利用線性規劃方法求解企業利潤最大化問題

賈慧，田京

（山西電力職業技術學院，山西 太原 030001）

利用線性規劃方法求解企業利潤最大化問題

賈慧，田京

（山西電力職業技術學院，山西 太原 030001）

論文針對企業在人力物力資源限定的條件下如何獲得最大利潤的問題，提出了運用線性規劃的方法，提高了企業的工作效率和決策的正確性。

線性規劃；企業；利潤最大化

企業是盈利性的經濟組織，追求利潤是其根本目標。在日常的生產生活中，如何獲得最大的利潤是每一個企業生存發展的關鍵，而企業要想達到利潤最大化通常可以采用兩種方法：一是改進生產技術，如引進新的生產方式和工藝，使用生產效率更高的新設備或新型的原材料以提高單位時間內的產出；二是改進生產組織與計劃，即合理地安排利用企業現有的人力和物力資源，在不增加生產投入的基礎上，通過提高各種資源的利用率來達到企業利潤的最大化。

兩種方法相比較，第二種方法在成本不變的前提下提高了產出率，使各種有限的資源得到了最大的利用，從而提高了企業利潤，非常受企業的歡迎。這種如何在給定的條件下，合理地安排與企業生產有關的人力和物力資源，使企業的利潤達到最大化的問題屬于運籌學中的線性規劃問題。

一、線性規劃

線性規劃是運籌學中的一個重要分支，它研究比較早、發展比較快、應用非常廣泛，是輔助人們對生產生活進行科學化管理的一種數學方法。凡是求線性目標函數在一定的線性約束條件下的最大值或者最小值的問題，都屬于線性規劃的研究范圍。線性規劃廣泛應用于工程技術、經濟分析、經營管理等方面，它能在人力、財力和物力等資源有限的條件下，幫助企業的決策者做出最優決策，并為其提供科學依據。

線性規劃的要素主要包括決策變量、約束條件和目標函數。

二、建立線性規劃模型的方法

在解決企業的實際線性規劃問題時，應先根據生產情況建立線性規劃模型，步驟如下：（1）根據能夠影響所要達到某一目的的因素來確定決策變量；（2）根據決策變量與所要達到目的之間的函數關系來確定目標函數；（3）根據決策變量所受的限制條件來確定決策變量應滿足的約束條件。

三、線性規劃模型的特點

1.每個模型都含有若干個決策變量“x1，x2，x3……xn”，其中n為模型中決策變量的個數。決策變量的每一組取值都表示一種方案，決策變量的值一般都是非負的。

2.目標函數必須是以決策變量為自變量的線性函數，根據實際情況可以求解最大化（max）問題或最小化（min）問題，二者統稱為最優化問題。

3.約束條件也必須是以決策變量為自變量的線性函數。

當所建立的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或者不等式時，稱此數學模型為線性規劃模型。

四、應用舉例

1．提出問題

假設某企業生產A、B兩種產品，每生產一個A產品，需要耗費60公斤煤、50公斤鐵、40公斤水，可以獲利1.2萬元；每生產一個B產品，需要耗費30公斤煤、80公斤鐵、60公斤水，可以獲利1.8萬元。目前企業可用的各種資源額度為：煤5400公斤、鐵4800公斤、水6000公斤，請計算該企業要生產多少A產品和B產品，才能使企業的利潤達到最大化？

2．建立線性規劃模型

（1）確定決策變量

在該模型中能夠影響企業利潤的因素為A產品和B產品的產量，因此將A產品和B產品的產量確定為該模型的決策變量，設需要生產A產品X1個，生產B產品X2個。

（2）確定目標函數

設企業的利潤為Z，則Z與X1、X2的函數關系為：Z=1.2X1+1.8X2

（3）確定決策變量應滿足的約束條件

題中告知目前企業可用的各種資源額度為：煤5400公斤、鐵4800公斤、水6000公斤，依題意可設置如下約束條件：

60X1+30X2≤5400；50X1+80X2≤4800；40X1+60X2≤6000。

3．選擇規劃求解工具

常見的線性規劃求解工具有MATLAB優化工具箱和Excel規劃求解工具，但對于大多數企業的決策者來說，MATLAB優化工具箱專業性太強，不容易理解和掌握，而Excel規劃求解工具則相對容易得多，只要經過簡單的學習就可以掌握，因此在求解簡單的線性規劃問題時，大多數企業都傾向于使用Excel規劃求解工具。

4．安裝Excel規劃求解工具

企業的應用人員在安裝Microsoft Office時，若選擇“完全安裝”，則安裝完成后在Excel的“工具”菜單中可以直接找到“規劃求解”命令項；若選擇“定制安裝”，則可以在安裝過程中選擇安裝“規劃求解”模塊，安裝完成后在Excel的“工具”菜單中也可以找到“規劃求解”命令項；若選擇“典型安裝”，則安裝完成后在Excel的“工具”菜單中無法找到“規劃求解”命令項，需要再添加該模塊。

添加“規劃求解”模塊的方法：單擊Excel的“工具”菜單，在彈出的下拉菜單中選擇“加載宏”選項，此時會出現一個名為“加載宏”的對話框，然后在“可用加載宏”列表框中選擇“規劃求解”復選框，單擊“確定”即可。經過如上操作后，Excel的“工具”菜單中就可以找到“規劃求解”命令項了。

5．解決問題

（1）根據線性規劃模型建立工作表（如表1）所示

在表2的工作表中，單元格B10用來存放產品A的生產數量，C10用來存放產品B的生產數量，B11為目標單元格，用來存放目標函數的值（最大利潤Z的值），E6：E8存放約束條件的計算公式。

表1 規劃求解初始工作表

在表1的相關單元格中輸入下列公式：

E6=SUMPRODUCT(B6:C6,B10:C10)；

E7=SUMPRODUCT(B7:C7,B10:C10)；

E8=SUMPRODUCT(B8:C8,B10:C10)；

B11=SUMPRODUCT(B9:C9,B10:C10)。

（2）利用Excel規劃求解工具求解

單擊Excel“工具”菜單，在彈出的下拉菜單中選擇“規劃求解”，打開“規劃求解參數對話框”。

①在打開的對話框中設置“目標單元格”為“$B$11”；設置“等于”項目為“最大值”；設置“可變單元格”為“$B$10:$C$10”。

②添加約束條件。在“約束”項目中單擊“添加”按鈕，彈出“添加約束”對話框，在該對話框中設置“單元格引用位置”為“$E$6”，關系運算符為“<=”，“約束值”為“$D$6”，單擊“確定”按鈕，第一個約束條件添加完成，依次類推添加其余兩個約束條件。

③求解。單擊右側的“求解”按鈕，Excel會自動對決策變量和目標函數進行求解，并彈出規劃求解結果對話框。其中顯示“規劃求解找到一解，可滿足所有的約束及最優狀況”，在其下的單選列表框中選擇“保存規劃求解結果”，單擊“確定”，相應的結果即可顯示在可變單元格和目標單元格中（如表2所示）。可變單元格$B$10的值代表需要生產產品A 87個，$C$10的值代表需要生產產品B 5個，目標單元格$B$11的值代表在相應的資源額度限制下可以獲得的最大利潤為114.5萬元。

表2 規劃求解結果顯示表

［1］孫中紅，胡喜玲，于洪章，隋洪.Excel軟件求解線性規劃和某些數學問題的方法［J］.煙臺師范學院學報（自然科學版），2005,（1）:26-28.

［2］葉藝林，程秀芳.用“規劃求解”工具求解線性規劃［J］.景德鎮高專學報，2006，（4）.

［3］吳祈宗.運籌學［M］.北京：北京機械工業出版社，2002.

［4］裘敬華，劉巖.用 Excel處理規劃最優問題探討［J］.黃河水利職業技術學院學報，2005，（2）.

F27

A

1673-0046（2010）11-0079-02