的形狀和衍射光強在3個受限方向的展開,演示效果明顯.

光柵;夫瑯禾費衍射;傅里葉變換

1 引 言

光的衍射是光學教學的重要內容,做好衍射演示實驗、觀察各種不同衍射屏的衍射現象是學生理解光的衍射現象的重要途徑.在演示實驗中學生希望既能看到衍射場的分布,又能看到衍射孔的形狀,從而加深對衍射規律的理解.但是經常遇到的問題是:當衍射孔的線度在肉眼可觀察的量級(mm)時,其衍射場分布將集中在場中央,很難直接看到條紋分布;而當衍射場的條紋分布可直接觀察時,其所對應的衍射孔的線度將小于10-1mm量級,很難看出孔的形狀,因而達不到演示實驗的預期效果.為了解決這類問題,可以在大衍射孔(mm量級)中加入微結構,例如在PASCO的光學衍射實驗系統中,有一種衍射屏用肉眼看是六角形的孔,用電子顯微鏡觀察時,發現在六角形的孔內還有規則排列的光柵結構.使用這樣的衍射屏進行演示實驗,可以直接看到六角孔的形狀及其衍射條紋分布.本文對二維矩形光柵構成的矩孔衍射屏進行了分析計算,然后采用快速傅里葉變換的方法分析計算了內部具有三角光柵的六角孔的衍射場分布,并與單個六角孔的衍射場進行了比較,結果表明內部具有光柵結構的六角孔的衍射場分布觀察效果比單個六角孔的觀察效果明顯.

2 二維矩形光柵構成的矩孔衍射屏的夫瑯禾費衍射

如圖1所示的二維矩形光柵可以看成是二維矩形光柵構成的矩孔衍射屏,在分析其衍射場分布時,可將其看成是由x和y方向的一維光柵的疊加,由衍射理論可知[1],平行光入射時,其衍射的強度分布為

圖1 二維矩形光柵構成的矩形衍射屏

光波在x和y方向上受限,所以衍射圖樣沿x和y方向展開.

觀察屏上得到的衍射圖樣如圖2所示.

圖2 數值計算得到的二維矩形光柵構成的矩孔衍射屏的夫瑯禾費衍射條紋

3 內部具有光柵的六角孔的夫瑯禾費衍射的理論分析

內部具有光柵的六角孔衍射屏見圖3,六角孔邊長為0.69 mm,光柵常量為0.08 mm.仿照二維矩形光柵組成的矩孔衍射屏,可看成是沿3個方向的一維光柵的疊加,原理與前一種情況相同.這時,光波在3個方向上受限,衍射圖樣沿3個方向展開.衍射場的分布可由基爾霍夫衍射積分計算得出,由傅里葉光學理論知[2],平行光垂直入射時,對于遠場的夫瑯禾費衍射,基爾霍夫積分可簡化為衍射屏的透過率函數的傅里葉變換.

圖3 內部具有三角光柵的六角孔衍射屏的電鏡片

建立坐標系,x沿水平方向,y沿豎直方向,則沿著3個方向的光柵的透過率函數分別用t1(x,y),t2(x,y),t3(x,y)表示,則

其中,d是光柵常量,L為六角孔的邊長,N為光柵縫數.3個方向光柵的傅里葉變換分別為

其中,F(·)表示傅里葉變換,N為光柵縫數,fx和fy分別為x和y方向的空間頻率.根據傅里葉變換的性質可知[2-3],內部具有三角光柵的六角孔衍射屏的衍射光場分布為

(8)式為內部具有三角光柵的六角孔衍射屏的衍射光場分布的解析表達式.進行數值模擬時,先用3個光柵構成六角結構,如圖3所示,然后再對該結構進行快速傅里葉變換,得到其在觀察屏上的光強分布,如圖4所示.

圖4 計算得出的六角結構的衍射場分布

由圖4可以看出,內部具有三角光柵的六角孔衍射屏的衍射光強分布既能看出明顯的六角結構,又能反映出光強在3個受限方向的展開,演示效果明顯.

單個六角孔的衍射屏如圖5所示,其大小與圖4中的角光柵的六角孔衍射屏相同.對其進行快速傅里葉變換,可得單個六角孔的衍射場分布,如圖6所示,(b)為(a)中方框內的放大圖.

圖5 單個六角孔衍射屏

4 內部有三角光柵的六角孔的實驗結果

采用圖7光路圖,用氦氖激光做光源,透鏡L1的焦距是10 cm,去掉了透鏡L2,將接收屏遠離衍射屏放置,接收屏與衍射屏距離為150 cm,滿足夫瑯禾費衍射條件,用canon IXUS 850IS數碼相機直接拍攝接收屏上的衍射圖樣.

圖7 夫瑯禾費衍射光路

圖6 計算得出的單個六角孔的衍射場分布

由圖6可看出,單個六角孔的衍射光強分布只有光強在3個受限方向的展開,沒有明顯的六角孔結構,演示效果不明顯.

實驗中采用的是圖3所示的衍射屏,圖8為用canon IXUS 850IS數碼相機直接拍攝接收屏上的衍射圖樣.

圖8 內部具有三角光柵的六角孔的實驗結果

5 結束語

用3個一維光柵對內部具有三角光柵的六角孔衍射屏進行了構造,然后對構造出的衍射屏進行快速傅里葉變換,得到該衍射屏的衍射場分布,并與單個六角孔的衍射場進行比較.結果表明,單個六角孔的衍射場分布,僅在衍射場中心處有一亮斑且3個受限方向有展開,演示觀察效果不明顯,而內部具有三角光柵的六角孔的衍射場分布,能明顯反映出六角孔的形狀和衍射在3個受限方向的展開,演示效果明顯.

[1] 姚啟鈞.光學教程[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2] 顧德門J W.付里葉光學導論[M].北京:科學出版社,1976.

[3] 張潔天,嚴函斐,欒峰,等.二維快速Fourier變換及其在模擬光學現象中的應用[J].物理實驗,1999, 19(6):6-10.

Demonstration experiment of Fraunhofer diffraction from a hexangular aperture

LI Duo,J ING Hong-mei,PING Cheng,ZHOU Jing

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

The diffraction screen of a two-dimensional rectangular grating is analyzed and calculated using one-dimensional grating superposition and Fourier transformation.The analytic solution and numerical simulation of the diffraction field are given.The hexangular aperture with three differently oriented gratings is treated as three one-dimension gratings.The constructed diffraction screen is transformed by FFT to obtain Fraunhofer diffraction pattern.The pattern can reflect the shape of hexangular aperture clearly and spread widely at three directions,showing obvious demonstration effect.In contrast,the diffraction pattern of simple hexangular aperture has only one bright spot in the center,and can spread at three limited directions,the demonstration effect is not apparent.

grating;Fraunhofer diffraction;Fourier transform

O436.1

A

1005-4642(2010)06-0005-03

[責任編輯:任德香]

“全國高等學校第9屆物理演示實驗教學研討會”論文

2009-08-28;修改日期:2009-11-02

教育部第二類特色專業建設項目(No.TS2072);北京市教育委員會共建項目專項

李 多(1972-),女,黑龍江伊春人,北京師范大學物理系高級實驗師,碩士,從事普通物理實驗教學工作.

景紅梅(1971-),女,山西太原人,北京師范大學物理系副教授,博士,從事光學信息處理研究工作.