基于積分法的鋁合金厚板深度殘余應力分析

廖凱 ，吳運新，龔海

(1. 中南大學 機電工程學院，湖南 長沙，410083；2. 桂林電子科技大學 教學實踐部，廣西 桂林 541003)

測試金屬表面殘余應力的方法有多種，應用廣泛的有鉆孔法、X線衍射法[1?2]等。在對金屬內部殘余應力進行測試的方法中，無損檢測技術有中子衍射方法，但這種方法所要求的實驗硬件條件在國內還無法實現(xiàn)，因此，在金屬內部特別是在板材內部，殘余應力的檢測均為有損檢測，其中層削法和裂紋柔度法最常用[3?4]。1931 年 St?blein 等采用層剝法對直梁內應力進行了測定[5]，并推導了應用于方板上的數學模型。而裂紋柔度法是一種較新被研究和應用的測試方法。一些研究者結合有限元法簡化了應力因子的計算，用常規(guī)方法檢測殘余應力，如 Prime等[6?9]利用有限元法計算裂紋柔度系數，推廣了裂紋柔度測試級數，并認為所有這類應力有損檢測方法的數學模型都可以用第一類 Volterra積分來描述并求解。國內王樹宏等[10?13]運用上述求解方法對鋁合金厚板全厚度殘余應力進行了測試研究。在層削測試方法[11]的基礎上采用一種具有離散法性質的計算方法，這種算法對復雜應力狀況缺乏穩(wěn)定的連續(xù)描述能力。為此，本文作者將線性積分形式在層削法和裂紋柔度法數學模型中的應用進行歸納和總結，分析這2種測試方法的建模過程和計算特點，并結合實驗，對這2種測試方法的計算結果進行比較和分析。

1 積分法

由于機械加工和采用熱處理工藝，鋁合金材料不可避免地產生內部殘余應力[14]。殘余應力是一種產生于材料內部的自平衡彈性力，測試厚板殘余應力的力學方法一般為：沿厚度方向，按一定增量步長(厚度)，通過機械方法剝除或破壞帶有應力的厚度層，從而使相鄰試件因力平衡狀態(tài)的改變而變形，用測得的變形反求出剝除層應力。在測試中，由于是用某一點的應變衡量整個厚板的變形，樣本的變形量與剝除層待求應力所依據的實體分離，測定并不在同一個區(qū)域或同一個點，因此，無法直接通過變形來反求應力。求解方法可用積分法。Schajer等[15]通過對有損測試方法研究后提出：第一類Volterra積分形式描述這種應力?應變的關系非常有效，即試件剝除后的變形量是剝除層應力與變形對應力敏感函數(核函數)在剝除厚度上的積分。這類求解方法稱為積分法，該法用離散實驗數據求解得到 1條連續(xù)變化的應力場分布曲線，其方程為：

式中：t為剝除層厚度；σ(H)是板厚為H時的初始應力；ε(t)為實測應變；f(H,t)為變形對板厚H處應力的敏感函數即核函數。

1.1 層削法(Removal layer method)

由軋制?淬火厚板熱應力形成的對稱性特點可知，厚板應力為平面應力，為簡化分析，設沿板材厚度z向的殘余應力為0，且對稱于厚度中性面，σz=0，σx= σx(z )， σy= σy(z)，1/2厚板切削過程示意圖如圖1所示。測量時，應變片貼于厚板中心處。

圖1 試件層削法力學模型Fig.1 Mechanical model of removal layer method

式中：ν為泊松比。以x向應變?yōu)槔瑲堄鄳Ψ植剂土仄胶鈼l件為：

其中：H為板厚。在剝除層深度為t時，應力平衡條件改變，附加力和附加力矩產生的附加應力 σFx(t)和σMx(t )與初始應力 σx( z)疊加，構成新的平衡狀態(tài)，滿足：

由剝除層后附加力和附加彎矩產生變形的實測應變?yōu)椋?/p>

式中：E為彈性模量。則應力?應變積分形式為：

假設待求殘余應力為多項式 P，求解出待定系數Ai和 Bi即可。

聯(lián)立式(6)～(7)可以求解待定系數[16]。假設對式(6)～(7)都以相同階次多項式近似，則

1.2 裂紋柔度法(Crack compliance method)

該法是在被測物表面引入1條逐漸深入的裂紋，使裂紋處殘余應力釋放，通過測量裂縫對面處的應變計算殘余應力。測試力學方法如圖2所示。由于該法既可測試表面應力，也可測試深度方向應力，因此，應變片可以根據需要在不同的地方布置，對深度應力的描述要求應變片貼在板的底面上且底面和裂紋的交點處。此點對殘余正應力的響應最大，對殘余剪切應力的響應為 0。而測試表面應力時，可將片貼在靠近裂紋的上表面處。

圖2 試件裂紋柔度法力學模型Fig.2 Mechanical model of crack compliance method

試件內正應力 σx( z)在裂紋作用下，在距離裂紋s的應變片處產生水平位移u。假設在該位移處有一虛擬力 F，可作為沿寬度方向歸一化處理的點載荷，則由裂紋產生的應變能Uε為：

其中：KI(t )和(t,s )為分別由正應力和虛擬力引起的Ⅰ型應力因子。運用卡氏定理，上表面斷裂處水平位移為：

Cheng等[17]給出了求解Ⅰ型應力因子的方法，其中由虛擬點載荷F引起的正應力與位置函數 S(s, z)有關。當求裂紋正下方處的應變時，只需要將S(s, z)替換為S(s, H?z)，并令s=0即可。

初始殘余應力 σx( z)沿厚度方向應該是對稱的且分布曲線光滑，因此，可以用多項式代替應力形式(如式(10))：

其中：Ci為裂紋柔度函數。可以結合有限元和矩陣法[8]確定柔度矩陣和待定系數。柔度矩陣中的元素是對于深度為tj的切口處，由假設的多項式函數Pi(x)所導致的應變 ε ( tj)。由于待定系數(多項式階次+1)小于切割次數，因此，聯(lián)立式(12)，運用LSF求解待定系數Ai。

聯(lián)立式(15)和(16)求解得：

式中：ε( tj)為有限元模擬中每一次切深在切口對面處產生的應變；{εmeas}為實測應變。

2 實驗與分析

從理論建模和實驗結果分析可知：由于獲得變形的方法以及運用的理論基礎存在差異，采用層削法和裂紋柔度法測試殘余應力并非都可以得到滿意的結果，測試結果存在差異。

2.1 實驗方法

為驗證上述2種測試方法在不同應力厚板測試中的測試效果及差異性，實驗選用7075軋制厚板，熱處理工藝為：固溶480 ℃×2 h，20 ℃水淬+24 h自然時效。測試分2組：

(1) 非均勻應力場測試。用長×寬×高為 160 mm×160 mm×32 mm的厚板2塊，直接于20 ℃水浴淬火。由于受淬火邊緣效應的影響，待測厚板在同一深度上平面應力分布不均勻程度和應力較大。

(2) 均勻應力場測試。先將長×寬×高為 1 200 mm×220 mm×32 mm 的實驗厚板用噴水(20 ℃)淬火，殘余應力與前者相比較低；再從厚板中部截取長×寬×高為120 mm×120 mm×32 mm厚板2塊，以保證應力在軋制方向和橫向比較均勻。對每一組分別進行層削法和裂紋柔度測試實驗，在層削法實驗中，在LEADWELL V?60A數控加工中心進行銑削。為減小加工應力的影響，銑刀轉速為1 000 r/min，進給速度為50 mm/min[18]。裂紋柔度法時，裂紋引入型號為DK系列線切割機，進給速度為3 mm/min，頻率為85 Hz。

非均勻板由于受邊緣和二維表面淬火影響，應力沿平面2個方向分布極不均勻，極易形成非均勻應力場，而均勻板由于取自大尺寸板心部，根據圣維南原理，應力沿平面2個方向分布較均勻。為了便于比較，在不影響實驗真實性前提下，根據假設，對實驗數據沿板厚進行對稱化處理。

圖3 層削法與裂紋柔度法測試結果對比Fig.3 Comparison of solution between removal layer method and crack compliance method

2.2 結果分析

在力學建模的假設條件中，殘余應力沿厚度方向變化，在其他2個方向均勻不變。但無論是均勻板還是非均勻板，平面應力在各個方向上分布都不可能均勻。例如在某一層上，在軋制方向和橫向上應力不均勻程度不同。圖3(a)所示為非均勻應力厚板在2種測試方法下得到的應力分布曲線，其中2條曲線顯示了相同的演變規(guī)律，即淬火厚板常見的“外壓內拉”分布。比較圖3(a)中的2條曲線可以發(fā)現(xiàn)：它們的不同之處體現(xiàn)在應力不同，用層削法計算的應力為?180～98 MPa，其范圍明顯大于裂紋柔度法計算所得的?102～80 MPa；而相同的特征則反映在兩者計算結果于厚板中心區(qū)域所反映出來的應力梯度變化都很小，這也反映了不同積分計算方法具有相似性。圖3(b)所示為均勻應力厚板在 2種測試方法下的應力分布曲線，2條曲線吻合程度提高，說明在一定條件下，2種獨立的力學測試方法都能描述厚板內應力，具有一定的互換性。

通過比較測試結果發(fā)現(xiàn)：在厚板表面和中心部位應力計算結果存在差異，這種差異可從計算方法和實驗綜合考慮。除了銑削加工應力遠大于電火花加工應力而導致誤差外，由于層削法是用若干點的應變平均值這個單一變量描述整個厚板變形程度和狀態(tài)，而獲得的卻是剝除層內平均應力，這不可避免地使計算值與真實值偏離；而裂紋柔度法所得應力反映了裂紋處應力的平均值，斷裂變形測試受不均勻變形的影響小，用測得的應變反映斷裂程度較符合客觀現(xiàn)象。因此，前者的實驗測試誤差大于后者。

此外，這2種方法的力學模型都是建立在忽略了材料各向異性特點、假設材料均勻連續(xù)的經典彈性和線彈性斷裂力學基礎上，與實際情況相比存在差異，這也給計算結果帶來了誤差。

在求解過程中，由于銑削次數遠少于裂紋引入次數，求解線性方程借助最小二乘法處理的多項式系數的階次就少，因此，表征應力曲線的準確度與后者相比較低，其抗干擾能力弱。

采用層削法時，1次切削深度為2 mm左右，求解結果是整個剝除層的平均應力，并不是某一確切位置上的應力；而采用裂紋柔度法時，雖然可以1次切深0.5～1.0 mm，但受表面復雜應力和板件自重的影響，靠近表面的應力都會出現(xiàn)較大波動，需要進行數學處理。因此，采用這2種方法得到的應力分布曲線都不能準確地反映厚板表面應力，甚至與X線表面應力測試所得的應力不同，而用于描述厚板沿厚度應力場分布非常有效。這是積分法力學測試的特點之一。

3 結論

(1) 積分法適用于厚板殘余應力測試方法的數學計算，如層削法、裂紋柔度法、鉆孔法等。通常這類通過力學破壞而獲得變形，從而反求應力的計算方法，幾乎都可以運用積分法建立變形與應力之間的數學關系。

(2) 層削法可用來描述厚板沿厚度方向的平均殘余應力分布，屬于應力全部釋放型測試方法；裂紋柔度法則用于描述裂紋處沿厚度方向平均殘余應力分布，屬于應力局部釋放型測試方法，這對于描述厚板內部殘余應力特征有重要的意義。對內部應力均勻的試件，這2種測試方法所得結果很相近，然而，對不均勻試件的測試結果存在差別。

(3) 雖然厚板深度殘余應力的測試和計算方法還需要不斷完善、發(fā)展，但在現(xiàn)有實驗條件下，采用以上 2種測試方法從不同角度對厚板內應力場進行描述，仍然是目前評估厚板殘余應力的有效方法。

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