美式期權(quán)定價(jià)的一個(gè)非線性偏微分方程

陳耀輝

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

孫春燕

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

美式期權(quán)定價(jià)的一個(gè)非線性偏微分方程

陳耀輝

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

孫春燕

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

在最優(yōu)停時(shí)理論中，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則，得到了關(guān)于美式(看漲或看跌)期權(quán)定價(jià)的一個(gè)非線性Black-Scholes型偏微分方程，利用粘性解的概念證明了該偏微分方程的解的存在性和唯一性，由此得到了美式期權(quán)定價(jià)的一個(gè)新方法。

美式期權(quán)定價(jià)；動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則；非線性Black-Scholes型偏微分方程；粘性解

與歐式期權(quán)定價(jià)存在解析表達(dá)式相反，美式期權(quán)定價(jià)是沒(méi)有顯式解的，美式期權(quán)的無(wú)套利定價(jià)是最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題的解[1，2]。簡(jiǎn)單地說(shuō)，最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題的解可以通過(guò)2個(gè)主要的方法確定：一是基于擬變分不等式公式[3～5]，二是基于自由邊界問(wèn)題公式[6，7]。這2種方法都必須使用數(shù)值算法來(lái)確定美式期權(quán)價(jià)格，其優(yōu)點(diǎn)和不足見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

下面，筆者提出了關(guān)于美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的一個(gè)微分公式，在這個(gè)新的公式中，將要尋找一個(gè)函數(shù)v=v(t,x)滿(mǎn)足v(T,x)=g(x)和Black-Scholes類(lèi)的非線性偏微分方程：

(1)

式中，x≥0，t∈[0,T)；r，d，σ為給定的常數(shù)；并且非線性項(xiàng)q是如下的形式：

(2)

式中，“現(xiàn)金流”函數(shù)c(x)按下式定義：

(3)

1 美式期權(quán)定價(jià)理論

假設(shè)股息支付股票的價(jià)格動(dòng)態(tài)X(s)=Xl,x(s)是由幾何布朗運(yùn)動(dòng)(在等價(jià)鞅測(cè)度Q下)決定，即它按照下列隨機(jī)微分方程發(fā)展變化：

dX(s)=(r-d)X(s)ds+σX(s)dW(s)s∈(t,T]

(4)

其中，d≥0是股票的確定股息；r≥0是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；σgt;0是波動(dòng)度； {W(s)|s∈[0,T]}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；T是期權(quán)合約的執(zhí)行時(shí)間，具有初始條件X(t)=x。因此，一個(gè)美式期權(quán)的無(wú)套利定價(jià)是：

(5)

其中，上確界是對(duì)停時(shí)τ∈[t,T]而言；El,x表示在等價(jià)鞅測(cè)度Q條件X(t)=x下的期望。筆者將討論支付函數(shù)g:R→R:

(6)

式中，Kgt;0是合約的執(zhí)行價(jià)。

稱(chēng)式(5)所定義的V(t,x)是最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題的值函數(shù)。?ε≥0，若下列動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則[9]成立：

(7)

則τε將是一個(gè)ε-最優(yōu)停時(shí)，對(duì)任意停時(shí)t≤θ≤τε:

V(t,x)=El,x[e-r(θ-t)V(θ,X(θ))]

(8)

選擇ε=0，則τ0是一個(gè)最優(yōu)停時(shí)，且過(guò)程：

M(s)=e-r(s-t)V(s,Xl,x(s))t≤s≤τ0

(9)

是一個(gè)鞅。由式(8)可以推出下列關(guān)于最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則[10]：

對(duì)任意停時(shí)θ∈[t,T]，有:

(10)

選擇τ=T，對(duì)任意停時(shí)θ∈[t,T]有：

V(t,x)≥El,x[e-r(θ-l)V(θ,X(θ))]

(11)

注：若選擇τ=t，則有V(t,x)≥g(x)(稱(chēng)為早期執(zhí)行合約)。

式(5)定義的價(jià)值函數(shù)V(即美式期權(quán)定價(jià))可通過(guò)上述2種方法得到[3,4，6,8,11]。為了以后討論的方便，在此給出價(jià)值函數(shù)V的一個(gè)重要性質(zhì)。

證明由文獻(xiàn)[12]知V是連續(xù)的，V的上界和下界可以利用0≤g(x)≤K(對(duì)于看漲期權(quán))和0≤g(x)≤x(對(duì)于看跌期權(quán))導(dǎo)出。

2 粘性解的存在性與唯一性

下面討論具有終值條件：

V(T,x)=g(x)x∈[0,∞)

(12)

的非線性Black-Scholes方程：

LBSV(t,x)-rV(t,x)=-q(x,v(t,x)) (t,x)∈QT

(13)

該終端定價(jià)問(wèn)題的解構(gòu)造了美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的一個(gè)新的公式。

2.1粘性解的相關(guān)概念

(14)

另外，在[0,∞)上，如果v|l=T≤g，則v是終值問(wèn)題式(13)的一個(gè)粘性下解。

另外，在[0,∞)上，如果v|l=T≥g，則v是終值問(wèn)題式(13)的一個(gè)粘性上解。

引理1假設(shè)xgt;0時(shí)，v是式(13)的一個(gè)下解(上解)，則當(dāng)x≥0時(shí)，v也是式(13)的一個(gè)下解(上解)。

并且在(t,x)處，v-φ有一個(gè)最大值(最小值)[13]。所以有下面基于半射流的上下解的等價(jià)定義：

2.2存在性與唯一性

為證明粘性解唯一性的需要，下面直接引入半連續(xù)函數(shù)的最大值原則：

a≤C，如果(a,p,X)∈P2、+v(t,x)，|x-xφ|+|t-tφ|≤ρ，|v(t,x)|+|p|+|x|≤M

則?Kgt;0，存在實(shí)數(shù)aφ,bφ∈R和2階矩陣Xφ,Yφ使得：

并且aφ-bφ=?lφ(tφ,xφ,yφ),對(duì)稱(chēng)的2階矩陣A的范數(shù)定義為：

‖A‖=sup{|lt;Aξ,ξgt;||ξ∈R2,|ξ|≤1}

這里對(duì)看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)C1=0且C2=1，對(duì)看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)C1=K且C2=0。該解v與美式期權(quán)定價(jià)V相一致。

定理1的證明分2步進(jìn)行，第1步(定理2)，證明美式期權(quán)定價(jià)式(5)是終值問(wèn)題式(13)的一個(gè)粘性解，由此提供了存在性的結(jié)果。第2步(定理3)，證明一個(gè)關(guān)于上下解的比較原則，它暗示粘性解的唯一性。

2.2.1存在性

引理3式(6)定義的支付函數(shù)g是式(13)的一個(gè)下解。

證明只考慮看漲期權(quán)g(x)=(x-K)+的情形(看跌期權(quán)證法類(lèi)似)。分下列5種情形來(lái)考慮：

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=0

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=0

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=0

LBSg(x)-rg(x)+q*(x,g(x))=dx-rK≥0

定理2式(5)定義的價(jià)值函數(shù)V(t,x)是終值問(wèn)題式(13)的一個(gè)粘性解。

證明通過(guò)對(duì)式(5)的檢驗(yàn)，V顯然滿(mǎn)足終值條件(12)。由此和性質(zhì)1，下面只須證明V既是非線性Black-Scholes方程式(13)的一個(gè)下解也是上解。

LBSφ(t,x)-rV(t,x)=LBSφ(t,x)-rφ(t,x)≤0

LBSφ(t,x)-rV(t,x)≥0

LBSφ(t,x)-rV(t,x)+q*(x,V(t,x))≥0

這就得出下解性質(zhì)的證明，定理2證畢。

2.2.2唯一性

(15)

進(jìn)一步，假設(shè)存在一個(gè)有限常數(shù)C使得：

(16)

(17)

故終值問(wèn)題式(13)至多存在一個(gè)粘性解v(t,x)，它是遞增的且至多在x處是線性的(當(dāng)x→∞ )。

(18)

Φ(t,x,y)中懲罰函數(shù)Ψ(x,y)構(gòu)造如下：

(19)

?αgt;1和足夠小的ε，利用Φ(T,0,0)≤Φ(tα,xα,yα)和(16)，則有：

這就表示存在一個(gè)有限常數(shù)Cε(依賴(lài)于ε)使得xα,yα≤Cε。由此得到存在一個(gè)序列，仍記為(tα,xα,yα)，它收斂于(tε,xε,yε)∈[0,T]×[0,∞)×[0,∞)，當(dāng)α→∞(對(duì)每個(gè)固定的ε)，由文獻(xiàn)[7]得到最大值點(diǎn)(tα,xα,yα)滿(mǎn)足：

考慮一種特殊的情形tε=T，注意到：

(20)

根據(jù)粘性上下解的定義有：

(21)

其中:

更進(jìn)一步，在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上使用式(20)便有：

根據(jù)H*和H*可能值的檢驗(yàn)，可看出：

-C(yα)≤E4(α)≤max(0,C(xα)-C(yα))

如果λ選擇足夠大，上述不等式總是成立，與式(18)矛盾，故定理3成立。

[1]Bensoussan A.On the theory of option pricing[J]. Acta Appl Math，1984，2(2):139～158.

[2]Karatzas I.On the pricing of American options[J]. Appl Math Optim，1988，17(1):37～60.

[3]Bensoussan A，Lions J L.Applications of variational inequalities in stochastic control[M]. Amsterdam: North-Holland Publishing Co, 1982.

[4]Bensoussan A, Lions J L.Impulse control and quasivariational inequalities[M].Montrouge: Gauthier-Villars, 1984.

[5]Jaillet P, Lamberton D， Lapeyre B.Variational inequalities and the pricing of American options[J].Acta Appl Math，1990，21(3):263～289.

[6]McKean Jr H P.Appendix: a free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics[J]. Indust Manage Rev，1965，(6):32～39.

[7]Crandall M G， Ishii H， Lions P L. User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations[J]. Bull Amer Math Soc(N.S.) ，1992，27(1):1～67.

[8]Myneni R.The pricing of the American option[J]. Ann Appl Probab，1992，2(1):1～23.

[9]Shiryayev A N. Optimal stopping rules[M]. New York: Springer, 1978.

[10] Krylov N V. Controlled diffusion processes[M]. New York: Springer, 1980.

[11]Van Moerbeke P.On optimal stopping and free boundary problems[J]. Arch Rational Mech Anal，1975-1976，60(2):101～148.

[12] Karatzas I, Shreve S E. Methods of mathematical finance[M]. New York: Springer, 1998.

[13]Fleming W H, Soner H M.Controlled Markov processes and viscosity solutions[M]. New York: Springer, 1993.

[編輯] 洪云飛

O211.9

A

1673-1409(2010)01-N011-06