曼寧公式及其誤差分析

賈界峰 趙井衛 陳客賢

1 曼寧公式(Manning's formula)

曼寧公式是1889年提出的,反映了水流與河床之間的部分關系以及河床內部各因素間的相互關系。當工程中不知道河道水位流量關系曲線時,用曼寧公式推求是必要的手段。

水文計算流量所依據的河流橫斷面,稱為水文斷面,又稱形態斷面,形態斷面的流速和流量計算常常用到曼寧公式[1,2],其基本表達式為:

其中,v為斷面平均流速,m/s,對于復式斷面,河槽與河灘的斷面平均流速應分別計算;n為粗糙系數,糙率;m為n的倒數,為水力半徑,m;i為洪水比降,以小數計。

水文斷面的流量計算為:

單式斷面時:Q=Av;

復式斷面時:Q=Acvc+Atvt=Qc+Qt。

其中,Q為全斷面總流量,m3/s;A為過水斷面面積,m2;Ac,At分別為河槽與河灘的斷面過水面積,m2;vc,vt分別為河槽與河灘的斷面平均流速,m/s;Qc,Qt分別為河槽與河灘的流量,m3/s。

2 誤差分析

2.1 誤差的提出

2.2 誤差的推求

水力半徑 R為過水斷面面積與其濕周的比值,若以X表示濕周,則 R=A/X,代入上式則有:

以斷面平均水深h代替水力半徑R時流量計算公式為:Q1=B為水面寬,兩種方法計算流量成果的相對誤差為:

把 Q1和 Q的表達式代入式(1),整理得:

式(2)就是以平均水深h代替水力半徑R利用曼寧公式計算流量的誤差公式。可以看出,其誤差系統是偏大的。

張仲平道：“至于，當然至于，像我們這樣在這么一個有創意的地方碰上，算什么？算緣份啦。你主動開口求我點事，被我的電話打忘了，我罪過大了，求求你，你還是趕緊把那問題想起來吧，別讓我難過了，好嗎？”

2.3 不同斷面形狀的具體誤差分析

2.3.1 矩形斷面

矩形斷面形狀如圖1所示。

矩形斷面的濕周 X1=B+2h,式(2)可寫為:

規范規定:斷面的寬深比大于100稱為寬淺河道,以斷面平均水深 h代替水力半徑 R,計算的流量誤差

當B/h→∞時,δ→0,也就是說,矩形斷面寬淺河道以斷面平均水深h代替水力半徑R計算的流量誤差范圍在0%～1.33%之間。寬深比B/h越大,則誤差越小。對于矩形斷面窄深河道,流量計算誤差大于1.33%,且寬深比B/h越小,則誤差越大。表1給出了矩形斷面不同寬深比所對應的流量計算誤差。

表1 矩形斷面 B/h—δ關系表

參照《水文資料整編規范》給出的水位流量關系水力因素法定線指標對系統誤差的規定,系統誤差不能超過2%。要使系統誤差不大于2%,利用式(3)可得最小寬深比應大于66.3。

2.3.2 三角形斷面

三角形斷面的流量誤差,除與寬深比有關外,還受三角形形狀的影響。

對于等腰三角形斷面,過水面積 A=Bhmax/2,又因 A=Bh,所以 h=hmax/2,即 hmax=2h。

則誤差公式為

對于直角三角形斷面(斷面形狀如圖2所示),X3=

則誤差公式為

對于寬淺河道,h≤B/100,代入式(4),則 δ≤0.05%;代入式(5),則δ≤1.34%。表2給出了等腰、直角三角形斷面不同寬深比所對應的流量計算誤差。

表2 三角形斷面 B/h—δ關系表

2.3.3 “U”形斷面

“U”形斷面的濕周X4介于矩形斷面濕周X1和等腰三角形斷面濕周X2之間,所以按照規范系統誤差不超過2%的要求,最小寬深比應在16.2～66.3之間。但“U”形斷面更接近于矩形斷面,為保證流量計算精度,“U”形斷面的寬深比 B/h宜大于66.3。

3 結論與建議

1)斷面的寬深比大于100時,以斷面平均水深h代替水力半徑R利用曼寧公式計算流量,矩形斷面引起的流量誤差 δ≤1.33%;等腰三角形斷面引起的流量誤差δ≤0.05%;直角三角形斷面引起的流量誤差 δ≤1.34%;“U”形斷面引起的流量誤差 δ≤1.33%。

2)對于較為普遍的“U”形斷面,當 B/h≥66.3時,可采用斷面平均水深代替水力半徑進行計算,成果的系統誤差不超過2%。

3)對于等腰三角形斷面,當B/h≥16.2時,可采用斷面平均水深代替水力半徑進行計算,成果的系統誤差不超過2%;對于直角三角形斷面,當B/h≥67.3時,可采用斷面平均水深代替水力半徑進行計算,成果的系統誤差不超過2%;對于其他任意三角形斷面,為保證流量計算精度,寬深比 B/h宜大于67.3。

4)實際中應根據實測斷面計算各級水位的寬深比,不可盲目采用斷面平均水深代替水力半徑進行流量計算。

5)對采用斷面平均水深代替水力半徑進行的有關計算中,建議規范中采用斷面平均水深代替水力半徑的寬深比的標準可以適當放寬,并給出不同形態斷面采用的具體寬深比限值,而不能只用一個限值套用所有的斷面形式。

[1] 劉潤生,李家星,王培莉.水力學[M].南京:河海大學出版社,1992.

[2] 高東光.橋涵水文[M].北京:人民交通出版社,2008.

[3] 中華人民共和國行業標準,水文資料整編規范[S].

[4] 中華人民共和國交通部,公路工程水文勘測設計規范[S].