淺談中學常見數學解題策略

徐禮禮 江蘇省南通高等師范學校 225006

淺談中學常見數學解題策略

徐禮禮 江蘇省南通高等師范學校 225006

美國著名數學家G.波利亞說：“中學數學教學的首要任務，就在于加強解題訓練.掌握數學就意味著解題。”美國數學家哈爾莫斯說過：“數學的真正組成部分是問題和解.”數學教學的一個很重要的任務，就是教學生如何解數學題，教會學生“數學地思維”.學數學，就要解數學題，數學解題學習對學生鞏固知識、培養素質、發展能力都有極其重要的意義.而在解題教學中，解題策略的教學則是關鍵.解題策略是指解答數學問題時總體上所采取的方針、原則和方案.解題策略不同于具體的解題方法，它是指導方法的原則，是對解題途徑的概括性認識和宏觀把握，體現了選擇的機智和組合的藝術，因而是最高層次的解題方法。下面就應用知識階段的解題策略談一些粗淺的認識。

一、模式識別

當主體接觸到數學問題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識經驗發生聯系，然后再確定解決問題的思路.這種首先進行歸類辨別的策略便是模式識別策略。

例1 已知等差數列｛an｝，Sn為其前n項和，且S10＝S20，則S30等于多少？

解 由題意可知，

分析 閱讀題目后可直接識別此題為是解數列問題，利用解決此類問題的模式，考慮采用基本量法，即求出等差數列中的基本量a1和d，問題就一定會迎刃而解.當然，本題還有其他更為簡單、巧妙的解法，但在這里更需強調的是通性通法，因為它體現了中學數學教學中的“基本問題”思想，滲透了“算法”思想，即將同類問題轉化為標準問題，然后用標準的程序去解決它。實際上，中學數學中還有很多類似的“基本問題”，在教育教學過程中要有意積累模式，加強識別，這樣才能做到“以不變應萬變”。

二、化歸轉化

當我們面對的數學問題不能用已知模型加以解決時，就會考慮其他意義上的解題策略，其中首要的就是化歸轉化策略，化繁為簡、化生為熟、化新為舊、化未知為已知，這是人類認識的基本規律.化，就是變化原問題，轉化原問題，變換原問題；歸，說的是變化、轉化、變換原問題是有目的、有方向的，其目的是變化出一個已知數學模型，就是通過變化使新問題轉化為解決過的問題。

例2 設a，b，c都是正數，且3a=4b=6c，試證：

解 對3a=4b=6c同時取對數有

分析：由于已知等式中的a，b，c都是指數，不便于運算。通過取對數這一等價轉化手段，將指數冪運算轉化為乘法運算，降低了運算難度。實際上，取對數運算、換元、引進坐標系、設計數學模型、構造函數等均是化歸轉化的常用手段。

三、差異分析

通過分析條件與結論之間的異同、并不斷減少目標差來完成解題的策略，稱為差異分析.使用差異分析通常要求通過分析題目的條件與結論中所出現的數量特征、關系特征、位置特征等去尋找目標差，一旦出現目標差主動作出減少目標差的反應，多次減少目標差使得目標差的減少能積累起來。

例3

∴得證。

分析：通過觀察、分析求證式左、右兩邊的差異，發現兩個目標差：一個是角的差異，另一個是函數名的差異，解題時從分析目標差入手，向著減少目標差的方向努力.差異分析法是“綜合——分析法”的一種特殊形式，在三角恒等式或不等式的證明中應用廣泛。

四、正難則反

解決數學問題時，大多是從條件出發進行正面順向思考。然而，事物往往是互為因果的，具有雙向可逆的特征。如果正向思維有困難時就逆向思維，順向推導有困難時就逆向推導，直接證明有困難時就間接證明。

證明 假設 不是無理數，而是有理數，

由于在p2的素因數分解中，有偶數個2（或0個2），在q2的素因數分解中，有偶數個2 （或0個2），在6的素因數分解中，有1個2。

可見，在6q2的素因數分解中，有奇數個2。

分析：由于已知條件太空、太少，以至于正面直接推導“舉步維艱”，故可考慮采用“正難則反”的策略。事實上，這一策略在一方面是對正向思維的背叛，同時又離不開正向思維的“協同作戰”，所以，應該是“正反相輔”。這一策略反映了原因與結果的辯證統一，肯定與否定的辯證統一，有限與無限的辯證統一，證實與證偽的統一。

五、以少勝多

不少數學問題往往涉及多個變量，多個變量往往難以控制，但這些變量之間又存在一定的聯系，抓住這種聯系，用變換的方法，以較少的變量甚至一個變量來控制多個變量，往往使問題迎刃而解。

例5 設a，b∈R,a2+4b2=8，求 a+b的最大、最小值。

解

分析：要求a+b的最大、最小值，a，b都是變量，但a，b又滿足a2+4b2=8，如果將變量變換成一個，則問題就變為熟悉的問題.為此可以令，轉化為三角函數的最值問題。

六、以退求進

以退求進解證數學問題的策略是：把一個不能馬上解決的問題，通過弱化或更改條件，退到能夠解決的程度，找到問題的突破口或解法思路，以求原問題的完滿解決，這是一種辯證思維，即運用聯系轉化思想，將問題按適當方向后退到能看清關系或悟出解法的地步，再通過后退后相關問題的求解推知原問題的解法.華羅庚教授曾指出：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們容易看清問題的地方，是學好數學的一個訣竅”。

證明 作△ABC外接圓的直徑AD，BE。設半徑為R，連CE，DC，BD。

并分別設其長為x，y，z，則

分析：本題通常做法是運用兩角和的余弦及三角函數的和差化積公式來解，顯然比較繁瑣。仔細觀察題目，我們發現題中涉及的角為銳角，我們可以退回到初中階段所學過的三角函數的定義上來解決。

發揮學生的主體性，使學生學會學習，是教學工作的重中之重.解題策略的教學是解決這一問題行之有效的方法.教師應將解題策略的教學貫穿到課程具體內容的教學過程中，與學生的整個學習過程緊密結合，使學生有大量的實踐機會，從而充分發揮解題策略對學習的促進作用。

[1]羅增儒.數學解題學引論［M］.陜西：陜西師范大學出版社.2008.

[2]李維.認知心理學研究［M］.杭州：浙江人民出版社.2004.

[3]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社.2003.

10.3969/j.issn.1001-8972.2010.21.132