論二次分式函數的值域

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(杭州市第九中學 浙江杭州 310020)

論二次分式函數的值域

●龔雷陳偉

(杭州市第九中學 浙江杭州 310020)

對于二次分式函數的值域問題，比較流行的解法是判別式法，但此法并不可靠．這一點已有不少文獻指出，但這些文獻基本上只是面向中學生的解題易錯點作出提醒，未從解法的理論依據進行研究．本文擬對此作個補遺，同時給出二次分式函數值域問題的另一種新的解決思路．

1 判別式法的理論依據

判別式法實質上就是運用函數與方程的思想以及化歸思想，把函數值域問題化歸為二次方程的根的討論問題．為了看清判別式法的理論依據，我們把這一化歸過程細化為以下問題鏈：

(3)若關于x的方程

(a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+(c2y-c1)=0

(1)

至少有1個實根，求y的取值范圍．

問題(1)是原問題，將問題(1)化歸為問題(2)的理論依據是函數的概念，這一過程不存在什么問題，這是一個等價轉換；從問題(2)轉化到問題(3)是一個方程同解變形過程，根據方程同解理論可知，這里去分母有可能產生增根，因此這在理論上講是一個不等價轉換，很多人以為判別式法的問題主要源自于這個不等價轉換．但追問一下“何時產生增根”就不難發現，當且僅當分子分母可約時有增根．而此時這個函數可以化簡為一次分式函數甚至常函數．因此對于分子分母不可約的一般情況而言，這個不等價轉換并不會影響結論．

2 判別式法的局限性

從以上討論可以看出，只要在問題(3)中不忘討論方程(1)的二次項系數是否為0，用判別式法求二次分式函數的值域并不存在太大的問題．

事實上，判別式法的局限性主要在還于當函數定義域不是自然定義域時，問題(2)、(3)中的“至少有1個實根”相應改成“在規定的定義域內至少有1個實根”，此時問題化歸為二次方程根的分布問題，要分“2個根均在定義域內(包括重根)”和“1個根在定義域內1個根在定義域外”這2種情況討論，再加上二次項系數是否為0的討論，共需討論3種情況.如例1所示：

解原問題等價于：關于x的方程

在區間[0，1]上至少有1個實根，求y的取值范圍.

(1)當y=1時，x=-2?[0，1]；

(2)當y≠1時，Δ=-3y2-4y+8.記

f(x)=(y-1)x2+(y-2)x+(y+1)，

得

①如果方程(2)有2個實根(包括重根)在區間[0,1]內，那么

即

②如果方程(2)有1個實根在區間[0，1]內，另1個實根在區間[0，1]外，那么

f(0)f(1)≤0,

即

根據筆者的經驗，能熟練掌握這種討論并且運算不出錯的學生很少．這樣，一個原本不是很難的問題被化歸為大部分高中學生不易解決的難題,因此這個解題思路方向并不能令人滿意．

3 另一種解題思路

例1另解由0≤x≤1知

x-2<0，

從而

(3)

1≤|x-2|≤2，

從而

此即為所求的函數值域．

在這一解法中，式(3)的代數變形能力要求稍高，如果遵循以下的問題化歸思路，那么就會有章可循，十分自然了.

4 求二次分式函數值域的化歸思路

(1)當a2=c2=0，b2≠0時，

當且僅當x=1時,等號成立,且當x無限接近于0時，y無限增大，故y∈(1,+∞)．

這是二次分式函數值域問題的最簡單、基本的情形.以下討論顯示，除一些平凡的或者退化的情形外，其他情形均可化歸為此類情形.

解(1)當x=0時，y=0；

(2)當x∈[-2,0)∪(0,2]時，由

得

從而

(3)當a2=0，b2≠0，c2≠0時，作變量代換u=b2x+c2，問題化歸為情形(1)．

解令x+4=t，則t∈[4,6]，于是

(4)當a1=0，b1≠0，c1≠0時，作變量代換u=b1x+c1，問題化歸為情形(2)．

解令x-3=t，則t∈[-3,-1]，于是

從而

(5)當a1a2≠0時，作以下變形：

則問題可化歸為情形(4)．例1就是這類情形的一個實例．

以上忽略了一些平凡和退化情形的討論，最后對此作一個交代：

(6)當分子分母可約，或a1,a2同時為0時，函數可化為(或退化為)一次分式函數或常函數，一次分式函數均可利用圖像平移化歸為反比例函數.

(7)當a2=b2=0時，函數退化為二次函數，當a1=b1=0時，函數是二次函數與反比例函數的復合.

限于篇幅，對以上幾種平凡和退化的情形不再舉例說明．