淺談《復變函數》在力學專業中的應用

田瑞蘭 楊新偉 孫海珍

1.石家莊鐵道學院數理系 050043

2.石家莊鐵路職業技術學院交通系 050041

淺談《復變函數》在力學專業中的應用

田瑞蘭1楊新偉2孫海珍1

1.石家莊鐵道學院數理系 050043

2.石家莊鐵路職業技術學院交通系 050041

針對學生缺乏學習《復變函數》的興趣和積極主動性的現象，結合復變函數的教學經驗和非線性振動研究的需要，簡要論述了復變函數在力學專業——非線性振動學習中的應用，提出了一個提高教學效果的方法：在《復變函數》教學過程中, 不僅要清晰地向學生講述該學科的基本知識, 而且應該幫助學生建立起該學科與學生所學專業的聯系。

復變函數；留數；非線性振動；微分方程 Melnikov函數

complex function； residue；nonlinear vibration；differential equation；Melnikov function

《復變函數》[1]是一門古老而富有生命力的學科。它不僅是實變函數微積分的理論推廣，而且作為一種強有力的工具， 已經被廣泛地應用于自然科學的眾多領域。例如振動力學、空氣動力學、流體力學、彈性力學、理論物理以及自動控制理論等研究中，有很多復雜的計算就是以復變函數為工具來解決的。但現行的有關教材對這個方面涉及較少。在復變函數教學實踐中發現：不少學生在學習完《復變函數》后仍存在困惑，會產生諸如有什么應用之類的問題。因此有必要對此做一個較為深入的探討。

在力學專業——非線性振動學習中，對描述非線性振動系統的微分方程化簡[3-5]，利用Melnikov方法[5-6]確定混沌運動的門檻值等內容都要應用復變函數的基礎知識、留數等方法進行處理。因此《復變函數》這門課程對該專業的學習起著重要作用，下面僅就幾個簡單問題進行分析。

1、化簡非線性系統的微分方程

在現實生產中，有許多非線性振動問題都可用微分方程來描述，例如寬槽雙振頭電磁振動給料機的振動、實現電子閉環控制的電磁振動系統的振動等。為了研究非線性系統豐富的動力學行為，通常需要利用一些方法(平均法、KBM法、多尺度法等)求解該模型，得到動力系統的平均方程。如果平均方程過于復雜，就需要對其進一步化簡。

考慮如下的立方非線性系統的平均方程

從以上的分析過程與文獻[4]分析過程比較，可以看出前者不但涉及的計算量要小得多，而且不需要經過任何矩陣運算過程，所以此方法更有利于實際應用和實現程序化。

2、簡化積分的計算

研究非線性振動系統復雜動力學行為時，經常利用Melnikov方法確定混沌運動的門檻值，即度量同（異）宿軌道受擾動分裂后穩定與不穩定流形距離。因此，需要計算復雜的廣義積分，給研究帶來了很大困難。利用留數定理可以計算一些廣義積分，簡化計算過程。

考慮振動方程

3、結論

復變函數中的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的解析工具, 而且在其他自然科學和各種工程領域，特別是在非線性振動專業學習中有著廣泛的應用。本文首先分析了復變函數的基礎知識在非線性振動系統的微分方程化簡中的應用；其次分析了留數定理在計算非線性振動發生混沌門檻值中的應用。因此，學生想要學好力學專業中振動方面的專業課，《復變函數》課程顯然是必不可少的。這就要求老師在《復變函數》教學過程中, 不僅要清晰地向學生講述該學科的基本知識, 而且還應該幫助學生建立起該學科與學生所學專業的聯系, 使學生破疑解難，增強學生的學習興趣和學習主動性。

[1]西安交通大學高等數學教研室,第4版.復變函數[M].北京：高等教育出版社. 2003；145-185

[2]鐘玉泉.復變函數論[M],第2版.北京：高等教育出版社.1993；216-267

[3]王洪禮, 張琪昌. 非線性動力學理論及應用[M].天津: 天津科學技術出版社. 2002；12-69

[4]張琪昌. Hopf分叉理論及其在非線性振動系統中的應用: [博士學位論文][M].天津:天津大學.1991；15-37

[5]高國生, 楊紹普, 陳恩利等.一類非線性磁流變系統局部分岔特性研究[J].力學學報.2004，36(5)：564-568

[6]張琪昌, 田瑞蘭. 一類機電耦合非線性動力系統的余維2動態分岔[J].工程力學.2009，26(1)：216-220

A preliminary study on the application of complex function on the research of nonlinear vibration

Tian Ruilan1Yang Xinwei2Sun Haizhen1

1Centre for Nonlinear Dynamics Research, Shijiazhang Railway Institute, Shijiazhuang 050043, China. 2Shijiazhuang Institute of Railway Technology, Shijiazhuang 050041, China

Aiming at the appearance of low initiative of students on learning complex function and combining teaching experience with the research of nonlinear vibration, the application of complex function on research of nonlinear vibration is discussed. A new method for improving the teaching effect is put forward. During the course of teaching, not only the elementary knowledge should be described clearly, but also the relation between complex function and major of students is founded.

國家自然科學基金資助項目(10872136), 河北省教育廳基金資助項目(2009470)

田瑞蘭，女， 1977年2月生, 山東汶上人，漢族。博士，研究方向為非線性分析。職稱：講師。