基于提升小波變換的圖像去噪技術

張天剛，康蘇明，劉國華

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；2.山西大同大學教務處，山西大同037009；3.中國重汽集團大同齒輪有限公司，山西大同037006)

定義上式為基本提升(Primal Lifting)，其功能是在高頻子帶的配合下提升低頻子帶.

從另一角度說，也可用低頻子帶來提升高頻子帶，這叫對偶提升(Dual Lifting).對于該提升，以上有關方程寫為：

基于提升小波變換的圖像去噪技術

張天剛1，康蘇明2，劉國華3

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；2.山西大同大學教務處，山西大同037009；3.中國重汽集團大同齒輪有限公司，山西大同037006)

人臉識別系統非常復雜，其中處理的對象都是人臉圖像數據.從現實中獲取的圖像包含各種噪聲信號，使圖像數據和現實差距太大.為了快速有效的去除這些噪聲信號，對基于提升小波變換的圖像去噪方法進行了詳細研究.該方法在保持基于傳統小波變換去噪方法的前提下，使去噪處理的計算量大大減少，去噪速度顯著提高.

分裂 預測 更新 提升小波

傳統小波通常是由定義在L2(R)空間上的容許函數ψ(t)經過伸縮、平移生成的，該小波通常被稱為第一代小波.多分辨率分析的引入和Mallat算法的提出使傳統小波變換在信號處理領域得到了廣泛的應用[1].傳統小波有諸多優點，但也存在若干缺陷，如結構依賴于傅立葉變換,計算復雜、對內存要求量大、不利于硬件實現等.在圖像處理過程中，采用傳統的基于卷積運算小波變換來處理圖像時，也同樣存在計算復雜、運算所需內存較大等缺陷，不利于各種圖像處理算法的快速實現.提升小波的引入有效地解決了這一問題.

1 提升的基本原理

提升算法簡單、有效的構造出了雙正交小波，使用多項式插補來獲取信號的高頻分量，后通過構建尺度函數來取得信號的低頻分量.提升算法的主旨在于通過一個懶小波(Lazy Wavelet)變換，逐步構造出一個具有良好性質的新小波.一個規范的提升算法分為三步：分裂(Split)、預測(Predict)、更新(Update)[2-4].

1)分裂(Split)

分裂也叫惰性小波變換 (Lazy Wavelet Transform).該過程是將原始信號x(n)分裂成兩個互不相交的子集xo(n)和xe(n)，為了提高它們之間的關聯，一般是將信號分為奇數序列和偶數序列，即：

xo(n)=x(2n+1),xe(n)=x(2n)，

該惰性分割方法看似平常，但對于格式提升來說，卻奇絕.它充分利用了信號x(n)的局部相關性，為后來的預測和更新提供了數據基礎.

2)預測(Predict)

在原始數據相關的基礎上，用偶數序列xe(n)去預測奇數序列xo(n)，可構造出一個與數據集結構無關的預測算子P，用子集xo(n)與預測值P[xe(n)]的差值來更新xo(n)可得到d(n)，該差值反映兩者的逼近程度，差值愈小說明預測愈精確，擬合的愈好.若預測算子P合理的話，則差值數據集中包含的信息量要大大少于原始子集xo(n)中所含的信息量.誤差(預測)表達式如下：

d(n)=xo(n)-P[xe(n)].

該預測過程可逆，可以很方便由d(n)和xe(n)來恢復xo(n)，進而還原信號x(n)，其中

xo(n)=d(n)+P[xe(n)].

很明顯，在格式提升中，預測有兩個作用：一是可分離出信號x(n)的高頻分量.在預測時，由于總是用x(2n)和x(2n+1)兩點間的一條平滑曲線來預測它們的中間點x(2n+1)(這里平滑意味著低頻，預測誤差d(n)意味著信號x(n)在一個局部區域與自己低頻分量的誤差)，所以預測誤差d(n)可看成是信號x(n)的高頻分量，常被稱為信號的小波系數或細節系數；二是可緊湊表示數據.通常由于信號x(n)具有局部相關性，因此預測誤差d(n)的數值要比xo(n)小得多，也就是說，用 xe(n)和 d(n)來表示信號x(n)，要比用xo(n)和xe(n)來表示信號x(n)緊湊的多.

顯然d(n)可當作是信號x(n)的高頻分量，但xe(n)卻不能看成是信號x(n)的低頻分量，因為它只是信號x(n)的亞抽樣(Sub-samples).

3)更新(Update)

經分裂產生的子集xe(n)的部分性質(如均值)已偏離原始數據，因此需要更新.更新是用d(n)來修正xe(n)，使得修正后的值(記為c(n))只含信號x(n)的低頻成份，即

c(n)=xe(n)+U[d(n)].

其中U[·]為更新算子.不論是更新還是預測，都是提升方案的一個環節.

對于一個原始信號So，把它分解為Sj和dj兩個數據子集，并進行預測、更新，對Sj進行相同的分裂、預測、更新；既把Sj分解成dj+1和Sj+1，dj+1可用預測算子Sj+1進行預測，Sj+1可用更新算子dj+1進行更新.經過n次分解，原始數據So的小波表示為{Sn,dn,dn-1,dn-2,…,d1}.其中{dn,dn-1,dn-2,…,d1}是信號的高頻部分，Sn代表信號的低頻部分，這樣就得到了多分辨率分析的結果.

4)提升小波的重構

提升小波的重構是分解的逆過程，有如下三個步驟：

①反更新

xe(n)=c(n)-U[d(n)],

②反預測

xo(n)=d(n)+P[xe(n)],

③合并

x(n)=Merge(xe(n),xo(n)).

式中的Merge表示將xo(n)和xe(n)分別作為奇數序列和偶數序列拼接成原始信號x(n).

2 提升步驟

首先約定下文用到的符號：g和h表示重構濾波器，~g和~h表示分解濾波器.

設小波的互補濾波器對為 (h，g)，ho包含了h的奇數位置的信息，he包含了h的偶數位置的信息，即：

同樣可以定義go和ge.

在將第一代小波變換提升為第二代小波變換的過程中，首先用一個基本變換，把原始信號分解成兩個互不相交的子集.常采用Lazy小波變換，通過該變換可將原始信號分解成奇數序列和偶數序列.

由提升理論知，任意與濾波器h互補的其它有限長度濾波器gnew可表示成：

gnew(z)=g(z)+h(z)s(z2),

其中s(z2)是一個Laurent多項式.可把gnew寫成矩陣形式，故新的多項矩陣為：

可證明以上矩陣的行列式值也為1，故h和gnew能完全重構.同理也可由提升理論構造出互補于~g(z)的濾波器：

故得到新對偶多項矩陣：

定義上式為基本提升(Primal Lifting)，其功能是在高頻子帶的配合下提升低頻子帶.

從另一角度說，也可用低頻子帶來提升高頻子帶，這叫對偶提升(Dual Lifting).對于該提升，以上有關方程寫為：

其實反提升變換只是改變Laurent多項矩陣的符號，然后再逆運算，即從輸出端向左運算，同時還可得出和.

從上式也可看出提升的一個性質：當進行對偶提升時，把數據加到偶數位或奇數位采樣點上，新算出的采樣點替代了舊的采樣點，換句話說在運算中，不需額外的存儲開銷.利用低頻子帶提升高頻子帶可看作偶數位采樣點預測奇數位采樣點.可想而知，第一步中，連續的采樣點間必是高度關聯的，它應有可能從偶數位采樣點來預測奇數位采樣點.

重復以上提升步驟，直到得到理想的高通濾波器HP和低通濾波器LP，若最先給定的小波變換是懶(Lazy)小波變換，提升m步后，得到的低通濾波器LP和高通濾波器HP的多項矩陣~p(z)可歸納為如下系列提升步驟：

式中K1和K2為非零常數.Daubechies已證明，任何具有支集的傳統小波的多項矩陣都可因式分解為如上形式，實現第一代小波到第二代小波的提升.

3 基于提升小波的圖像去噪

基于提升小波變換的圖像去噪方法是利用提升方案構建小波變換對圖像進行處理，其主導思想是首先采用提升方案對含噪圖像進行多層小波分解，得到不同頻段不同尺度的子圖像；其次針對不同頻段特征的各個子圖像，對其小波系數進行閾值處理(采用逐點Bayes軟閾值門限處理).最后對處理后的小波系數進行提升逆變換得到去噪圖像.

對含有高斯白噪聲的Woman圖像進行去噪處理實驗，依次采用傳統小波變換，提升小波變換，其中噪聲方差為20[6].傳統小波去噪與提升小波去噪的比較如圖1所示.

圖1 傳統小波與提升小波去噪

4 結束語

圖像去噪始終是一個較難解決的問題，很難實現既去除噪聲又較好地保留原圖的信息.本文在前人有關小波應用的基礎上，展開更加深入、系統的分析和研究，提出了一種基于提升小波的圖像去噪技術.實驗結果表明該方法十分有效，實現了對含噪圖像的快速去噪處理.

[1]陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應用[M].北京:科學出版社，2002.

[2]Daubechies I,Sweldens W.Factoring Wavelet Transforms into Lifting Steps[J].Jo-urnal of Fourier Analysis and Application,1998，4(3)：245-267.

[3]Daubechies L,Sweldens W.Factoring Wavelet Transforms into Lifting Steps[J].Fourie Analysis Applications,1994，4(3)：247-269.

[4]Calderbank R,Daubechies L.Wavelet Transforms That Map Integers to Integers[J].A-pplied and Computation Harmonic Analysis, 1998，5(3)：332-367.

[5]王玉平，蔡元.基于小波變換的濾波方法[J].信息與控制，1996,25(4):19-22.

[6]張磊，潘泉，張洪才，等.小波域濾波閾值參數c的選取[J].電子學報，2001，29(3):31-33.

Abstract:The human face recognition system is complex which processes a large of face image data.Obtained from reality environment,the images contain a lot of noise.In order to de-noising more effectively and quickly,the method Based on lift-wavelet transform are carefully studied in the paper.This method of maintaining the traditional wavelet transform based on the premise of denoising method to deal with the calculation of the volume of noise greatly reducing,significantly improve the speed of de-noising.

Key words:split;predict;update;lift-wavelet

〔編輯 高海〕

Image De-noising Technology based on Lift-wavelet Transform

ZHANG Tian-Gang1,KANG Su-ming2,LIU Guo-Hua3

(1.School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009; 2.Dean's Office,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009; 3.China National Heavy Duty Truck Group Datong Gear CO.,LTD,Datong Shanxi,037006)

TP311

A

2010-06-25

張天剛(1975-),男,山西大同人,講師,研究方向:模式識別與計算機應用.

1674-0874(2010)06-0014-03