具有切換拓撲和時滯的復雜網絡自適應同步控制研究

周武能 王天波 鐘慶昌 方建安

(東華大學信息科學與技術學院，上海 201620 中國科學院上海微系統與技術研究所無線傳感器網絡與通信重點實驗室，上海 200050) (東華大學信息科學與技術學院，上海 201620；上海工程技術大學基礎教學學院，上海 200051) (拉夫堡大學航空與汽車工程學院，萊斯特 英國 LE11 3TU) (東華大學信息科學與技術學院，上海 201620)

具有切換拓撲和時滯的復雜網絡自適應同步控制研究

周武能 王天波 鐘慶昌 方建安

(東華大學信息科學與技術學院，上海 201620 中國科學院上海微系統與技術研究所無線傳感器網絡與通信重點實驗室，上海 200050) (東華大學信息科學與技術學院，上海 201620；上海工程技術大學基礎教學學院，上海 200051) (拉夫堡大學航空與汽車工程學院，萊斯特 英國 LE11 3TU) (東華大學信息科學與技術學院，上海 201620)

利用 Lyapunov 穩定性理論、Kronecker 乘積分析技巧以及自適應控制方法，研究了具有切換拓撲和時滯(時滯同時包含離散和分布時滯，且網絡拓撲結構不是固定不變的，而是按照Markov鏈進行切換)的復雜網絡同步控制問題，給出了一些同步條件和自適應控制器的設計方法(此控制器依賴于滯后狀態和Markov鏈)，最后以數值算例說明該方法的有效性。

自適應同步；復雜網絡；時滯；Lyapunov 穩定性

近年來，隨著因特網、萬維網、電話網絡等網絡技術的發展和廣泛應用，復雜網絡已經成為科學研究和工程應用領域的一個熱點問題[1～4]。網絡同步作為網絡最重要的一個動態行為，已經得到了廣泛的研究，并取得了一些重要結果[5～10]。時滯作為網絡中的常見現象，往往會導致網絡在運行中出現振蕩和不穩定。因此，對具有時滯的復雜網絡同步問題研究具有重要的理論意義和應用價值[11～16]。

當前對復雜網絡同步的研究主要是針對具有固定拓撲結構的網絡[8,9,11]。然而，在實際應用中，還存在著大量拓撲結構隨時間隨機變化的網絡，此時網絡中節點的數量和連接邊是隨機變化的，于是對隨機復雜網絡的研究是必要的。文獻[15]利用 Kronecker 乘積和隨機分析工具，研究了復雜網絡的指數同步問題，而且給出了網絡同步條件；文獻[16]采用分割時滯的方法，構造出一個新穎的Lyapunov 函數，得到了一類隨機時滯復雜網絡的同步條件。

下面，筆者利用自適應控制方法研究一類具有切換拓撲的時滯復雜網絡同步問題，給出了一些關于具有切換拓撲的時滯復雜網絡同步條件。

1 問題描述

用到的記號如下：Rn和Rn×m分別表示n維歐氏空間和n×m實矩陣；AT表示矩陣A的轉置；對于給定的對稱矩陣X和Y，X≥Y(Xgt;Y)表示X-Y是一個對稱半正定矩陣(正定矩陣)；In表示n階單位矩陣；“* ”表示矩陣中關于主對角線對稱的元素；C(Rn,Rn)表示從Rn到Rn的連續向量值函數；?代表Kronecker乘積；λ(H)表示矩陣H的特征值。

考慮如下有N個節點通過線性耦合組成的復雜網絡，每個節點是一個n維子系統：

Markov鏈σ(t)的狀態轉移概率矩陣∏=[πij]∈Rq×q滿足：

(2)

式中：

(3)

πijgt;0(i≠j；i,j∈S)是從狀態i到狀態j的轉移概率：

(4)

外耦合矩陣G(σ(t))=(gij(σ(t)))N×N∈RN×N和H(σ(t))=(hij(σ(t)))N×N∈RN×N代表網絡的拓撲結構，并且按照Markov鏈σ(t)隨機跳躍；gij(σ(t))和hij(σ(t))的定義如下：如果節點i和節點j之間存在信息交換，則gij(σ(t))=1或hij(σ(t))=1；否則，gij(σ(t))=0或hij(σ(t))=0，而且，矩陣G(σ(t))和H(σ(t))中的元素滿足：

為描述方便，記：

σ(t)=r(r=1,2,…,q)

G(σ(t))=G(r)=GrH(σ(t))=H(r)=Hr

F(x(t))=(fT(x1(t)),fT(x2(t)),…,fT(xN(t)))T

則復雜網絡(1)可以寫成如下形式：

(5)

注1 與一些已有的復雜網絡的結果(如文獻[10,13～14])不同，網絡(1)中外耦合矩陣是隨機躍變而不是固定的，這更加符合實際。

設同步的目標節點是：

(6)

一般地，y(t)可能是系統的平衡點、周期環或者是混沌吸引子。筆者的目的是對每個節點設計自適應控制率ui(t)，使得復雜網絡(1)與y(t)同步，即：

式(1)減去式(6)，且令ei(t)=xi(t)-y(t)，得：

即：

(8)

筆者所設計的自適應控制律為：

ui(t)=-ki(t)ei(t)-wi(t)ei(t-d)

式中，ki(t)和wi(t)是時變控制增益，滿足：

(9)

(10)

式中，αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N)和Pr(r∈S)分別是待定的常數和對稱正定矩陣。

自適應控制器式(9)和式(10)依賴于誤差狀態ei(t)和滯后ei(t-d)，如果將控制律寫成：

ui(t)=-(ki(t)+wi(t))ei(t)+wi(t)(ei(t)-ei(t-d))

這正是文獻[17]中的滯后型PID控制器。

2 假設條件和重要引理

假設1 對于給定的狀態xi(t)和y(t)，非線性函數f(·)∈C(Rn,Rn)滿足:

(xi(t)-y(t))TP[f(xi(t))-f(y(t))]≤-η(xi(t)-y(t))T(xi(t)-y(t))

式中,Pgt;0是對稱正定矩陣;ηgt;0是已知常數。

假設2 復雜網絡(1)是連通的，也就是說，網絡中不存在孤立節點。

引理1 已知w(t):[hm,hM]→Rn是可積向量函數，則對于任意給定的正定矩陣Ω∈Rn×n和常數hmgt;0，hMgt;0,有：

式中，h1(t)和h2(t)是可微函數且滿足0lt;hm≤h1(t)≤h2(t)≤hM。

引理2[20]Kronecker乘積?具有下列性質：

1)(A+B)?C=A?C+B?C,C?(A+B)=C?A+C?B;

2)(A?B)T=AT?BT;

3)(A?B)-1=A-1?B-1;

4)(A?C)(B?D)=AB?CD。

式中，A，B，C，D是具有適當維數的矩陣。

記：

K(t)=diag{k1(t),k2(t),…，kN(t)}?In

W(t)=diag{w1(t),w2(t),…,wN(t)}?In

E=(1,1,…,1)T∈RNΛα=diag{α1,α2,…,αN}Λβ=diag{β1,β2,…,βN}

1-h1=μ11-h2=d2μ2

則有：

式中，Pr,Q1,Q2,Q3是對稱正定矩陣；IN是N階單位矩陣。

3 主要結論

定理1 在假設1和假設2下，如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Q3gt;0,Prgt;0(r∈S)和常數αi≠0，βi≠0(i=1,2,…,N)，ηgt;0滿足：

(11)

證明取Lyapunov函數為：

V(t)=V1(t)+V2(t)

將V1(t)和V2(t)分別沿系統(8)的狀態軌線求導，得:

=eT(t)(IN?Pr)[F(x(t))-F(y(t))+c1(Gr?Γ1)e(t-τ1(t))

-eT(Λα?Pr)e(t)-eT(Λβ?Pr)e(t-d)

(12)

根據假設1，有：

eT(t)(IN?Q1)(F(x(t))-F(y(t)))≤-ηeT(t)e(t)=-ηeT(t)(IN?In)e(t)

利用式(12)～(16)，得：

(17)

式中：

再利用Schur補引理可知，如果不等式(11)成立，則ψlt;0。所以：

注3 在定理1的證明中，筆者用的是完全平方公式而不是不等式±2aTb≤aTPa+bTP-1b，這樣得到的結果具有較小的保守性。

作為一個特例，當σ(t)=1時，可以得到如下的推論。

推論1 在假設1和假設2下，如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Q3gt;0,Pgt;0和常數αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N)，ηgt;0滿足：

(18)

則復雜網絡：

(19)

當自適應控制律不含時滯項時，即ui(t)=-ki(t)ei(t)，有如下推論。

推論2 在假設1和假設2下，如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Prgt;0(r∈S)和常數αi≠0(i=1,2,…,N)，ηgt;0滿足：

(20)

注4 利用Matlab中的mincx命令，可以通過求解不等式(11)得到η的最優值。

4 數值算例

考慮一個由5個節點，每個節點都是三維子系統以及2個切換模態構成的復雜網絡(1)，函數f(xi)=(-2.5xi1,-2xi2,-3xi3)T，當取η=3,c1=0.4,c2=0.7時，假設1滿足。假定外耦合矩陣分別是：

圖1 目標節點的狀態軌線

利用Matlab中的線性矩陣不等式工具箱，可以得到不等式(11)的可行解為:

P1=diag{0.0602,0.0648,0.0654}

P2=diag{0.0503,0.0574,0.0621}

Q1=diag{0.7842,0.7994,0.8200}

Q2=diag{0.7524,0.7449,0.7292}

Q3=diag{0.8652,0.8864,0.8964}

在自適應控制律的作用下，誤差系統(8)的狀態軌線如圖2和圖3。圖2表明誤差系統是穩定的，5個節點是同步的。圖3表明當網絡達到同步后，控制器的增益為常數。

圖2 誤差系統的狀態軌線(i=1,2,…,5)

5 結 語

利用 Lyapunov-Krasovskii 穩定性理論，完全平方公式和 Kronecker 乘積分析技巧，研究了具有切換拓撲和時滯的復雜網絡自適應同步控制問題，得到了網絡同步的一些條件和控制器的設計方法。數值仿真說明筆者的方法是有效的。

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[編輯] 洪云飛

O231.5

A

1673-1409(2010)03-N001-08

2010-06-27

國家“863計劃”項目(2008AA042902)；國家自然科學基金資助項目(61075060，60874113)；中國高等教育博士研究基金項目(200802550007)；上海市教委科學研究和創新項目(09ZZ66)；上海市基礎研究項目(09JC1400700)；工業控制技術國家重點實驗室開放基金項目。

周武能(1959-)，男，1982年大學畢業，博士，教授，現主要從事復雜網絡穩定性與同步、隨機系統分析與綜合、魯棒H無窮控制等方面的教學與研究工作。