有限m重非齊次馬氏鏈隨機變換的一個強極限定理

王華山

（江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013）

1 定義

隨機變換的概念最早源于賭博系統,19世紀20-30年代德國著名統計學家R.V.Mises發現了這個問題的重要性,并把它作為公理引進文獻[1],Kolmogorov在文獻[2]中討論了這個問題與概率論邏輯基礎的關系.文獻[3]、[4]討論任意N值隨機序列隨機變換的強極限定理,文中利用鞅變換的概念,將隨機變換的有關結果推廣到有限m重非齊次馬氏鏈中.

文中所涉及的問題都將在固定的完備概率空間（Ω,F,P）進行討論,{Fn,n≥1}是F的自然σ代數流,即Fn=σ（X0,…,Xn）,約定Fn=σ（X0,…,Xn）對幾乎處處意義下成立的等式或不等式常省去a.s.記號.

設S={1,2,…,N},X={Xn,n≥0}定義為（Ω,F,P）中在S上取值的隨機序列,如果存在正整數 m,對任意的整數 n≥m 及任意的i0,i1,…,in∈S,如果 P（X0=i0,i1,…,Xn-1）＞0,總有

成立且（1）式與n無關,則稱此X為有限m重非齊次馬氏鏈.

令X={Xn,n≥0}是有限 m重非齊次馬氏鏈,其m維初始條件和m階轉移矩陣分別為

則其有限維分布為

考慮非齊次有限 m重馬氏鏈隨機變換時,設{Vn,Fn-1,n≥1}是適隨機序列,稱{Vn,n≥1}為可預報序列.

2 主要結果及證明

定理1 設{Xn,n≥0}是具有（2）式的m維初始分布和（3）式的m階轉移矩陣的有限m重非齊次馬氏鏈,fn（y1,y2,…,ym+1）,（n≥m）是定義在Sm+1上的三元函數列,{Vn,n≥m}如前定義,{an,n≥m}是一列單調不減的可預報序列,且an↑∞,如果

則

證明

令 Yk=fk（Xk-m,…,Xk-1,Xk）-E[fk（Xk-m,…,Xk-1],k≥m

易知{Yn,Fn,n≥m}是一鞅差序列,而由于 Vn及an是Fn-1可測的,所以{VnYn/an,Fn,n≥1}也構成一鞅差序列[4],令

再由鞅差序列收斂定理,可得

收斂于零,（4）式得證.

以下恒假設{Vn,n≥m}是隨機變換,即 Vn是在{0,1}中取值的布爾函數在考慮隨機選擇的問題時根據 Vk的值來選取序列

的子序列:當且僅當 Vk=1時選取式（5）～（8）中的 Xk,（Xk-1,Xk）,（Xk-m,…,Xk-1,Xk）

設 Sj（?）是Kronecker δ函數,即 δj（i）=δij,由定理1可得如下幾個推論.

推論1 設{Xn,n≥0}是 m重有限非齊次馬氏鏈,f（y1,y2,…,ym+1）是定義在Sm+1上的 m元函數,{Vn,n≥m},{σn,n ≥m}如上定義 ,且 σn↑∞,則

證明

由式（10）及定理1即得式（9）.

推論2 設{Xn,n≥0}是 m重有限非齊次馬氏鏈,{Vn,n≥m},An（i1;w）,An（i1,i2;w）,An（i1,i2,…,im;w）,σn如前定義,且 σn↑∞,則

證明僅證（11）式,在推論（1）中令 f（y1,y2,…,ym）=δi1（y1）δi2（y2）…δim（ym）,y1,y2,…,ym∈S,于是

由式（14）與推論1即得式（13）,直接由式（13）可得（12）式和（11）式.

[1] Kolmogorov A N.on the logical foundations of probability theory[J].Lecture Notes in Mathematics,1982,1021:1-5.

[2] Liu W,Wang ZZ.an extension of a theorem on gambling systems to arbitrary binary random variables[J].Statistics&probability Letters,1996,28:51-58.

[3] Wang ZZ.a strong limit theorem on random selection for the N-valued random variables[J].Pure and Applied Mathematics,1999,15（4）:56-61.

[4] Stout W F.all most conbergence[M].New York:Academic Press,1974.

[5] 汪忠志.二重非齊次馬氏鏈隨機變換的一個強極限定理[J].沈陽工業大學學報,2002,24（5）:447-449.

[6] Mises R V.mathematical theory of probability and statistics[M].New York:Academic Press,1964.