基于位移的格子法模擬彈性波傳播與應用*

熊 浩 高廣運 馮世進 歐湘萍

(臺州學院建筑工程學院1) 臺州 318000) (同濟大學地下建筑與工程系2) 上海 200092)

(同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室3) 上海 200092) (武漢理工大學交通學院4) 武漢 430063)

0 引 言

彈性波傳播的數值模擬在鐵道及城市軌道交通環(huán)境振動分析和隔振設計、地震勘探等領域有廣泛的應用.有限差分法、有限元法和偽譜法是三種主要的數值模擬方法.Virieux等[1]提出了基于應力-速度混合變量彈性波方程的交錯網格差分法,提高了差分法的計算精度和穩(wěn)定性.裴正林[2]將交錯網格計算技術與高精度差分計算格式結合起來,用于三維波動模擬.Chen[3]則進一步提出了旋轉交錯網格計算技術,增加了差分法模擬非均勻介質中波動問題的能力.有限元法雖理論成熟,適應性強,但計算所需存儲空間較大,計算效率稍差.偽譜法[4]則采用快速傅立葉變換計算空間導數,用差分法計算時間導數.通過引入映射函數雖可以使其在計算中考慮地表形狀的變化,但如何合理選擇映射函數有一定困難.

近年來,張劍鋒[5-6]給出了基于應力-速度混合變量彈性波方程及任意四邊形網格差分算子的數值方法——格子法,它融合了有限元可以適應復雜形狀邊界條件、有限差分法計算簡便及無須計算剛度矩陣的優(yōu)點,可以方便地引入任意形狀自由表面邊界條件.

本文基于以位移為變量彈性波方程,給出了二維格子法的計算方法,推導適合該法的人工邊界條件,并通過經典Lam b問題算例驗證了該方法的正確性.與傳統(tǒng)的基于混合變量的格子法相比,該方法采用單點高斯積分法計算線積分,提高了積分的準確性;文中所給出的人工邊界條件計算簡便,透射外行波效果良好.應用上述數值計算方法,本文分析了在不同填充溝深度條件下的隔振效果,即地表豎向振幅衰減系數變化.

1 計算方法

1.1 基本計算公式

在笛卡爾坐標系中,不計體力,均質彈性介質中彈性波傳播控制方程為

式中:ρ為彈性介質的密度,kg/m3;μ和λ為介質的Lamé系數,Pa;σx,σy,σz和 τxy為應力張量,Pa;ux和uy為位移,m.

將計算區(qū)域以三角形或四邊形網格進行離散,局部網格如圖1所示.圖中的實線是離散時所生成網格線,實心點j,k,l,…是網格線頂點;圖中的虛線是各段實線中點與網格中心點的連線,四邊形網格中空心點(如1,2,3,…)是各段虛線的中點,而三角形網格中的空心點(如點7)是三角形的中心點.如果在實心點處定義位移分量ui(i=x,y),那么對于四邊形網格而言,可以利用任意四邊形網格差分算子[6]計算位移在域內任意點處的空間一階導數值.

圖1 局部網格示意圖

對于三角形網格,以圖1中三角形 fm j為例,其中心點處的位移空間一階導數計算公式為[7]

式中:A為三角形 fm j的面積;(ui)f,(ui)m和(ui)j為三個頂點f,m,j處的位移值;bf=(yjym)/2,cf=(xj-xm)/2,(f→m→j→t),通過下標輪換可以類似地計算出 bm,cm等;(xj,yj),(xm,ym)分別為j,m點處的坐標.

從圖1可見,各個實心點周圍的虛線都圍成一個閉合區(qū)域.假定結點 f周圍虛線所圍的區(qū)域為 Ω,其邊界1-2-3-4-5-6-7記為 Γ.在 Ω上對式(1)積分可得

式中:α,β分別為邊界 的外法線方向余弦.采用集中質量模型,式(4)～(5)中的等號左端的面積積分可簡化為僅與 f點加速度有關,即分別為.式中:M f是區(qū)域 Ω的質量.對于式(3)右端的線積分,在邊界Γ每一段上采用單點高斯積分公式進行數值計算.此時,每段上的積分點正是邊界 Γ上的各個空心點.設式(4)和式(5)線積分值分別為(Ax)f和(Ay)f,則

對式(6)中二階導數應用中心差分公式計算,可得

式中:上標 n為nΔt時刻,類似地n+1代表(n+1)Δt時刻,n-1為(n-1)Δt時刻;Δt為計算時間步長.根據式(7),可求得

1.2 計算步驟

對節(jié)點 f而言,應用單點高斯積分公式,在邊界Γ上計算式(3)中線積分(Ax)f和(Ay)f,并把它們代入到式(7)中,計算出(n+1)Δt時刻的位移(un+1x)f,(un+1y)f.這樣,就完成了 f點從nΔt時刻到(n+1)Δt時刻的位移分量遞推計算.對于其他實心點,可以類似于 f點進行處理.從而整個實線網格上的全部節(jié)點在(n+1)Δt時刻位移可以完全確定.類似地,可以計算出(n+1)Δt時刻的位移場,直到設定的計算時間終點為止.

為了保證計算的穩(wěn)定,時間步長Δt與空間最小網格邊長h應滿足穩(wěn)定條件:Δt≤h/vp,式中:v p為縱波的波速.

1.3 自由表面邊界條件

假定在圖1中h,l,k是自由表面邊界上的節(jié)點.在 l點處,在圍線 l-Ma-9-3-2-8-Mb所圍區(qū)域內類似于式(4)～(5)建立平衡方程

式中:M l為上述圍線所圍區(qū)域的質量.

式(9)中線積分分為兩部分,其中Ma-9-3-2-8-Mb線段上的積分計算方法與前述式(4)～(5)中的線積分計算辦法完全相同.而Mbl-Ma線段上的積分事實上就等于作用于表面邊界上的已知外荷載.因此,在自由邊界上邊界條件可以方便地引入到計算中.

2 人工邊界條件

考慮到實際上波的傳播是在半無限域中進行的,而計算模型只能是有限的,因此必須在計算區(qū)域的邊界上引入人工邊界條件,以準確地模擬波的無限傳播.本文給出一種簡單實用的人工邊界條件.

將式(2)代入到式(1)中,可得

假定xoy坐標系旋轉θ角得到新坐標系xoy′,其坐標軸x′與平面上某處波的傳播方向相一致,忽略另一個軸方向波的傳播,亦即假定?/?y′=0.兩個坐標系之間有如下關系式

由此,可得

把式(13)代入到式(10～11)中,可得以矩陣表示的方程

對Q作特征值分解,Q=P-1ΛP,于是式(14)可以寫成

把xoy系中PU表達式代入上式中,可得

式中 :ux(vs)=ux(x-vsΔt cosθ,y+vsΔt sin θ,t-Δt),其余類似.由式(18)不難得到ux,yy的計算表達,可以發(fā)現邊界節(jié)點位移由前一時刻的鄰近節(jié)點的位移計算確定.在不同的邊界上,應選擇不同的θ,例如在邊界法線與 x正方向平行的邊界上,應取θ=0°計算,而在邊界法線方向與y軸的負方向上一致的邊界上,則應取θ=90°計算.

3 計算方法的驗證

為了本文計算方法的正確性,這里計算了Lamb問題,并將計算結果與解析解[8]進行了對比.假定半無限地基密度 ρ=2 250 kg/m3,其Lamé系數 μ=1.048×103MPa,λ=1.863×103MPa;計算區(qū)域為2 000 m×1 000 m的矩陣區(qū)域,采用邊長為5 m的正方形網格,時間步長取為0.002 s;振源為一垂直作用在地表中點的集中荷載,其表達式為 f(t)=exp(-200(t-0.178)2);計算采用上述人工邊界條件.圖2同時給出了地表上距垂直力源距離為500 m的點水平位移的解析解和本文數值計算結果,并給出了無人工邊界時的數值解結果.由圖可知,采用本文所述的計算方法及人工邊界條件所得的數值結果與解析解答基本吻合,由此可見本文方法的正確性;對比無人工邊界條件計算結果與有人工邊界條件計算結果,可見本文所述的人工邊界可以較好地透射出外行波,是一種有效的人工邊界條件.

圖2 水平位移分量的解析解與數值解的比較

4 填充溝隔振分析

振動對人們的生活與工作環(huán)境造成了不可忽視的影響,振動已被列七大公害之一.治理環(huán)境振動的有效途徑之一是設置屏障隔振,填充溝就是屏障隔振措施之一.利用上述的計算方法,本文研究了采用填充溝進行隔振時,不同的填充溝深度條件下的豎向振幅衰減變化.

圖3是計算模型.均勻彈性半空間地基的密度為ρs=2 000 kg/m3;剪切模量為G s=1.923×107Pa;泊松比v s=0.3.填充溝內填充物為橡膠,其密度ρ=1 200 kg/m3;剪切模量為G=9.655×105Pa;泊松比υ=0.48.振源是頻率為5 H z的正弦力,表達式為 f(t)=sin(10πt).假定填充溝的寬度不變,為2m;深度h變化,分別取10,12,15,18和20m;填充溝距振源為L1=50m;在填充溝后的地表,選取與填充溝距離為L2的若干個觀測點.

圖3 填充溝計算示意圖

Woods[9]研究屏障隔振時,提出在頻域分析中,對于隔振效果可采用振幅衰減系數 AR來衡量.類似地,本文定義豎向振幅衰減系數

用于評價隔振效果.根據這一定義,如果ˉAR值越小,則表明隔振的效果越好,反之則表明隔振效果不佳.

圖4是計算結果.為便于分析,圖中長度采用量綱一的量的長度:L*2=L2/λR,h*=h/λR,λR 是R 波波長,λR=18.188 m.由圖可知,對于所設置的不同填充溝深度,都可以取得一定的隔振效果.在計算模型中,隨著溝深度的逐步增加,各點隔振效果先有不同程度地降低,但當h*≈λR時,各點隔振效果卻達到最佳水平.這表明,增加填充溝深度最終是有助于增加隔振效果的.對于某一填充溝深度而言,填充溝后地表各觀測點的豎向振幅衰減系數均在 L*2=1.10λR～3.10λR,L*2=3.50 λR～4.75λR范圍內相對偏大,而在 L*2=3.30λR和L*2=4.95λR處相對較小.這說明:一方面,填充溝的深度達一定值后其變化對于豎向振幅衰減系數ˉA R影響不大;另一方面,填充溝的隔振效果是隨距離L*2而不斷變化的,在不同的距離處隔振效果相差較大,且存在著某個點,對應著最小豎向振幅衰減系數.所以在設計填充溝時,應注意選擇填充溝的位置,確保隔振保護區(qū)域為最小豎向振幅衰減系數,以達到最佳的隔振效果.

圖4 不同填充溝深度h*時豎向振幅衰減系數隨距離L*2變化曲線

5 結 論

1)本文基于以位移為變量彈性波方程,給出了二維格子法的計算方法,并推導適合該法的人工邊界條件.

2)經典的Lam b算例表明了本文計算方法的正確性和邊界條件的適應性.該方法能很好地適應不規(guī)則的邊界條件,且計算簡便、準確,可用于彈性波傳播及散射問題研究.

3)填充溝屏障隔振分析表明,增加填充溝深度有助于增加隔振效果,但填充溝深度并不影響最小豎向振幅衰減系數點的位置.

[1]V irieux J.P-SV w ave p ropagation in heterogeneous media:velocity-stress finite-difference method[J].Geophysics,1986,52(4):888-901.

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[3]Chen H,W ang X M,Zhao H B.A rotated staggered grid finite-difference with the absorbing boundary condition of a perfec tly matched layer[J].Chinese Science Bulletin,2006,51(19):2304-2314.

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[6]張劍鋒.彈性波數值模擬的非規(guī)則網格差分法[J].地球物理學報,1998,41(增刊):357-366.

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[9]Woods R D,Barnet N E,Sangesser R H.A new tool for soil dynamics[J].Journal of Geotechnical Engineering,1974,100(11):1231-1247.