基于自適應波形匹配延拓的局部均值分解端點效應處理方法

張 亢 程軍圣 楊 宇

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

0 引言

局部均值分解(local mean decomposition,LMD)是由Smith[1]提出的一種新的非線性和非平穩信號分析方法。由于LMD是依據信號本身的信息進行自適應分解的,產生的PF分量具有真實的物理意義,由此得到的時頻分布能夠清晰準確地反映出信號能量在空間各尺度上的分布規律,因此LMD是一種極具發展潛力的非平穩信號分析方法,現在它已在腦電信號分析中得到了應用[1],并且取得了不錯的效果。

雖然LMD非常適合于處理非平穩信號,但作為一種新出現的信號分析方法,此方法本身還有一些需要改進的地方,其中端點效應就是必須解決的問題之一。如同經驗模式分解(empirical mode decomposition,EMD)[2-3]一樣,LMD方法中也有一個類似的依據信號局部極值點信息不斷進行“篩分”信號的過程,在“篩”的過程中,需要不斷地平滑由信號局部極值點構成的局部均值函數線與包絡估計函數線,但由于信號兩端的值可能既不是局部極大值也不是局部極小值,這樣便會造成平滑過程中局部均值函數線與包絡估計函數線在數據兩端出現發散現象,并且這種發散的結果會逐漸向內“污染”整個數據序列而使所得的分解結果嚴重失真。

對于EMD方法的端點效應問題,目前已提出了許多改進方法,都取得了一定的效果,但也存在一些局限性,如極值點延拓法[4]只考慮了信號端點附近幾個極值點的信息,而沒有顧及信號內部的規律,因此對較復雜的非平穩信號,效果不太理想;邊界波形匹配預測法[5]考慮了信號的內部規律與趨勢,但缺乏自適應性,對于邊緣處波形發生了突變的信號效果比較差;神經網絡[6]、ARMA模型[7]等預測類延拓方法,其改進效果很大程度上依賴于預測工具本身參數的設置,同時運算時間也較長,缺乏實用性。

本文根據許多改進EMD端點效應方法的經驗與不足,在詳細分析了LMD端點效應產生的原因的基礎上,提出了自適應波形匹配延拓方法,以解決LMD的端點效應。

1 局部均值分解方法

LMD的整體思路就是依據信號的局部時間尺度特征,將信號從高頻到低頻自適應地逐級分解出來,分解后的每個分量都是平穩且具有物理意義的。對于任意信號x(t),其分解過程如下[1]。

(1)找出原始信號所有的局部極值點ni,求出所有相鄰的局部極值點的平均值:

將所有相鄰的平均值點mi用直線連接起來,然后用滑動平均法進行平滑處理,得到局部均值函數m11(t)。

(2)求出包絡估計值:

將所有相鄰兩個包絡估計值ai用直線連接,然后采用滑動平均方法進行平滑處理,得到包絡估計函數a11(t)。

(3)將局部均值函數m11(t)從原始信號x(t)中分離出來,得到

(4)用h11(t)除以包絡估計函數a11(t)以對h11(t)進行解調,得到

對s11(t)重復上述步驟便能得到s11(t)的包絡估計函數 a12(t),假如a12(t)不等于1,說明s11(t)不是一個純調頻信號,需要重復上述迭代過程n次,直至s1n(t)為一個純調頻信號,也即s1n(t)的包絡估計函數a1(n+1)(t)=1。在實際應用中,可以設定一個變動量 Δ,當滿足1—Δ≤a1n(t)≤1+Δ時,迭代終止。

(5)把迭代過程中產生的所有包絡估計函數相乘便可以得到包絡信號(瞬時幅值函數):

(6)將包絡信號a1(t)和純調頻信號s1n(t)相乘便可以得到原始信號的第一個PF分量

它包含了原始信號中最高的頻率成分,是一個單分量的調幅—調頻信號,其瞬時幅值就是包絡信號a1(t),其瞬時頻率 f1(t)則可由純調頻信號s1n(t)求出,即

(7)將第一個PF分量P1(t)從原始信號x(t)中分離出來,得到一個新的信號u1(t),將u1(t)作為原始數據重復以上步驟,循環k次,直到uk為一個單調函數為止:

原始信號 x(t)能夠被所有的 PF分量和 uk重構,即

(8)將所有PF分量的瞬時頻率與瞬時幅值按照時間—頻率—幅值的三維分布重新組合,便能得到原信號基于 LMD分解的完整的時頻分布。

2 LM D分解的端點效應分析

從上述LMD分解的步驟中可以看出,之所以會產生端點效應,關鍵是由于求取局部均值函數和包絡估計函數時需要用到信號序列局部極值點的信息,其中局部均值函數是通過不斷地平滑由相鄰極值點的平均值構成的直線段而獲得的,包絡估計函數是通過不斷地平滑由相鄰極值點差的絕對值的一半構成的直線段而獲得的,然而數據的兩端點值不一定是信號的極值點,因此這樣得到的局部均值曲線與包絡估計曲線在數據的兩端是不合理的。考察信號x(t):

其局部均值線段和包絡估計線段如圖1所示,而真實的局部均值線段和包絡估計線段如圖2所示,可以看出在數據兩端其值都出現了失真,將其平滑后得到的局部均值曲線和包絡估計曲線與真實的曲線比較,如圖3所示,其兩端的數據同樣出現了失真。

由于局部均值曲線與包絡估計曲線失真,便會造成分解后得到的PF分量的兩端出現虛假成分,并且隨著分解過程的進行,局部極值點的不斷減少、稀疏,這些虛假成分會逐漸向內“污染”整個數據,最終造成分解結果的失真,即“端點效應”,數據越短,其危害性越大。為了減小(不可能完全消除)上述LMD的端點效應,本文針對其產生的原因,從信號的自然趨勢與相似性著手,提出一種自適應波形匹配延拓法來改善LMD的端點效應現象。

3 自適應波形匹配延拓法

為了解決 LMD分解的端點效應問題,我們對原信號兩端進行延拓,將失真盡可能地隔離在待分析信號的外部。然而這種延拓不能是盲目的延拓,而是要使延拓出的波形盡可能地符合原信號自然的變化趨勢,這樣才能最大限度的維護原始信號的變化趨勢并實現延拓波形與原信號的光滑過渡,從而更加有效地抑制端點效應。基于以上,我們提出了自適應波形匹配延拓法,即從原始信號內部找出最符合信號趨勢的波形對信號進行延拓,最大限度地維護信號的內在趨勢,而對內在規律較弱,邊界數據變化異常的信號可以只考慮信號邊緣的極值點信息,具體通過設定一閾值來實現,這樣可使該方法具有自適應性。

信號的延拓包括左右兩端,下面以左端的延拓為例來說明該方法。設原始信號為 x(t),m′i、n′i(i=1,2,3,…)分別為信號x(t)的極大值和極小值,分別對應時間為和,設x(t)的左端點數據為x(1),以 x(1)—m′1—n′1三點構成一個三角波形,并將其稱為特征波形,然后沿著信號 x(t)搜索與特征波形最為匹配的三角波形x(i)—m′i—n′i,定義為匹配波形,將匹配波形前的(右延拓為匹配波形后的)數據作為x(t)的延拓波形,這樣便會符合信號的自然趨勢。具體步驟如下。

(1)尋找出除特征波形外所有三角波形的起始點值x(i),其對應的時間點為

求出的tx(i)可能不正好在采樣點上,這時可用插值法(具體插值法可由自己選定)求出其確切值。

(2)計算所有三角波形與特征波形的匹配誤差,誤差公式為

(3)找出最小的匹配誤差值mine(i),并設定一閾值α,如果mine(i)＜α,則將mine(i)對應的三角波形作為匹配波形,將匹配波形前的數據延拓到原始信號的前面,如果mine(i)≥α,跳轉至下一步。閾值的大小可根據實際情況來調整,α越小說明原信號具有越強的規律性,反之說明原信號內在規律越弱,或邊界數據有較大的異常。

(4)直接設置信號端點處的極值,即分別求出最靠近信號端的相鄰的N個極大值點的平均值和M個極小值點的平均值,將其分別作為信號x(t)的極大值和極小值,具體N和M的大小可根據信號在邊界處的跳變情況而定。

(5)按同樣的方法延拓右端的信號,設完全延拓后的信號為 x′(t)。

(6)將延拓后的信號 x′(t)做 LMD分解,對分解得到的PF分量按原信號x(t)對應的時刻進行截取,這樣便能獲得改善了端點效應的分解結果。

(7)將x′(t)做LMD分解后得到的瞬時幅值和瞬時頻率,以原信號x(t)所對應的時刻按頻率—時間—幅值分布進行組合,得到最后完整的時頻圖。

上述對信號進行延拓的方法,不但充分考慮了信號的內在規律與趨勢,使延拓部分與原信號能光滑過渡,減小了分解結果在端點處的振蕩,同時對內部規律較弱或邊界數據異常的信號,也能進行較好的處理,較之通常的端點處理算法有更強的自適應性。

4 仿真信號分析

為了驗證該方法的可行性,取由3個正弦波疊加的信號進行分析,該信號表達式為

信號的時域波形如圖4所示,可以看出其內部規律較強,所以信號延拓時閾值α可以定得較小,本文設置α=0.1。

對采用本文方法延拓后的信號進行LMD分解,結果如圖5所示,對信號x(t)直接進行LMD分解,結果如圖6所示。對比可以看出,沒有進行端點處理的分解結果在數據兩端出現了明顯的擺動,而采用本文方法延拓后得到的分解結果幾乎完全消除了端點效應的影響,分解結果非常理想。

圖7所示是信號x(t)的EMD分解結果,與LMD的分解結果比較,其端點效應更加嚴重,低頻時數據發散嚴重,并且最低頻的5Hz分量不能分解出來,產生了模態混淆現象。圖8所示是信號x(t)采用本文方法延拓后進行EMD分解的結果,可以看出其端點效應得到了較大的改善,說明該方法也能較好地改善EMD的端點效應,但是5Hz分量仍然無法分解出來,存在模態混淆現象。綜合比較,LMD方法在端點效應和模態混淆方面要優于EMD。

進一步將信號延拓前和延拓后進行LMD分解得到的瞬時幅值與瞬時頻率分別進行組合,獲得按頻率—時間—幅值分布的時頻分布,分別如圖9、圖10所示,可以看出延拓前的時頻分布在端點處出現了明顯的振蕩現象,端點處能量發生了泄漏;而延拓后的時頻分布清晰準確地反映了原信號的各個頻率成分,端點處的振蕩幾乎消失。

在H HT變換中,除了在EMD分解過程中會產生端點效應外,對每個內稟模態函數(IMF)分量求Hilbert變換得到瞬時幅值和瞬時頻率時也會產生端點效應,所以為求得Hilbert譜至少需要進行兩次端點效應處理;而從上面 LMD的理論分析中知道,求得最終的時頻分布只要對原信號進行一次延拓,因此理論上LMD在端點效應方面要優于HHT變換。圖11所示是信號 x(t)的Hilbert譜,可以看出其相對沒經過延拓的 LMD時頻分布(圖9)端點效應更嚴重,5Hz分量已完全失真,結果與理論符合。圖12所示是信號x(t)采用本文方法經過兩次延拓后得到的Hilbert譜,端點效應得到了較大改善,但相比于LMD方法,分解結果仍存在模態混淆現象。

5 齒輪故障振動信號分析

對于工程實際中的信號,本文方法同樣能取得較好的效果。在齒輪故障試驗臺上采集了一段齒輪裂紋故障振動加速度信號,齒輪齒數為37,轉速為420r/min,采樣頻率為2048Hz。圖13是該信號的時域波形圖,圖14是該信號的頻譜圖,其頻率成分比較復雜,無法從中清晰地提取出故障特征,因此要做進一步的分析。

采用LMD方法對該段信號進行分解,首先為了避免分解時端點效應的影響,在分解前先采用自適應波形匹配延拓法對信號進行延拓,延拓后的波形 x′(t)如圖15所示,可以看出延拓部分與原信號連接光滑且波形符合原信號的自然趨勢。對延拓后的信號進行LMD分解,并取與原信號對應的時間坐標,分解后得到4個PF分量和1個余量,如圖16所示,可以看出,各個PF分量兩端沒有出現任何的發散現象,且前兩個分量具有一定的故障性沖擊特征。進一步對第一個PF分量P1(t)的瞬時幅值做頻譜分析,結果如圖17所示,從圖17中可以看出在齒輪旋轉頻率f1=7Hz處存在明顯的譜線,這說明齒輪存在局部故障,與實際情況相符。

6 結束語

針對LMD的端點效應問題,本文詳細分析了其產生的原因,并提出了一種自適應波形匹配延拓法來解決。該方法依據信號內部本身的趨勢與規律以及信號邊界處的波形特征,利用原信號內部的子波形對信號進行延拓,使延拓后的數據保持了原信號的趨勢與規律,有效地抑制了LMD分解的端點效應;同時此方法是自適應的,對于內部規律較弱、邊界數據異常的信號,便只考慮信號邊緣的信息,根據邊緣處若干個極值點的均值來估計端點處的極值,這保證了信號在端點處的變化趨勢不會發生太大的變化。從對仿真信號以及實際齒輪故障振動信號的分析結果來看,該方法能有效抑制LMD分解的端點效應。

[1]Smith J S.The Local M ean Decomposition and Its Application to EEG Perception Data[J].Journal of the Royal Society Interface,2005,2(5):443-454.

[2]Huang N E,Shen Z,Long S R,et al.The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non—stationary Time Series Analysis[J].Proc.R.Soc.Lond.A,1998,454:903-995.

[3]Huang N E,Shen Z,Long S R.A New View of Nonlinear Water Waves:the Hilbert Spectrum[J].Annu.Rev.Fluid M ech.,1999,31:417-457.

[4]黃大吉,趙進平,蘇紀蘭.希爾伯特—黃變換的端點延拓[J].海洋學報,2003,25(1):1-11.

[5]蓋強,馬孝江,張海勇,等.一種消除局域波法中邊界效應的新方法[J].大連理工大學學報,2002,42(1):115-117.

[6]鄧擁軍,王偉,錢成春,等.EMD方法及 Hilbert變換中邊界問題的處理[J].科學通報,2001,46(3):257-263.

[7]張郁山,梁建文,胡聿賢.應用自回歸模型處理EM D方法中的邊界問題[J].自然科學進展,2003,13(10):1054-1059.