基于實物期權的房地產項目投資決策模型

柯小玲，諸克軍，刁鳳琴

（中國地質大學（武漢）經濟管理學院，武漢 430074）

1 實物期權的基本思想

從本質上講，實物期權是以期權概念定義的企業對投資的選擇權，即企業在面對一個未來項目時，有權利而非義務去決定是否投資[1]。相對金融期權，實物期權的標的物不再是股票、外匯、期貨等金融資產，而是投資項目等實物資產，實物期權的執行價格就是投資項目的成本，實物期權標的資產的市場價格對應于投資項目未來所能產生的現金流，到期時間為距最后決策點的時間。同金融期權一樣，實物資產的市場價格（項目的凈現值）是隨著市場變化而波動的。當市場價格（項目凈現值）大于執行價格（投資成本）時，企業便執行該期權，即選擇投資；當市場價格（項目的凈現值）小于執行價格（投資成本）時，企業便放棄、延遲或收縮投資。因此，實物期權不僅是一種與金融期權類似的處理投資靈活性的技術方法，更是一種思維方法。

2 模型的基本假設條件

由于實際問題比較復雜，為了使房地產投資決策模型可行，還需要做一些基本的假設。根據實物期權基本理論的要求，提出以下幾項基本假設：

（1）風險中性假設。在實物期權定價中風險中性假設是非常重要的，因為決策者的主觀偏好可能會導致企業價值的扭曲，因此在房地產投資實物期權模型中使用風險中性假設是必要的。

（2）簡化代理假設。本文假設房地產項目中投資決策者和公司股東在項目決策時具有一致的目標，無須考慮特殊的代理問題。

（3）隨機過程的假設。為了描述此類房地產經濟變量的變化特征，本文假設房地產價格服從幾何布朗運動和柏松跳躍過程[2]。

(4)房地產建設成本假設。房產建筑理論造價包括直接費、施工管理費、勘察設計費、土地直接開發費和盈利等。為了方便研究，同時也為了能夠更貼切描述房地產企業的實際運作過程，這里將假設房地產商品價格成本分為三大部分即土地出讓金、項目建設成本和房屋銷售費用。

（5）無風險利率假設。為了使實物期權模型更貼近房地產市場的真實情況，模型計算中所需要的利率都采用投資項目當年的國債利率（以項目投資期間為準）。

3 房地產項目投資實物期權決策模型的構建

根據前面的分析可以知道，現代房地產投資可以看做是一個美式永續期期權和有限期期權的綜合。在前一個期權中，房地產企業可以在任何時候啟動投資，決定是否投資買地。在后一個期權中，房地產企業必須在獲得土地使用權兩年內進行項目投資開發。將我國房地產項目投資開發的一般程序繪制成流程，如圖1所示 (根據房地產開發的特點，時間以季度計算)。

假設房地產企業已經完成了前期所有的工作，并且已經一次性支付了土地出讓金，獲得了該項目用地的土地使用權。假設土地出讓金為I1；并假設整個項目從觀測市場到銷售完畢共需要N個季度，從觀測市場到決定投資支付土地出讓金共需要N1個季度，從支付土地出讓金到項目動工共需要N2個季度，從項目動工到項目竣工共需要N3個季度。根據我國的現行法規，從2007年之后不能銷售期房，必須樓房封頂即項目竣工后才能開始銷售樓房，因此，項目最早開始銷售也得是項目竣工的時候。假設從樓房開始銷售到銷售完畢共用N4個季度。根據我國房地產項目投資的實際情況可知：

在投資方面，假設房地產企業開發項目的資金全部來自于企業的權益資本，其中一部分用于支付土地出讓金，一部分用于支付房地產項目的建設成本。設平均每季度建設成本支出為，從商品房開始銷售到所有商品房全部銷售完畢的N4個季度里，房地產項目商品房的總銷售面積為已知的常數M，假設每季度的銷售量相同，則每季度的銷售收入為MS/N4。

假設房地產項目竣工時的商品房單位平方米的銷售價格S服從幾何布朗運動，則有：

式中σ為商品房市場價格的波動率，α為房地產商品房單位價格S的預期增長率。

假設μ是該類房地產項目投資的市場整體平均收益率。我們把項目觀測點的時刻設為0，則項目真正收入是從第NN4+1個季度開始的，于是，得到項目整體收入的折現值為：

由于土地出讓金是已知的常數I1，則其相應折現值為：e-uN1I1

根據房地產項目投資的相關理論，此時如果不考慮房地產投資項目的稅費，則該項目凈現金流公式為：項目凈現金流=總銷售收入—土地出讓成本—建設成本—銷售費用。

由于從投資決策觀測點開始觀測何時進行投資的時間（買地的時間）不確定，可以把項目期權看成是銷售價格S的函數，其數學表達式為[3]：

4 房地產項目投資實物期權決策模型

根據前面的分析可以看到，市場是開放的，房地產開發企業可以選擇在任何時刻買地投資。用實物期權的理論來分析，房地產開發企業相當于擁有了一個永續的美式買入期權。可以把這個買入期權設為F（S），此時房地產開發企業的決策點就是要選擇最佳投資時機T，使得項目投資的機會價值 F（S）最大，根據式(2)則有：

由于dV=a1dS

根據伊藤引理，可以得到：

假設r為無風險利率，根據動態規劃的思想，有貝爾曼方程[4]：

根據式（2）及式（5），且 E(dz)=0,E[(dz)2]=1，可以得到：

對于微分方程（7），可以根據房地產項目投資的經濟含義給出其邊界條件。

首先，當房地產項目所開發的商品房價格為0時，該房產項目也沒有投資的機會價值，則：

其次，假設當商品房價格為S*時，是房地產項目投資的最優決策點，則此時的項目立即投資的回報等于此時項目的凈現值，這也是貝爾曼方程停止區域的所謂的“價值匹配”條件，即：

最后，在投資臨界值S*處，投資機會函數與價值函數的斜率應該相等，即所謂的“平滑粘貼”條件，則有：

利用微分方程的理論及相應的邊界條件，可以得到方程式（10）的解的形式：

將式（11）代入式（7），可得到特征方程：

邊界條件（8）決定了K2=0，這是因為如果S變得非常小，項目的期權價值 F（S）也會變得越小，當 S→0，F（S）→0。但由β2＜0，當 S→0 時，Sβ2→∞，所以 Sβ2的系數 K2=0。

于是，可以得到：

將式（16）代入邊界條件式（9），解得：

將（18）代入式（10）得：

從而得到：

最后，結合式（9）和式（18）可以求得投資機會函數為：

根據前面的討論，結合該模型，可以得到投資規則如下：

當房地產項目建成的商品房銷售價格時，期權溢價為0，房地產企業應該選擇投資；當房地產項目建成的商品房銷售價格時，期權溢價大于0，持有該項目投資期權是有價值的，此時房地產企業應該選擇等待，而不是投資。

5 模型的實證檢驗

本文選取的鄭州某房地產公司2007年開發的THXY小區建設項目，該項目2007年5月動工，2009年4月竣工，其基本情況見表1。

為了方便討論，我們將用THXY小項目投資決策模型的基本條件簡述如下：觀測市場的時刻設定為0，假設MT公司2005年初開始觀察市場，半年后（2個季度）決定投資項目，2005年6月支付了土地出讓金。按照國家和鄭州市有關房地產開發的規定，MT公司將會于2006年5月開始實施該項目的第一期住宅開發，2008年4月項目竣工并開始預售，2008年8月所有住宅商品房全部銷售完畢。

表1 THXY項目主要經濟技術指標

根據 項目情況可 知：N＝15，N1=2，N2=4，N3=8，N4=1，I=4182萬元，I2=3494.5萬元。I3=814.7萬元，M=343036。根據鄭州市房產交易中心提供的鄭州市歷年的房價，可以計算出價格期望增長率α=2.45%和價格波動率σ=9.03%。而房地產項目的市場整體平均收益率（μ）的確定，利用清華大學經濟管理學院廖理和沈超[5]的計算方法，可以將μ的取值（季度）確定為μ=3.59%。最后，根據2005年6月（假設項目投資時間）的5年期國債利率確定出無風險利率r=3.81%。將以上變量代入房地產項目投資實物期權決策模型，可得：

可見，MT公司最優執行期權時的商品房臨界價格為S*=4391.45元/平方米，大于當時立即開發的商品房的價格S=2841元/平方米，這就意味著商品房價格還有升值的空間，如果此時期權被執行了，那么投資者將會蒙受利益損失。在這個案例中，實際情況是MT公司2007年5月才執行期權，進行項目投資開發，這與期權模型的判斷是相符的。

[1]陳元志,夏健明.戰略投資的實物期權觀[M].北京：中國財政經濟出版社,2005,(9).

[2]陳溥才，郭鎮寧.房地產開發項目可行性研究與方案優化策略[M].北京：中國建筑工業出版社,2004.

[3]Miller L T,Park C S.Decision Marking Under Uncertainty——Real Options to The Resuce[J].The Engineering Economist,2002,47(2).

[4]Arama M,Kulatilaka N.Real Options:Managing Strategies Investment in an Uncertain World[M].Boston,Mass：Harvard Business School Press,1999.

[5]廖理，沈超.利用CAPM計算中國房地產行業資本成本[J].中國管理科學，2004,(4).