不同振子耦合系統(tǒng)固有頻率的研究

朱仁義

（巢湖學(xué)院物理與電子科學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

不同振子耦合系統(tǒng)固有頻率的研究

朱仁義

（巢湖學(xué)院物理與電子科學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)建立耦合彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)特征根方程求解，確定系統(tǒng)固有頻率，并加以討論。

耦合彈簧振子；固有頻率；振幅比

耦合彈簧振子系統(tǒng)的研究，無(wú)論在鐵路運(yùn)輸、高速列車，還是在汽車運(yùn)輸過(guò)程中帶有拖車，以及晶體學(xué)中格點(diǎn)的振動(dòng)都廣泛應(yīng)用，且涉及到彈簧振子的耦合問(wèn)題。例如，一列火車是多節(jié)車廂掛接在一起，每節(jié)車廂可以看作一個(gè)彈簧振子，從一維振動(dòng)角度來(lái)分析火車，可以簡(jiǎn)化多彈簧振子串聯(lián)。在工程上常常用多彈簧振子的串聯(lián)來(lái)描述一個(gè)實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)，因此，分析由多個(gè)振子串聯(lián)而成的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是一件有意義的工作。過(guò)去研究多半是假設(shè)耦合振子質(zhì)量相同，彈簧的勁度系數(shù)相同。[1]本文將討論一般情況下振子的耦合，首先，建立耦合彈簧振子質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)下動(dòng)力學(xué)方程，其次，解其特征根方程，再討論各種彈簧振子的耦合情況乃至極端情況。

1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

如圖1所示，取m1物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，彈簧的自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，任意時(shí)刻兩物體的位置坐標(biāo)分別為x1、x2。

圖1

根據(jù)牛頓第二定律，有：

作簡(jiǎn)單的變換，令 x′2=x2-L0、再用 x2代替 x′2得：

為了了解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，往往要知道整體的運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，以及各部分之間的運(yùn)動(dòng)即相對(duì)運(yùn)動(dòng)。為此，引入取質(zhì)心坐標(biāo)xc和相對(duì)坐標(biāo)xr[2]（不是嚴(yán)格的系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)與相對(duì)坐標(biāo)）

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的本征解

因?yàn)椋琤21-4b0＞0，所以以上四個(gè)解都是純虛數(shù)，p1，2和p3，4為兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)。每對(duì)共軛復(fù)根，對(duì)應(yīng)一個(gè)振動(dòng)模式，說(shuō)明系統(tǒng)質(zhì)心圍繞著平衡作周期性振動(dòng)，它的振動(dòng)是圓頻率為ω1、ω2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。同理，兩振子相對(duì)運(yùn)動(dòng)也為周期性振動(dòng)，它的振動(dòng)是圓頻率為ω1、ω2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，這種運(yùn)動(dòng)稱為固有振動(dòng)或主振動(dòng)。ω1、ω2稱為系統(tǒng)固有頻率。

3 各種耦合的振動(dòng)頻率ωi的討論

下面就可能出現(xiàn)的各種耦合振動(dòng)進(jìn)行討論。

物理意義非常清楚，從振子1角度來(lái)看，由于振子m1的質(zhì)量非常大，振子2就可以看成振子1附屬物，且可以忽略，系統(tǒng)的質(zhì)心基本取決于m1的位置。也就是說(shuō)，系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為m1在彈簧1作用下運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)頻率是大家熟知ω2；從振子2角度來(lái)看，由于振子m1的質(zhì)量非常大，其振動(dòng)極其緩慢，可以視為靜止，振子2的振動(dòng)就回歸為我們熟知單振子的振動(dòng)。

物理意義也很明確，彈簧1的勁度系數(shù)很大，相當(dāng)于一根剛性桿將1物體連接固定起來(lái)，振動(dòng)頻率極高。振子2連接在剛性物體上，因而振子2的振動(dòng)就回歸為我們熟知單振子的振動(dòng)，其振動(dòng)頻率就是自身的固有頻率。

（5）兩振子質(zhì)量相近，但彈簧勁度k2?k1

對(duì)于彈簧1來(lái)說(shuō)，m1與m2用勁度系數(shù)很大的k2連接，就相當(dāng)于用剛性桿連接，如圖2所示，其振動(dòng)圓滿頻率由（15）式中ω2決定。對(duì)于討論m1與m2振子相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，由于它們之間用倔強(qiáng)系數(shù)很大的k2連接，相互作用力很大，彈簧1對(duì)系統(tǒng)的作用力可以忽略不計(jì)，模型可以簡(jiǎn)化為如圖（3）來(lái)表示。振動(dòng)圓頻與（15）中 ω1一致。

圖2

圖3

4 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況

將（11）式代入（6），再代入（5）式可得到相應(yīng)的振幅比值：

ri稱為振幅比，由（16）式看出，振幅比由系統(tǒng)本身物理特性決定，而與初始條件無(wú)關(guān)，也是系統(tǒng)的固有屬性。

將本征解（10）式代入（6），同時(shí)考慮到（16）可得：

其中 C1、C2、ω1、φ2，由系統(tǒng)的初始條件確定。 從（17）不難看出，系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中，各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)到達(dá)平衡位置或最大位移，而在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中，各質(zhì)點(diǎn)位移比值將始終保持不變。

5 結(jié)束語(yǔ)

兩個(gè)線性彈簧振子的耦合，其固有頻率有兩個(gè)，只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，振子作周期性振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)是兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加得到。考慮到外加激勵(lì)時(shí)，為了防止共振，激勵(lì)的頻率應(yīng)避開(kāi)兩固有頻率。

[1]楊正波，夏清華.耦合彈簧振子系統(tǒng)的研究[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，2（1）.

[2]周衍柏，理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1984.

[3]胡少華，苗同臣.結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論及其應(yīng)用[M].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2005.

STUDY ON THE NATURAL FREQUENCY OF COUPLING SYSTEM FOR DIFFERENT OSCILLATORS

ZHU Ren-yi
（Department of Physics and Electronic Science，Chaohu University，Chaohu Anhui 238000）

According to the motion of mass center and relative motion，the dynamic equation of coupling spring oscillator was established in this thesis.Based on the solution of latent root equation，the natural frequency of the system was determined and discussed.

coupling spring oscillator； natural frequency； amplitude ratio

O32

A

1672－2868（2010）06－0053－04

2010－09－16

朱仁義（1958－），男，安徽和縣人。高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，研究方向：理論物理。

責(zé)任編輯：宏 彬