多元函數(shù)極值求法探討

陳惠汝

（黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，湖北 黃岡 438000）

多元函數(shù)極值求法探討

陳惠汝

（黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，湖北 黃岡 438000）

利用方向?qū)?shù)、梯度及內(nèi)積、二次型三種方法分別判別函數(shù)極值，通過(guò)二元函數(shù)求極值的方法介紹多元函數(shù)極值的求法.

多元函數(shù)；極值；方向?qū)?shù)；梯度；內(nèi)積；二次型；正定矩陣

函數(shù)極值不僅是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要問(wèn)題，也是我們解題中的一個(gè)難題。函數(shù)極值在應(yīng)用中也普遍存在。在生產(chǎn)和日常生活中我們總是希望減少消耗、增加利用率，而這些實(shí)際問(wèn)題都可以歸結(jié)為函數(shù)極值問(wèn)題。本文給出了幾種求多元函數(shù)極值的方法。

1 利用方向?qū)?shù)判斷多元函數(shù)的極值

引理 1[1]設(shè)二元函數(shù) f（x，y）在點(diǎn) p0（x0，y0）的某鄰域 U（p0）內(nèi)連續(xù)，在 U0（p0）內(nèi)可微，?p（x，y）∈U0（p0），用 l表示方向 p→p0.

（ⅰ）若 fl′（p）＞0，則 f（p）在點(diǎn) p0取得極大值；

（ⅱ）若 fl′（p）＜0，則 f（p）在點(diǎn) p0取得極小值。

與二元函數(shù)相類似，多元函數(shù)也可以利用方向?qū)?shù)來(lái)判斷極大值和極小值.現(xiàn)將上述引理推廣到多元函數(shù)的情況并舉例說(shuō)明。

定理 1 設(shè)多元函數(shù) f（x1，…，xn）在點(diǎn) p0（x01，…，x0n）的某鄰域 U（p0）內(nèi)連續(xù)，在 U0（p0）內(nèi)可微，?p（x1，…，xn）∈U0（p0），用 l表示方向 p→p0.

（ⅰ）若 fl′（p）＞0，則 f（p）在點(diǎn) p0取得極大值；

（ⅱ）若 fl′（p）＜0，則 f（p）在點(diǎn) p0取得極小值。

推論 1 設(shè)多元函數(shù) f（x1，…，xn）在 p0（x01，…，x0n）的某鄰域 U0（p0）內(nèi)連續(xù)，在 U0（p0）內(nèi)可微，對(duì)?p（x1，…，xn）∈U0（p0）

（ⅰ）若 fx1（x1-x01）+…+fxn（xn-x0n）＜0，則 f（x1，…，xn）在 p0取極大值；

（ⅱ）若 fx1（x1-x01）+…+fxn（xn-x0n）＞0，則 f（x1，…，xn）在 p0取極小值。

例 1 討論三元函數(shù) u=f（x，y，z） =x2+y2+z2+2x+4y-6z的極值。

解 先求三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們?yōu)?。解方程組得穩(wěn)定點(diǎn)，再利用定理的推論確定極值。

ux=2x+2=0， uy=2y+4=0，uz=2z-6=0求得穩(wěn)定點(diǎn)為（－1，－2，3）.

∵（x+1）（2x+2）+（y+2）（2y+4）+（z-3）（2z-6）=2（x+1）2+2（y+2）2+2（z-3）2＞0

由推論知 u=f（x，y，z）=x2+y2+z2+2x+4y-6z在點(diǎn)（－1，－2，3）處取得極小值。

2 利用梯度及內(nèi)積計(jì)算多元函數(shù)的極值

引理 2[2]設(shè) f（x）在點(diǎn) x0連續(xù)，在 U0（x0，δ）內(nèi)可微，

（ⅰ）若 x∈U0（x0，δ），有（x-x0）f′（x）＜0，則 f（x）在 x0點(diǎn)取得極大值；

（ⅱ）若 x∈U0（x0，δ），有（x-x0）f′（x）＞0，則 f（x）在 x0點(diǎn)取得極小值。

對(duì)于有些多元函數(shù)我們也可以利用梯度及內(nèi)積的方法求極值。由上述引理可推廣到多元函數(shù)的情況，文[2-4]都進(jìn)行了討論有如下定理。

定理 2 設(shè)多元函數(shù) f（x1，…，xn）在 p0（x01，…，x0n）點(diǎn)連續(xù)，在 U0（p0）內(nèi)可微，

（ⅰ）若?p（x1，…，xn）∈U0（p0），有（x1－x01， x2－ x02，…，xn-x0n）·gradf＜0，則 f（x1，…，xn）在 p0點(diǎn)取得極大值；

（ⅱ）若?p（x1，…，xn）∈U0（p0），有（x1－x01， x2－ x02，…，xn-x0n）·gradf＞0，則 f（x1，…，xn）在 p0點(diǎn)取得極小值。

由于極值只可能在穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)處取得，因此，定理2可對(duì)這樣的兩類點(diǎn)使用。

例 2 求 f（x，y，z）=x2+y2+z2－3xy＋2x 的極值

3 利用二次型求多元函數(shù)的極值

定義 3[5]設(shè)函數(shù) y=f（x1，…，xn）在 x0=（x01，…，x0n）點(diǎn)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，稱矩陣

為函數(shù) y=f（x1，…，xn）在 x0點(diǎn)的海色矩陣。

引理 3 設(shè)函數(shù) y=f（x1，x2，x3）在點(diǎn) p0的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，并且 gradf（p0）＝0，則

（ⅰ）若矩陣 Hf（p0）是正定矩陣，則 y=f（x1，x2，x3）在 p0處取得極小值；

（ⅱ）若矩陣 Hf（p0）是負(fù)定矩陣，則 y=f（x1，x2，x3）在 p0處取得極大值；

（ⅲ）若矩陣 Hf（p0）是不定矩陣，則 y=f（x1，x2，x3）在 p0處不取極值。

定理 3[4,5]設(shè) n 元函數(shù) y=f（x1，…，xn）在 x0=（x01，…，x0n）的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且 gradf（x0）＝0，則

（ⅰ）若 Hf（x0）是正定矩陣時(shí) ，則 x0為 f（x）的極小值點(diǎn)；

（ⅱ）若 Hf（x0）是負(fù)定矩陣時(shí)，則 x0為 f（x）的極大值點(diǎn)；

（ⅲ）若矩陣 Hf（p0）是不定矩陣時(shí)，則 f（x）在 x0處不取極值。

例 3 求函數(shù) f（x，y） =x3+y3+3x2y-3y2-9y 的極值

解 f在R2二階連續(xù)且可微，先求穩(wěn)定點(diǎn)。

在點(diǎn)（0，3）， Hf為正定矩陣，所以 f在（0，3）處有極小值 f（0，3）=-27.

在點(diǎn)（0，－1），Hf為負(fù)定矩陣，所以 f在（0，－1）處有極大值 f（0，－1）=5.

若函數(shù) f（x1，…，xn）在有界閉域 D 連續(xù)且可微，則 f（x1，…，xn）在 D 上必達(dá)到最大值或最小值。設(shè)f（p0）=M（或 m），若 p0是 D 的內(nèi)點(diǎn)，則 p0是 f（x1，…，xn）的極值點(diǎn)，但可能發(fā)生 p0∈?D.因此，為了找出f（x1，…，xn） 在 D 的最大最小值，必須找出 f（x1，…，xn） 在 D 的極值點(diǎn)，再與邊界 ?D 的函數(shù)值比較，才能找出函數(shù)在D上的最大最小值；而實(shí)際問(wèn)題的最大最小值，可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷。

[1]余興民.利用方向?qū)?shù)判別函數(shù)極值[J].商洛師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002，16（4）：20-21.

[2]趙亞明，楊玉敏.多元函數(shù)極值的一種新方法[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，5（4）：7-9.

[3]蔡生.多元函數(shù)極值的一個(gè)判別法[J].遼寧教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，14（5）：11-13..

[4]趙俊.多元函數(shù)極值的判別方法探討[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2009，13：194-195.

[5]凌征球.二次型在求多元函數(shù)極值上的應(yīng)用[J].廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，8（2）.

[6]程國(guó)，劉亞亞.求多元函數(shù)極值的二次型方法[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24（5）：20-23.

THE DISCRIMINANCES AND APPLICATIONS OF THE INFINITESIMAL AND INFINITELY SEQUENCE OF NUMBER

CHEN Hui-ru
（College of mathematics and information science,Huanggang Normal University，Huanggang Hubei 438000）

This text makes use of a direction to lead a number,steps degree and inside accumulate,two types these three kinds of method distinguishes a function pole value respectively,the method which begs a pole a value through a 2 dollars function introduces diverse function to be worth vevy much of beg a method.

Several； Extreme value； Directional derivative； Gradien； Inner product； Qvariables uadratic form； Positive definite matrix.

O172.1

A

1672－2868（2010）06－0116－03

2010－09-23

陳惠汝（1978-），女，湖北英山人。黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

責(zé)任編輯：陳 鳳