小波變換在風浪研究中的應用

趙利平，高 鵬

（長沙理工大學水利學院,長沙410076）

非線性、非平穩波浪理論在現代波浪學中占十分重要的地位，波浪的頻譜估計是分析不規則波的能量分布和波浪變形的重要手段［1］。但以傅里葉變換為基礎的傳統譜估計方法將波浪過程視為平穩的隨機過程，在風浪、波浪破碎等波形劇烈變化的研究領域存在著一定的局限性［2］，因為傅里葉變換在時域上沒有分辨率，單純的傅里葉變換不能同時在頻率和時間上跟蹤波浪過程在能量上的消漲，因此在傅里葉變換的基礎上作出改進，提出了加窗傅里葉變換。但改進后的加窗傅里葉變換所加的函數窗尺寸固定，不能兼顧高、低頻率時有較高的分辨率，所以又在此基礎上提出了小波變換［3］。小波變換很好地解決了這一問題，并在通訊、圖像處理等領域中得以廣泛應用。

1 小波變換的基本原理

小波分析是1986年由Y.Meyer，S.Mallat及I.Daubechies等人的奠基工作而迅速發展起來的一門新興學科，它是從傅里葉分析發展出來的。傅里葉變換是研究平穩信號的一種頻域分析方法。但現實中風浪的波面變化通常是非穩定的，需要局部時間的頻率分析，因此需要適合非平穩信號分析的小波分析［3］。

小波變換是將信號按不同尺度（頻率）、不同位置（時間）分解的數學工具。不像傅里葉變換，僅與尺度有關，而與物理空間無關。雖然加窗傅里葉變換使之在物理空間上有了一定的分辨率，但一旦時間窗限定，由于測不準原理，無法兼顧高頻和低頻。而小波變換中的窗函數可以在低頻時自動變寬，在高頻時自動變窄，故小波變換能比傅里葉變換更好地“移近”觀察，這是小波變換有別于前兩者的地方，可以看做是自適應的加窗傅里葉變換，因此小波變換也有“數字顯微鏡”之稱［4-6］。

信號能量如下

從而可以得到各個瞬時的能譜［7-10］。另外，利用小波的多分辨分析，可以將能譜中能量較為集中的頻率的信號分解出來單獨研究。信號分解見圖1。圖1中A為上一級信號中的低頻部分，D為上一級信號中的高頻部分，可以看到，每次分解得到的低頻部分還會進一步分解，易得 F=D1+D2+D3+D4+D5+A5［7］。在進一步發展而來的小波包分解中，還會對每次分解得到的高頻部分進行進一步分解，使分解的頻帶更加窄而多（圖2）。

圖1 小波分解示意圖Fig.1 Wavelet decomposition

圖2 小波包分解示意圖Fig.2 Wavelet packet decomposition

2 現場觀測

現場觀測于2008年8月在岳陽市的南湖進行。數據采集使用交通運輸部天津水運工程科學研究所生產的SG-2000系統，浪高儀1個（46#），壓力傳感器8個（50#～57#），50#～53#布置在0.3 m水深處，與入射波角度分別為 0°、90°、270°、180°，54#～57# 布置在水深為 0.5 m、0.7 m、1.0 m、1.4m 處且與入射波角度均為 0°。設定采樣頻率為10 Hz，采樣數量分別為1 024、2 048和4 096，共采樣240組。

觀測地點前方水域寬闊，前方有2座山，測點正對風口，風向變化不大，測點后方12 m處有一片茂盛的蘆葦，可以有效地消除波浪反射的影響，測點水位H=2 m，觀測期間風速在2～5 m/s，觀測時間12 d（圖3）。在該測點設置8個壓力傳感器和一個浪高儀，浪高儀布置在樁柱離岸遠的一側，壓力傳感器布置見圖4。

圖3 觀測示意圖Fig.3 Observation sketch map

圖4 壓力傳感器布置圖（mm）Fig.4 Pressure sensor position

3 波浪信號的小波分析

3.1 波面信號分析

將測得的波面信號取均值，作為平均水位線，將原始數據減去平均水位線得到修正后的波面信號（圖5）。

3.1.1 時頻分析

本文選擇在湍流研究中得到廣泛應用的Morlet小波作為小波母函數，Morlet小波的選取主要基于以下優勢：Morlet小波形狀與通常風浪波面信號非常相似；不但能給出所分析信號的能量特征，還能給出相位特征。且就所分析的信號而言，不同的小波函數算出的小波系數的模差異很小［8-13］。

Morlet小波函數

小波變換后所得小波變換系數平方后得到小波能量密度大小，從而建立能量與時間-頻率的對應關系，如圖6、圖7。由圖6和圖7可以看出在時間軸上各個時刻的每一個能譜變化情況，在頻率軸上每個瞬時的能量大小，即波面資料經過小波變換后，可以同時得到能量的時頻分布。從圖6可以看出，在固定頻率下其時域上能量并非定值，而是有較大變化，但能量集中的頻率是一致的。將小波能譜時頻分布在時間軸方向上積分得到傳統的能譜（圖8）；對頻率方向積分可以得到能量沿時間變化的關系（圖9）。在圖8中還將傳統能譜與小波分析中得到的各個頻率中的最大譜值對應的小波峰值能譜對比，從中可以發現小波峰值能譜比傳統能譜普遍大10倍，其譜峰值相差約14倍，這是值得注意的。

3.1.2 小波分解

從圖8可以看到波浪能量主要集中在0.25～1.25 Hz的頻率間，可以通過4層小波分解得到各頻率帶的波的信號（圖10）。其中S為原始波面，d1為2.5～5 Hz的波，可以看到d1的振幅基本都在0.01以下，在整個組成波中所占的能量很少；d2為1.25～2.5 Hz的波，它提供了一定比例的能量；d3為0.625～1.25 Hz的波，可以看到振幅與原始信號相似，提供了較大比例的能量；d4為0.312 5～0.625 Hz的波，可以看到所占能量較少；a4為0～0.321 5 Hz的波，振幅基本保持在0.005以下，提供的能量極少，這與圖8是一致的。

3.2 波壓力分析

將50#～57#測點測得的波壓力數據取均值，作為零點壓力值，并將原始數據減去零點壓力值得到修正后的壓力信號。應用Morlet小波作為小波函數進行計算，得到壓力能譜（圖11）。

圖11中左邊縱軸代表波壓力的譜值，右邊縱軸表示波面譜值。由圖11可以看出，50#測點處的波壓力譜峰對應的頻率較波面譜大，譜峰寬度約為波面譜寬度的2倍；54#測點譜峰值較50#和波面譜要小1倍，譜峰頻率與50#一致，且有不明顯的次峰；55#測點譜峰值更小，譜峰頻率較50#譜大，沒有次峰；56#、57#測點沒有明顯的譜峰，能量幾乎是均勻分布，從測得壓力信號可以看到壓力變化很小，幾乎不受風浪影響。

由圖12可以看出，3個測點的譜型幾乎一致，只是與波浪方向垂直的測點所得到的譜型的主峰更高，能量更集中，51#測點的主峰最高而不與52#相等，這是因為實際觀測時波浪的方向只是大體上正對50#測點，難免會有誤差。

由于53#測點在觀測支柱后方，受繞流影響很大，影響因素復雜，本實驗測試頻率較低，積累的數據不足，暫不討論。

各測點的主峰、次峰頻率及其對應的譜值見表1。

表1 各測點頻譜分析表Tab.1 Frequency spectrum of survey points

4 結論

由于小波變換在時域和頻域上都有良好的局部性，因此在波浪的非平穩過程、波浪的局部特性和非線性研究中具有重要的意義。

小波變換是加窗傅里葉變換的進一步發展，將小波能譜時頻分布結果分別在時間和頻率方向上積分，可以得到傳統的能譜分析結果和傳統的瞬時能量歷程分析結果。

利用小波分解，可以對波浪進行多分辨分析，從而得到各個頻帶的波面信號，并針對所占能量組分最大的波作進一步分析。

通過時頻分析，可以得到各個瞬時的波譜變化，從而可以了解波浪結構變化。

通過小波峰值能譜和傳統能譜的對比，發現兩者普遍相差1個數量級，最大相差約14倍，這是值得注意的現象，工程計算波浪要素時應該進一步注意各個瞬時的能譜。

利用小波理論對波壓力進行分析得到壓力能譜。其中正對波浪傳播方向的壓力能譜在0.3 m處的譜型與波面能譜相似，但水深達到0.5 m后則與波面能譜相差較大，而水深達到1 m后，能譜則比較平直，能量分布比較均勻了；而與波浪傳播方向垂直的能譜譜型與正對波浪傳播方向的譜型在0.3 m處幾乎一致，只是譜峰略大。

本文數據是實地觀測所得，受自然天氣等非人為因素的影響，水深和波浪的方向均有一定誤差。在數據整理中篩取了觀測狀態較好的用于分析計算，具有較高可信度。

本文對小波理論在波浪上的應用作了初步探討，但還有很多問題沒有解決，特別是壓力能譜的研究還處于起步階段，仍有待深入研究。

［1］文圣常，余宙文.海浪理論與計算原理［M］.北京：科學出版社，1984.

［2］李炎保，郄祿文，祝振宇.小波變換在隨機海浪及相關課題中的應用與前景［J］.力學進展，2003，33（4）：541-547.LI Y B，XI L W，ZHU Z Y.Applications and Prospects of Wavelet Transform for Random Wave and Related Fields［J］.Advances in Mechanics，2003，33（4）：541-547.

［3］程正興.小波分析與應用實例［M］.西安：西安交通大學出版社，2006.

［4］楊建國.小波分析及其工程應用［M］.北京：機械工業出版社，2005.

［5］周建萍，楊旭紅，鄭應平.基于小波分析的汽輪發電機組振動信號檢測［J］.上海電力學院學報，2008，24（3）：263-265.ZHOU J P，YANG X H，ZHENG Y P.Check of Vibration Signals for Turbo-generator Units Based on Wavelet Analysis［J］.Journal of Shanghai University of Electric Power，2008，24（3）：263-265.

［6］張斌，王彤，谷傳綱，等.基于小波分析后臺階流動中的湍動能能譜分布［J］.上海交通大學學報，2008，42（8）：1 221-1 225.ZHANG B，WANG T，GU C G，et al.Turbulent Energy Spectra Distribution in Backward Step Facing Flow Based on Wavelet Analysis［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2008，42（8）：1 221-1 225.

［7］吳中.波浪研究中的多分辨方法［J］.海洋工程，1999，17（1）：62-70.WU Z.Multi-resolution Analysis in Wave Study［J］.The Ocean Engineering，1999，17（1）：62-70.

［8］馮衛兵，任華堂，洪廣文.上海海域風浪譜分析與研究［J］.河海大學學報，2002，30（3）：28-32.FENG W B，RENG H T，HONG G W.Representation of Sea Wave Spectra for Shanghai Seas［J］.Journal of Hohai University，2002，30（3）：28-32.

［9］邵利民，袁群哲，俞聿修.波浪反射系數譜的特征分析［J］.海洋學報，2005，27（5）：157-163.SHAO L M，YUAN Q Z，YU Y X.Analysis characteristics of wave reflection coefficient spectrum［J］.ACTA Oceanologica Sinica，2005，27（5）：157-163.

［10］俞聿修.不規則波浪的觀測與試驗［J］.港工技術，1999（1）：1-5.YU Y X.Observation and Experiment of Irregular Waves［J］.Port Engineering Technology，1999（1）：1-5.

［11］吳克儉，宋金寶，樓順里.論風浪的局域結構—風浪的局域結構與局域小波能譜［J］.海洋與湖沼，1998，29（4）：403-408.WU K J，SONG J B，LOU S L.Local Structures of Wind Waves I.Local Structures of Wind Waves and Local Wavelet Energy Spectrum［J］.Oceanologia ET Limnologia Sinica，1998，29（4）：403-408.

［12］吳克儉，宋金寶，樓順里.論風浪的局域結構—風浪局域小波能譜的性質及應用［J］.海洋與湖沼，1998，29（5）：488-493.WU K J，SONG J B，LOU S L.Local Structures of Wind Waves II.Properties of Local Wavelet Energy Spectrum and its Applications［J］.Oceanologia ET Limnologia Sinica，1998，29（5）：488-493.

［13］常云華，李宗偉，尹大娟.非平穩振動信號的小波分析方法［J］.噪聲與振動控制，2008（5）：98-101.CHANG Y H，LI Z W，YI D J.Study on the Wavelet Analysis for Non-Stationary Vibration Signal［J］.Noise and Vibration Control，2008（5）：98-101.