偏心受壓構件極限承載力的實用計算方法

丁 烽，羅宗保，施文杰

（寧波市城建設計研究院有限公司，浙江寧波315012）

0 引言

矩形截面及圓形截面偏心受壓構件的計算在《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》（以下簡稱《橋規》）中有明確規定。根據《公路橋梁抗震細則》JTG/T B02-01—2008（以下簡稱《細則》）第6.8條相關規定，延性墩柱剪力設計值Vc0的計算需要求解截面對應軸力下的極限彎矩，且《細則》中要求按現行公路橋涵設計規范相關規定驗算墩柱強度，因此如何計算對應軸力下的正截面極限彎矩就成為擺在工程設計人員面前的一道課題。

現在有限元計算軟件較為普及，計算偏壓構件的極限承載能力不是一件難事，而本文將根據《橋規》提供的公式計算偏壓構件的極限承載能力，這樣不僅易于工程設計人員理解，且能保證在橋梁抗震計算中保持《細則》及《橋規》的一致性。

1 矩形截面偏壓構件極限承載力實用計算方法

1.1 計算方法推導

式（1）、式（2）對應《橋規》公式（5.3.5-1）、（5.3.5-2）；式（4）、式（5）對應《橋規》公式（5.3.10-1）、（5.3.10-2）；式（6）對應《橋規》公式（5.3.1）。

當截面達到極限承載力時，式（1）、式（2）左右兩邊相等，由式（2）除以式（1）可得：

由式（4）、式（5）代入式（3）可得：

根據式（8）求出e0后，將e0代入式（5），如果ξ1≥1，則：

由于《細則》6.8條中求解的是軸力對應的極限彎矩，因此截面偏心距增大系數η=1，構件計算長度l0=0，因此：

最終求得Nd對應的極限彎矩Md

根據式（1）及式（7）可知，偏心受壓構件的抗壓能力肯定小于軸心受壓構件，因此對式（1）中x的取值需同時滿足式（11），根據工程實際，x適用條件如下：

根據已知條件及式（1）～式（12），通過試算混凝土受壓區高度x，使式（1）左右兩端相等，便可求得相應始偏心距e0，進而求得Nd對應的極限彎矩Md。

1.2 算法理論分析

根據式（1）、式（2）、式（12）可知，Ndu、Mdu是隨受壓區高度x增大而增大的單調遞增函數。根據式（7）～式（9）可知，es、e0是隨受壓區高度x變化的函數f（x）。現在我們來判斷函數f（x）的單調性。

當2a′s≤x≤ξbh0，截面為大偏心受壓構件，σs=fsd，對式（7）求導：

當ξbh0≤x≤h0，截面為小偏心受壓構件，σs=，對式（7）求導：

由以上計算可知，當2a′s≤x≤h0，es、e0是隨受壓區高度x增大而減小的單調遞減函數。

通過試算x，使Nd=Ndu，此時Ndes≡Mdu，計此時的x為為為為。當x增大時，Nd＜Ndu、；此時Nd、Ndes滿足式（1）、式（2）。當x減小時，Nd＞Ndu、Ndes＞Mdu、Md＞；此時Nd、Ndes不滿足式（1）、式（2）。由此可見當Nd=Ndu時，為Nd對應的極限彎矩。

1.3 計算實例

例題1：已知C30鋼筋混凝土橋墩，斷面尺寸b=1 600 mm，h=1 200 mm，As=A′s=16Φ32=12 868 mm2，as=a′s=60 mm，fsd=f′sd=335 MPa，f′cd=20.1 MPa，求《細則》6.8條中對應軸力為6 000 kN，8 000 kN，15 000 kN，20 000 kN、30 000 kN時截面的極限彎矩。表1中的程序解為MIDAS CIVIL中的PUSHOVER計算值。

表1 1 600 mm×1 200 mm矩形截面極限承載能力匯總表

2 圓形截面偏壓構件極限承載力實用計算方法

2.1 計算方法推導

已知條件：Nd，r，As，rs，求對應Nd的極限彎矩Md，計算簡圖如圖2所示。

式中：A、B為有關混凝土承載能力的計算系數；C、D為有關縱向鋼筋承載力的計算系數，以上系數可按《橋規》附錄C計算。式（13）、式（14）對應《橋規》（5.3.9-1）、（5.3.9-2）。

當截面達到極限承載力時，式（1）、式（2）左右兩邊相等，由式（14）除以式（13）可得：

由于《細則》6.8條中求解的是軸力對應的極限彎矩，因此截面偏心距增大系數η=1，構件計算長度l0=0，最終求得Nd對應的極限彎矩Md。

公式適用條件（保持與《橋規》附錄C中ξ取值一致）

根據已知條件及式（13）～式（16）可知，通過試算ξ（截面實際受壓區高度x0與圓形截面直徑的比值），使式（13）左右兩端相等，便可求得相應初始偏心距e0，進而求得Nd對應的極限彎矩Md。

2.2 算法理論分析

根據《橋規》附錄C可知，A、C是隨ξ增大而增大的單調遞增函數，因此根據式（13）可知，Ndu是隨ξ增加而增大的單調遞增函數。通過試算ξ，使Nd=Ndu，此時Nde0≡Mdu，計此時的ξ為，e0為，Md為。

e0隨ξ的變化通過式（15）較難判斷，可以通過繪圖的方式來觀察它的變化，圖3繪制了直徑1 200 mm的鉆孔樁沿周邊均勻配置20Φ25、20Φ28HRB335鋼筋時的e0－ξ變化曲線。由圖3可知，此時e0隨ξ的增大而減小。

當ξ增大時此時Nd滿足式（13）。當ξ減小時此時Nd不滿足式（13）。由此可見當Nd=Ndu時，為Nd對應的極限彎矩。

2.3 計算實例

例題2：已知C30鋼筋混凝土橋墩，斷面尺寸為直徑d=1 200 mm的圓，截面沿周邊均勻配置20Φ28HRB335級鋼筋，rs=525 mm，f′sd=335 MPa，f′cd=20.1 MPa，求《細則》6.8條中對應軸力為6 000 kN，8 000 kN，15 000 kN，20 000 kN、30 000 kN時截面的極限彎矩。表2中的程序解為MIDAS CIVIL中的PUSHOVER計算值。

表2 直徑1 200 mm圓形截面極限承載能力匯總表

3 結論

（1）以上分析可知：對于矩形截面，通過試算混凝土受壓區高度x；對于圓形截面，通過試算ξ，使已知軸力Nd與截面最大抗力Ndu相等，進而通過相關公式求得Nd對應的極限彎矩Md。由于Ndu是隨x（或ξ）變化的單調遞增函數，因此可以保證當Nd=Ndu時，x（或ξ）解的唯一性。

（2）對于圓形截面e0—ξ曲線與配筋率ρ相關，當ρ比較大、ξ在0.2附近時，e0為負值，其不是單調遞減函數，但此時ξ對應的Ndu往往不具備工程實際意義。一般當ξ＞0.21時，e0是隨ξ增大而減小的單調遞減函數。

（3）該方法在EXCEL中應用及其方便，其計算精度取決于受壓區高度x（ξ）的遞增步長。

（4）通過比較程序計算結果和《橋規》公式計算結果可知，兩者相對誤差不大，對于抗震計算來說，能滿足設計要求。

[1]JTG D62-2004,公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范[S].

[2]JTG/T B02-01-2008,公路橋梁抗震細則[S].

[3]張樹仁.橋梁設計規范學習與應用講評[M].北京:人民交通出版社,2005.

[4]趙志蒙,黃平明.結構設計原理計算實例[M].北京:人民交通出版社,2007.