面向制造的連續體結構拓撲優化設計方法研究

王明強 李治多

江蘇科技大學,鎮江,212003

0 引言

隨著拓撲優化理論的發展和拓撲優化工具的出現,拓撲優化已開始在航空、汽車等工程領域得到逐步應用。在拓撲優化中引入制造工藝約束使得優化技術更具吸引力,制造工藝約束是在概念設計階段需要考慮的重要因素。因此,拓撲優化作為一種產生設計概念的工具,可進一步實現與制造約束的集成,這對縮短概念設計和工程實現之間的距離有重要意義[1]。然而拓撲優化畢竟處于結構的概念設計階段,其結果對于后續的設計與分析過程僅有概念性的指導意義,拓撲優化結果的工程可利用性問題已經成為制約拓撲優化進一步發展的障礙之一[2]。

近幾年,國內外學者對結構拓撲優化問題開展了廣泛的研究。Thomas[1]在基本設計階段考慮制造約束,用數學優化技術結合基于結構分析的有限元技術實現了設計的最優拓撲布局,完成了有益的輕量化要求,并將其用于壓模、鑄模及板金結構的優化中。Harzheim等[3]采用基于CAO和SKO的算法并考慮制造工藝約束,獲得了更容易理解的設計方案。陳義保等[4]提出了一種新的帶有制造工藝約束的多約束結構拓撲優化設計模型。左孔天[2,5]提出了基于工程約束思想的結構拓撲優化,通過在優化模型中加入制造加工約束來減小設計空間,確保工程可接受的及可制造的拓撲優化結果。

針對傳統結構拓撲優化的結果在工程上難以制造加工的問題,為更好地處理在概念設計階段連續體拓撲優化結果的工程實用化問題,提出了一種基于制造工藝約束的結構拓撲優化設計的方法,即面向制造的分級優化方法,使優化結果既滿足工程設計性能要求,又同時滿足制造加工性能的要求,以實現面向制造的結構拓撲優化設計。

1 面向制造的分級拓撲優化方法

面向制造的分級拓撲優化方法的思想是,采用分級優化策略處理帶制造工藝約束的拓撲優化問題。第一級優化從設計角度,確定結構拓撲優化結果的基本拓撲構型,以滿足設計性能要求;第二級優化針對第一級優化所得的拓撲結果,進行制造可行性分析和加入制造工藝約束的二次拓撲優化,以獲得面向制造的拓撲優化結果。分級拓撲優化的實現流程如圖1所示。不直接在第一級優化中引入制造約束的原因在于,沒有針對性,可能獲得的只是局部最優。采取分級優化可以保證全局最優,使拓撲優化結果同時滿足設計要求和制造要求,具有工程應用價值。

2 面向制造的連續體拓撲優化模型

2.1 基于制造約束的SIMP法拓撲優化模型

在面向制造的分級拓撲優化策略實現中,采用固體各向同性懲罰材料(solid istropic material with penalization,SIMP)模型[6]。該優化模型的目標函數為結構的整體柔度最小即剛度最大,設計變量為單元密度,約束條件為體積約束和制造工藝約束,則拓撲優化模型為

2.2 成員尺寸控制約束及處理策略

制造工藝約束包含成員尺寸控制約束、拔模約束、擠壓約束、模式組(各種對稱約束)及模式重復等約束。這里從面向制造的優化角度出發,以成員尺寸控制約束為例,分析制造工藝約束的實施及處理策略。

成員尺寸控制約束分為最小成員尺寸約束和最大成員尺寸約束。最小成員尺寸約束是指優化結果中單元密度為1的區域的允許最小尺度。零部件在設計制造加工過程中,往往有一個最小尺寸要求,小于該尺寸范圍的特征,將很難鑄造或用刀具加工。因此在零件的初始概念設計階段就應考慮這一要求,針對零件不同的加工要求加入不同的最小成員尺寸約束。這里給出最小成員尺寸控制法的數學模型:

式中,L為離散邊界單元孔洞的等效特征尺寸;Se為邊界單元e的外表面積;dQ為邊界孔洞相對于投影平面Q的平均深度;M為邊界離散單元數;L0為加工尺寸下邊界。

這里投影面Q定義為需要控制加工尺寸約束所在的縱向平面(YZ平面)。通過在優化模型中引入最小加工尺寸約束的下限值,來對結果中的最小特征的結構尺寸進行控制。引入最小成員尺寸約束可以獲得比較均勻的材料分布,便于鑄造過程材料的流動或提供足夠剛度以便于刀具加工。

最大成員尺寸約束針對的是優化結果中單元密度為1的區域。在該優化區域中各向尺度不能全部大于該尺寸,這樣可以消除優化結果中的材料堆積,避免制造過程引起的產品缺陷(如鑄造過程中散熱不均勻),并能提供多個傳力路徑以提高產品可靠性。

對于最小/最大成員尺寸約束的實施,采用一種新的處理策略,即在第二級優化中對不可行子域,通過圓域進行擬合以縮減原始設計空間,實現最小/最大成員尺寸約束的控制,其處理規則為

其中,(X,Y)為設計域單元坐標;(X0,Y0)為不可行子域中心坐標;Lmin、Lmax分別為最小成員尺寸和最大成員尺寸,其值可根據實際制造加工要求來定。一般,最小成員尺寸要大于3倍的單元平均尺寸,最大成員尺寸至少為單元平均尺寸的6倍。

2.3 基于制造約束的優化模型求解

加入制造工藝后的拓撲優化問題變為一個多約束優化問題。拓撲優化數學模型求解算法中的移動近似算法(method of moving asymptotes,MMA)[7]廣泛應用于具有制造約束、工程約束等復雜多約束拓撲優化問題的求解[5]。但采用此法會增加優化求解問題的復雜性,這通常會導致計算得不到有用的工程可行解[5]。

為了降低求解的難度,采用優化準則法(optimization criterion,OC)求解含制造約束的拓撲優化模型。對于柔度最小的優化問題采用比MMA法收斂速度快的OC法。綜合文獻[8],給出改進的OC法更新設計變量的迭代格式:

2.4 數值不穩定的去除方法

拓撲優化過程中出現的數值不穩定問題實際上是由數值計算中場函數的一種數值不穩定現象或由數值奇異解造成的,其表現形式包括棋盤格式、多孔材料、網格依賴性、局部極值等。多孔材料和棋盤格式導致計算結果的可制造性差,網格依賴性使計算結果的可靠性下降,局部極值問題導致計算得不到全局最優解或得不到工程可行解。拓撲優化中數值計算不穩定性的消除非常重要,它關系到數值計算的收斂性和計算結果的可制造性。

濾波過濾法對消除棋盤格式簡單有效,并能保證一定的網格無關性,但優化結果中存在明顯的“邊界擴散”效應,并可能形成一種點態的密度場[9]。密度和敏度混合的過濾技術具有敏度過濾技術的優點,還可以提高密度場光滑性和連續性,該法在一定程度上可以消除“邊界擴散”效應,同時能有效消除棋盤格式并使結構體現出較好的網格無關性[7]。窗函數法相當于將不同的窗函數作為卷積核與原有數字信號進行卷積,其物理意義較直觀,且可根據原數值解的具體情況靈活選擇窗函數的尺度參數,易于編程實現。窗函數法采用高斯窗函數對密度場分布函數進行處理,以解決棋盤格式問題,其實質是濾波法的一種[6]。

綜合上述分析,為了更好地解決在拓撲優化過程中優化結果的“邊界擴散”效應問題,并在解決棋盤格式問題的同時提高收斂速度,減少計算量,本文對密度和敏度混合過濾進行改進,從工程實際應用角度出發,采用密度和敏度混合高斯濾波法。

2.4.1 密度和敏度混合高斯濾波法

混合過濾技術將每個節點的密度用周圍單元密度的加權平均值來近似,從而提高密度場的光滑性和連續性,再對處理后的密度進行敏度的卷積,以改善有限元求解的收斂性和解的存在性。

將敏度過濾技術中的密度用設計變量的平均密度代替;為了提高權函數的光滑性,密度和敏度混合過濾法中的權函數w(xi)=max(He,0)由高斯函數代替,即

其中,die為單元i和單元e中心的距離;~xe和~xf分別為過濾前后單元的平均密度;σ為高斯函數的尺度參數(決定了過濾函數的平滑程度),σ=rmin/2;rmin為過濾半徑,即表示優化結果的最小尺寸為單元尺寸的rmin倍;Ne為過濾半徑之內單元的數目。過濾半徑的取值應隨著單元網格密度的增大而適當有所增大。

2.4.2 基于密度和敏度混合高斯過濾法算例

基結構如圖2所示,其中 L=10mm,集中載荷F=10kN,材料彈性模量E=200GPa,泊松比ν=0.3,懲罰因子 p=3.0,過濾半徑rmin=1.5mm,移動極限初始值m=0.2。在相同初始優化參數條件下,采用提出的不同過濾方法,其優化結果如圖3所示。

圖3a、圖3b所示為采用本文提出的混合過濾技術的優化結果。從圖3中優化結果可以看出,所提出的過濾法能很好地消除棋盤格式和網格依賴性等數值不穩定性現象且邊界清晰。但采用密度和敏度混合過濾結果會出現一定程度的“邊界擴散”現象,如圖3a所示,在虛線圓形區域內,邊界局部產生了細小的傳力路徑,這將降低結構的可靠性。采用密度和敏度混合高斯過濾法可以很好地解決此問題,結果如圖3b所示,該結果與參考文獻[8]的優化結果非常一致,并且比文獻[11]優化結果(圖3c)的邊界更加清晰。

3 面向制造的分級優化法算例分析

3.1 算例

一平板結構如圖4所示,兩側固定,原始設計域為100mm×50mm,假定材料彈性模量 E=200GPa,泊松比為 ν=0.3,體積系數 f=0.5,中間施加一個集中載荷F(F=30kN)。求解時采用四節點單元,單元總數為5000,懲罰因子p=3.0,過濾半徑rmin=1.5mm,阻尼系數ε=0.5,初始移動限m=0.2。求解過程中綜合采用改進的優化準則算法、密度和敏度混合高斯過濾法及成員尺寸控制法。

3.2 算例分析

在第一級拓撲優化中沒有施加最小尺寸約束,優化結果如圖5所示,產生上下兩個不規則小空洞(圖5中虛線圓形區域內),這兩個不規則小空洞在結構和功能上沒有任何作用,但會給后續的制造和加工帶來困難。因此,從制造的角度考慮,這種局部不規則小空洞的是優化設計過程中不期望獲得的結構。針對兩個不可制造小空洞子域,可采取最小、最大成員尺寸約束控制。圖6a所示為施加最小尺寸約束后的第二級優化結果,結構中的不規則小空洞消失了,有利于后繼加工制造。圖6b所示為施加最大尺寸約束后的二級優化結果,同樣也獲得了良好的結構,滿足后續的加工制造要求。在相同的基結構和載荷及邊界條件下,文獻[2]中的優化結果如圖7所示。圖7的優化結果與本文的優化結果很相似,因此也驗證了本文所提出方法的可行性與有效性。

在實際優化設計過程中,具體是加入最小尺寸約束還是最大尺寸約束,要根據工程設計的實際要求或工程經驗而定。這里對優化模型進行了簡化,其邊界條件相對簡單,而在實際工程中其工況較復雜,需要考慮的因素及約束也較多,應根據不同對象要求施加不同的制造工藝約束或者多種工藝約束的組合靈活應用,充分考慮產品實際加工制造過程中的各種約束,從而使優化結果便于制造,使優化流程真正集成到產品開發過程中。

4 結束語

為提高拓撲優化結果的工程可利用程度,本文提出了面向制造的分級拓撲優化設計方法,并以實例驗證了該法的可行性及有效性;建立了基于制造工藝約束的SIMP拓撲優化模型;在解決拓撲優化數值不穩定問題上,使用了一種改進的密度和敏度混合過濾算法。該算法易于實現,通用性較好。

[1]Thomas H.Applications of Topology Optimization for Weight Reduction duringPreliminary Design[C]//64th Annual International Conference on Mass Properties Engineering.Annapolis,M aryland,USA,2005:3372.

[2]左孔天.連續體結構拓撲優化理論與應用研究[D].武漢:華中科技大學,2004.

[3]Harzheim L,Graf G.TopShape:An Attempt to Create Design Proposals Including Manufacturing Constrains[J].International Journal of Vehicle Design,2002,28(4):389-409.

[4]陳義保,羅震.基于制造工藝約束的結構拓撲優化設計[J].華中科技大學學報(自然科學版),2006,34(8):77-79.

[5]Zuo Kong—Tian,Chen Li—Ping,Zhou Yunqing,et al.Manufacturing and Machining—based Topology Optimization[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2006,27(5/6):531-536.

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[7]Svanberg K.The Method of M oving Asymptotes–a New Method for Structural Optimization[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1987,24(2):359-373.

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[9]Sigmund O.Design of M aterial Structures Using Topology Optimization[D].Kongens Lyngby,Denmark:Technical University of Denmark,1994.

[10]劉震宇,王曉明,郭東明.利用窗函數解決連續體結構拓撲優化中的棋盤格式問題[J].中國機械工程,2000,11(6):705-708.

[11]Bruyneel M,Duysinx P.Note on Topology Optimization of Continuum Structures Including Self—weight[J].Structure Multidisciplinary Optimization,2005,29(4):245-256.